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2012,2013年概率论与数理统计期末考试试卷答案


2012 年概率论与数理统计期末考试试卷 一. 填空题(每题 5 分, 共 30 分) 1. 设随机变量 X 服从正态分布 N (1, 4) , 已知 ?(1) ? a , 其中 ? ( x ) 表示标准正态 分布的分布函数, 则 P{?1 ? X ? 3} ? 2a ? 1 .

X ?1 ? ? ?1 ? 1 X ? 1 3 ? 1? ? P{?1 ? X ? 3} ? P ? ? ? ? 1? ? ?(1) ? ? (?1) ? ? ? P ??1 ? 解: 2 2 ? 2 ? 2 ? ? ?(1) ? (1 ? ?(1)) ? 2? (1) ? 1 ? 2a ? 1.
2. 设概率 P( A) ? 0.3, P( B) ? 0.5, P( A ? B) ? 0.6 , 则 P( AB) = 0.1 解: P( AB) ? P( A) ? P( B) ? P( A ? B) ? 0.2 , .

P( AB) ? P( A) ? P( AB) ? 0.3 ? 0.2 ? 0.1 .
3. 设随机变量 X , Y 的数学期望分布是-2, 1, 方差分别是 1, 4, 两者相关系数是— 0.5, 则由契比雪夫不等式估计 P(| X ? 2Y |? 6) ? 13/36 . 解: 由已知条件得, E( X ? 2Y ) ? EX ? 2EY ? ?2 ? 2 ? 0 ,
D( X ? 2Y ) ? DX ? 4D(Y ) ? 2Cov( X , 2Y ) ? DX ? 4D(Y ) ? 4Cov( X , Y )

? DX ? 4D(Y ) ? 4?XY DX DY ? 1 ?16 ? 4 ? (?1/ 2) ? 2 ? 13 ,
所以, P (| X ? 2Y |? 6) ? 4.
13 . 36

已 知 X,Y 是 具 有 相 同 分 布 的 两 个 独 立 随 机 变 量 ,
1 , 2



P( X ? ?1) ? P(Y ? ?1) ? P ( X ? 0) ? P (Y ? 0) ?

1 , 则 P( X ? Y ) ? 2

1/2

.

解:
P( X ? Y ) ? P( X ? 0, Y ? 0) ? P( X ? ?1, Y ? ?1) ? 1 P( X ? 0) P(Y ? 0) ? P( X ? ?1) P(Y ? ?1) ? . 2

5. 设 X1 , X 2 , ?, X16 是来自 N (0, ? ) 的样本, S 是样本均方差, 则
2

?X
i ?1

16

i

4S

服从 t(15).

16 1 16 X Xi ? i X ? 0 16 ? X ?0 i ?1 i ?1 解: 由定理 3 知 ? ? ? t (15) . ? t (15) , 即 4S S 16 S 16 S 16

6. 设 X1 , X 2 , ?, X 81 ? N (?,9) , 要检验假设 H0 : ? ? 0 , 则当 H 0 为真时, 用于检验 的统计量 3 X 服从的分布是 N (0,1) . 解: 由定理 1 值

X ?0 ? N (0,1) , 3X ? N (0,1) . 3 81

二. 解答下列各题: 7. (10 分 ) 已知男人中色盲人数所占比例是 5%, 女人中色盲人数所占比例是 0.25%. 现从男女人数各占一半的人群中随机选取一人 , 求该人恰是色盲者的概 率. 解: 设 A =“该人是色盲”, A1 =“该人是男人”, A2 =“该人是女人”.
2 1 1 由全概率公式知, P( A) ? ? P( Ai ) P( A Ai ) ? ? 0.05 ? ? 0.0025 ? 2.625% . 2 2 i ?1

8. (10 分 ) 从 只 含 3 红 , 4 白 两 种 颜 色 的 球 袋 中 逐 次 取 一 球 , 令

?1, 第i次取出红球, i ? 1, 2 . 实在不放回模式下求 X1 , X 2 的联合分布律 , Xi ? ? ?0, 第i次取出白球,
并考虑独立性(要说明原因). X1 X2 0 0 1 2/7 2/7 4/7 1 2/7 1/7 3/7

P i?
4/7 3/7

P?j

因为 P{X1 ? 0, X 2 ? 0} ? P{X1 ? 0}P{X 2 ? 0}, 所以 X1 , X 2 不独立. 9. (10 分)设随机向量 ( X , Y ) 的联合概率密度函数为
? 3x ? , 0 ? x ? 1, ? x ? y ? x, f ( x, y ) ? ? 2 ? 其他, ? 0,

求 X , Y 的边缘概率密度函数. 解: 当 0 ? x ? 1时, f X ( x) ? ?
?? ??

f ( x, y )dy ? ?

