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高考数学:平面几何知识在解析几何中的应用

平面几何知识在解析几何中的应用 解析几何是用代数的方法解决几何问题,思路直接,但运算量大,如果能够挖掘问题中的 平面几何要素,利用平面几何知识来协助求解,往往会事半功倍. 当问题涉及求两条线段长度的和(或差)的最值时, 可联系三角形的三边关系 例 1 已知椭圆+=1 内有两点 A(2,2) ,B(3,0) ,P 为椭圆上一点,则 PA+PB 的 最大值是 . 分析: 使用解析几何知识列式计算,过程相当繁杂,若根据三角形两边之差小于第三 边来求解,则快捷许多. 解: 如图 1 所示,B 为椭圆+=1 的右焦点,设椭圆的左焦点为 F(-3,0) ,则 AF==. 由椭圆方程可知 a=5,所以 PF+PB=2a=10. 结合三角形三边关系可知:PA+PB=PA+10-PF≤AF+10=10+,当且仅当 P 与 AF 的 延长线与椭圆的交点 P′重合时取等号,所以 PA+PB 的最大值是 10+. 评注: 解例 1 的关键是把 PA+PB 转化为 PA-PF+10,涉及求两条线段长度之差的最 值,自然联想到三角形的性质.思考方向是:活用定义,化折为直. 当问题中有正三角形、直角三角形时, 不妨考虑用其边角关系 例 2 过抛物线 y2=8x 的焦点 F 作倾斜角为 60°的直线,若此直线与抛物线交于 A,B 两点,弦 AB 的中垂线与 x 轴交于点 P,则线段 PF 的长等于 . (A) (B) (C) (D) 8 分析: 例 2 的常规解法是设法求出线段 AB 的中垂线方程,再求出点 P 的坐标,进而 求出 PF 的长,过程复杂且运算量大.若从平面几何角度入手,则较为简单. 解:如图 2 所示, 抛物线的准线 l 交 x 轴于点 E, AB 的中垂线交自身于点 Q, 作 AD=BF. 因为 Q 为 AB 的中点,所以 AQ=BQ,FQ=DQ. 作 AM⊥l 于点 M,BN⊥l 于点 N,BB′⊥x 轴于点 B′.由抛物线知识可知:AF=AM, BF=BN,∠MAF=∠AFP=60°,所以△AMF 是正三角形,∠AFM=60°,从而∠MFE=60° . 因为∠FBN=120°,所以∠NFB=30° .又因为∠EFB=∠AFP=60°,所以∠EFN=30°. 因为 EF=4,所以 AF=MF==8,NE=EF·tan∠EFN=,BF===. 而 QF=FD=(AF-BF) =, 所以 FP==.故答案为 A. 评注: 在例 2 的解法中,由抛物线的定义实现了抛物线上点到焦点和到准线距离之间 的相互转化, 然后通过挖掘图象中的正三角形和直角三角形等条件, 利用其边角关系, 从 “形” 出发求“数”. 思维途径是:构建直角三角形,寻找边角关系. 当问题中含有相似三角形时, 用好相似比 例 3 设定点 F 到定直线 l 的距离为 p(p>0) ,动点 M 在定直线 l 上,动点 N 在 MF 的延长线上,且满足=,建立适当的坐标系,求动点 N 的轨迹方程. 分析: 首先要建立适当的坐标系,然后利用已知条件,构建相似三角形,确定动点的 运动规律. 解: 如图 3 所示,以 l 为 y 轴、过点 F 垂直于 l 的直线为 x 轴建立平面直角坐标系, 则有 F(p,0).设 N(x,y) ,过 N 作 NQ 垂直 y 轴于点 Q. 因 为 = , 所 以 =. 由 题 意 可 知 △ MOF ∽ △ MQN , 所 以 ==== , 化 简 得 : ( p2-1 ) x2-2p3x+p2y2+p4=0 (x>0). 评注: 若建立坐标系后直接求解例 3,运算会比较烦琐.而运用相似三角形的相似比来 解题,就使问题大大简化了.这类题的思维方向是:比例式?圯相似三角形?圯化归转化. 当问题涉及直线与圆的位置关系时, 应用圆心到直线的距离关系 例 4 已知 x,y 满足 x2+y2-4x+4y+4≤0,求 x+2y 的值的取值范围. 分析: 配方后可得(x-2)2+(y+2)2≤4,其几何意义为以(2,-2)为圆心、2 为 半径的圆及其内部.设 z=x+2y,则 x+2y-z=0 表示平面内的平行直线系,示意图如图 4 所 示.问题转化为求直线与圆相交或相切时 z 的取值范围. 解: 把已知的不等方程配方得(x-2)2+(y+2)2≤4,设 z=x+2y. 由题意可得,直 线 l:x+2y-z=0 与圆(x-2)2+(y+2)2=4 的图象有公共点,故圆心(2,-2)到直线 l 的距离 d==≤2,解得-2-2≤z≤-2+2,所以 x+2y 的取值范围为[-2-2,-2+2]. 评注: 处理直线与圆的位置关系问题,一般都用几何法,常常通过圆心到直线的距离 关系求解. 其思维流程为:寻找关系?圯计算距离?圯列式求解. 当问题涉及三角形的内心时, 考虑使用角平分线的性质定理 例 5 已知 M 是椭圆+=1 上任意一点,F1,F2 为椭圆的左右焦点,I 是△MF1F2 的内 切圆圆心.求证:点 M,I 的纵坐标之比为定值. 分析: 内心是三角形内角平分线的交点,若由角平分线的直线方程求交点,会导致烦 琐的计算,而角平分线定理与比例有关,可简化运算. 证明: 如图 5 所示,连结 MI 并延长交 F1F2 于点 N,则 M,I 的纵坐标之比转化为. 由角平分线的性质定理和等比定理得:=====,所以== (定值). 评注: 求解例 5 的时候要灵活使用角平分线定理和等比定理. 这类问题的思维过程可 以归纳为:联想定理?圯合理转化?圯适量计算. 【练一练】 (1) 过抛物线 y2=4x 的焦点 F 作弦 AB,若弦 AB 所在直线的倾斜角为 60°,则的值 为 . (2) 过双曲线-=1 (a>0, b>0) 的右焦点 F 作圆 x2+y2=a2 的切线 FM (切点为 M) , 交 y 轴于点 P. 若 M 为线段 FP 的中点,则双曲线的离心率是 . (A) (B) (C) 2 (D) (3) 求由直线 y=0,x=1,y=x 相交

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