3x dy ? 3 x 2 . ?x 2
x

?3x 2 , 0 ? x ? 1, 所以, f X ( x) ? ? 其他. ? 0, 1 3x 3 dx ? (1 ? y 2 ) ; 当 ?1 ? y ? 0 时, fY ( y ) ? ? ?y 2 4
?3 2 3x 3 ? (1 ? y ), ?1 ? y ? 1, 2 dx ? (1 ? y ) ; 所以, fY ( y ) ? ? 4 当 0 ? y ? 1 时, fY ( y ) ? ? y 2 4 ? 0, 其他. ?
1

10. (10 分 ) 设 X , Y 相互独立 , 且 P( X ? 1) ? P(Y ? 1) ? p ? 0 , P( X ? 0) ? P(Y ? 0) ? 1 ? p ? 0 ,

?1, 当X ? Y 为偶数, 令Z ? ? 求 Z 的分布律. ?0, 当X ? Y 为奇数,
解:

P{Z ? 0} ? P{X ? 0, Y ? 1} ? P{X ? 1, Y ? 0} ? P{X ? 0}P{Y ? 1} ? P{X ? 1}P{Y ? 0} ? 2 p(1 ? p)

P{Z ? 1} ? P{X ? 0, Y ? 0} ? P{X ? 1, Y ? 1} ? P{X ? 0}P{Y ? 0} ? P{X ? 1}P{Y ? 1} ? p2 ? (1? p)2.
所以, Z 的分布律为 Z P 0 2p(1-p) 1

p2 ? (1 ? p)2
1
2 3

11. (10 分)设 X1 , X 2 , ?, X 200 是来自具有分布 X -1
P
1 3

1 的总体的随机样本,试用中心极限定理计算 P ( X ? ) .(已知 ?(2) ? 0.508 .) 5

解: 由题知 E ( X i ) ? , E ( X i 2 ) ? 1 ,故 D( X i ) ? EX i2 ? ? EX i ?2 ? . 由中心极限定理知, ? X i ? N (
i ?1 200

1 3

8 9

200 1600 , ). 3 9

? n ? Xi ? ? 1 1? ? n ? ? n ? 所以, P( X ? ) ? P ? i ?1 ? ? ? P ? ? X i ? 40 ? ? 1 ? P ? ? X i ? 40 ? 5 5? ? 200 ? i ?1 ? ? i ?1 ? ? ? ? ? n 200 ? 200 ? 40 ? ? ? Xi ? 3 ? 3 ? ? 1 ? ?(?2) ? ?(2) ? 0.508 . ? 1 ? P ? i ?1 ? 40 40 ? ? ? ? 3 3 ? ? ? 6x ? (? ? x), 0 ? x ? ? , 12. (10 分)设总体 X 的密度函数为 f ( x;? ) ? ? ? 3 求 ? 的矩估计 ?? ? 0, 其他, ?

并计算 D?? . 解: 依题意, E( X ) ? ?0 x
? ? 4DX ? D?
?

6x

?3

(? ? x)dx ?

?
2

? ? 2X . ? X ,得参数 ? 的矩估计量为 ?

4 DX . n 2 ? 6x 3? 2 ? ? 4 DX ? 4 ( EX 2 ? E 2 X ) ? ? . 而 E( X 2 ) ? ?0 x2 3 (? ? x)dx ? ,故 D? 10 n n 5n ?

13. (10 分) 某电器零件平均电阻一直保持在 2.64 ? ,使用新工艺后,测得 100 个零件平均电阻在 2.62 ? ,如改变工艺前后电阻均方差保持在 0.06 ? ,问新工艺 对零件电阻有无显著影响?(取 ? ? 0.01 ) ?(1.96) ? 0.975, ?(1.64) ? 0.95, ?(2.58) ? 0.995 . 解: 设 X 为零件的平均电阻, 则 X ~ N (? , 0.062 ) . (1)假设 H 0 : ? ? 2.64 ; (2)取统计量 U ?
X ??

?

n

~ N (0,1) ;

(3)由 ? ? 0.01 , 确定临界值 u? ? 2.58 , , 使得 P{| U |? u? } ? 0.01 ;
2 2

(4)由样本值 x ? 2.62 , 得统计量 U 的观察值
u? x??

?

n

?

2.62 ? 2.64 0.06 100

? ?3.33 .

(5)因为 u ? 2.58 ,所以拒绝原假设 H 0 ,认为新工艺对零件电阻有显著影响.

2013 年概率论与数理统计期末考试试卷 一. 填空题(每题 4 分, 共 20 分) 1. 设 随 机 变 量 X , Y 相 互 独 立 , 且 同 分 布 , P{ X ? ?1} ? P{ X ? 1} ? 0.5 ,
P{Y ? ?1} ? P{Y ? 1} ? 0.5 , 则 P{ X ? Y } ? 1/2 .

1 解: P{ X ? Y } ? P{ X ? ?1, Y ? ?1} ? P{ X ? 1, Y ? 1} ? P{ X ? ?1}P{Y ? ?1} ? P{X ? 1}P{Y ? 1} ? . 2

2.

?

?? 0

e

?

x2 2

dx ?

2? . 2
2
2

解: 因为 ?

?? ??

x x ?? ?? ? ? 2? 1 ? x2 . e 2 ? 2? , 即 ? e 2 ? e ? 1 , 所以 ? ?? 0 2 2?

2

? 1 3. 设连续型随机变量 X 的密度函数 f ( x) ? e 2??

( x ? ? )2 2? 2

, ??? x ? ?? , 则

EX ? ? , DX ? ? 2 .
? 1 解: 因为 X ? f ( x) ? e 2?? ( x ? ? )2 2? 2

, 所以 X ? N (? , ? 2 ) .

4. 设总体 X ? N (3,10) , X1 , X 2 , ?, X100 为来自总体 X 的简单随机样本, 则
X?
1 1 100 X i ? X ~ N (3, ) . ? 10 100 i ?1

1 ). 10 5. 设袋中有 8 个红球, 2 个黑球, 每次从袋中摸取一个球并且不放回, 那么第一 次与第三次都摸到红球的概率是 28/45 .

解: 由定理 1 知, X ~ N (3,

解: 记 Ai ? “第 i 次摸到红球”, i ? 1, 2, 3 .

P( A1 A3 ) ? P( A1?A3 ) ? P( A1 ( A2 ? A2 ) A3 ) ? P( A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 )
? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 A1 A2 ) ? P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 A1 A2 )
8 7 6 8 2 7 28 ? ? ? ? ? ? . 10 9 8 10 9 8 45 二. 解答题 6. (12 分) 某矿内有甲乙两个报警系统, 单独使用时甲的有效性为 0.92, 乙为 0.93, 且在甲失灵的条件下乙有效的概率为 0.85, 求意外发生时, 甲乙至少有一个有效 ?

的概率, 以及乙失灵时甲有效的概率. 参考练习册反 12 第 4 题. 解: 设 A ? “甲有效”, B ? “乙有效”. 题目转为: 已知 P( A) ? 0.92, P( B) ? 0.93 , P{B A} ? 0.85 , 求 P( A ? B) 和 P{ A B} . 因为 P{B A} ?

P( BA) P( B ? A) P( B) ? P( AB) ? ? ? 0.85 , 1 ? P( A) 1 ? P( A) P( A)

所以, P( AB) ? 0.862 . 所以, P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( AB) ? 0.988 ;

P{A B} ?

P( AB) P( A ? B) P( A) ? P( AB) 0.92 ? 0.862 ? ? ? ? 0.83 . 1 ? P( B) 1 ? P( B) 1 ? 0.93 P( B)

7. (12 分 )设连续型随机变量 X 的分布函数为 F ( x) ? a ? b arctan x (?? ? x ? ?? ), 求常数 a, b 以及随机变量 X 的密度函数. 解: 根据分布函数的性质得
1 b? ? ? a? , F (??) ? a ? ? 1, ? ? ? ? 2 2 所以 ? ? b ? ? F (??) ? a ? ?b ? 1 . ? 0, ? ? ? ? 2 ?
X 的密度函数为 f ( x) ?

1 . ? (1 ? x 2 )

8. (14 分) 设某种类型人造卫星的寿命 X (单位: 年)的密度函数为
x ?1 ?2 e , x ? 0, ? f ( x) ? ? 2 ? 0, x ? 0. ?

若 2 颗这样的卫星同时升空投入使用, 试求: (1) 3 年后这 2 颗卫星都正常运行的概率; (2) 3 年后至少有 1 颗卫星正常运行的概率. 参考教材 P37 例 3 解: 1 颗卫星 3 年内正常运行的概率为
P{ X ? 3} ? ?
?? 3 x 3 ? 1 ?2 e dx ? e 2 . 2

记 Y 表示 2 颗卫星在 3 年内正常运行的颗数, 则 Y ? B(2, e 2 ) .
? ?3 ? (1) 3 年后这 2 颗卫星都正常运行的概率 P{Y ? 2} ? ? e 2 ? ? e?3 ; ? ?
2

?

3

3 ? ? ? (2) 3 年后至少有 1 颗卫星正常运行的概率 P{Y ? 1} ? 1 ? P{Y ? 0} ? 1 ? ?1 ? e 2 ? . ? ?

2

9. (14 分) 设某高校英语考试成绩近似服从均值为 72 的正态分布, 96 分以上的考 生占总数的 2.3%(已知满分为 100, 合格线为 60), 试求: (1) 考生成绩在 60-84 之间的概率; (2) 该校考生的合格率. (?(2) ? 0.977, ?(1) ? 0.8413) 解: 设某高校英语考试成绩为 X , 则 X ? N (72, ? 2 ) .
? X ? 72 96 ? 72 ? 由题意知 P{ X ? 96} ? 0.023 , 即 P ? ? ? ? 0.023 , ? ? ? ?

所以 1 ? ? (

24

因此, ? ? 12 . (1) 考生成绩在 60-84 之间的概率
? 60 ? 72 X ? 72 84 ? 72 ? P{60 ? X ? 84} ? P ? ? ? ? ? ?(1) ? ?(?1) ? 2?(1) ? 1 ? 0.6826; 12 12 ? ? 12

?

) ? 0.023 , 即 ? (

24

?

) ? 0.977 ? ? (2) .

(2) 合格率
? X ? 72 60 ? 72 ? P{ X ? 60} ? P ? ? ? ? 1 ? ?(?1) ? ?(1) ? 0.8413. 12 ? ? 12

10. (14 分) 一工厂生产的某种电池的寿命服从正态分布 N (25,100) , 现在从这种 电池中随机抽取 16 个, 测得平均寿命为 23.8 小时, 由此能否断定: 在显著性水平 为 ? ? 0.05 时, 该种电池的平均寿命小于 25 小时. (?(1.96) ? 0.975, ?(1.64) ? 0.95) 解: 设 X 为电池寿命, 则 X ~ N ( ? ,100) . (1)假设 H 0 : ? ? ?0 ? 25 ; (2)取统计量 U ?
X ? ?0

?

n

~ N (0,1) ;

(3) 由 ? ? 0.05 , 确定临界值 ?u? ? ?1.64 , 使得 P{U ? ?u? } ? 0.05 ; (4)由样本均值 x ? 23.8 , 得统计量 U 的观察值
u0 ? x ? ?0

?

n

?

23.8 ? 25 10 16

? ?0.48 .

(5)因为 u0 ? ?0.48 ? ?1.64 ,此时没有充分理由说明小概率事件 {u ? ?1.64} 一定发生. 所以接受原假设 H 0 , 认为这种电池的平均寿命不小于 25 小时. 注: 原假设不能设为 H 0 : ? ? ?0 ? 25 ,此时 ? 取不到 ?0 ,统计量 U ? 义了!
X ? ?0

?

n

就没有意

11. (14 分)设总体 X 是离散型随机变量, 其所有可能的取值为 0, 1, 2, 已知 EX ? 2(1 ? ? ) , P{X ? 2} ? (1 ? ? )2 , ? 为参数. 对 X 取容量为 10 的样本如下 1, 1, 0, 2, 2, 1, 1, 1, 0, 2. 求参数 ? 的矩估计和极大似然估计. 解: 利用期望的概念及分布律的性质, 得 X 的分布律为 X 0 1 P

2

?2

2? (1 ? ? )
X ; 结合 x ? 1.1 , 2

(1 ? ? )2

? ? 1? (1) 由 X ? 2(1 ? ? ) , 得 ? 的矩估计量为 ?
? ? 1 ? x ? 0.45 . ? 的矩估计值为 ? 2

(2) 构造似然函数为

L(? ) ? P{X1 ? 1, X 2 ? 1, ?, X10 ? 2} ? P{X1 ? 1}P{X 2 ? 1}?P{X10 ? 2} ? 32(1 ? ? )11? 9 ,
取对数 ln L(? ) ? ln 32 ? 11ln(1 ? ? ) ? 9ln ? ,
d (ln L(? )) 11 9 ?? ? ?0, d? 1?? ? ?? 9 . 得 ? 的极大似然估计值为 ? 20

求导数


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