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2015届高考数学总复习第五章 第三节等比数列及其前n项和课件 理

第五章 第三节 等比数列及其前n项和 等比数列基本量的计算 【 例 1】 (1) 已 知 等 比 数 列 {an} 中 , a1 + a2 + a3 = 7 , a1a2a3=8,求公比q,首项a1及通项公式an. (2) 设等比数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ,已知 a2 = 6,6a1 + a3 = 30,求an和Sn. 思路点拨: 利用等比数列的基本量的关系式,根据条件 列方程,进而求出a1和q. 自主解答: 解析:(1)因为等比数列{an}的公比为q,由题意知, 2 ? a + a q + a q ? 1 1 1 =7, ? ? a1q· a1q2=8, ?a1· ? ?a1=1, 解得? ? ?q=2 - ? ?a1=4, 或? 1 ? ?q=2. - ∴an=2n 1(n∈N*)或an=23 n(n∈N*). (2)设等比数列{an}的公比为q,由题设得 ? ?a1q=6, ? 2 ? ?6a1+a1q =30, ? ?a1=3, 解得? ? ?q=2 ? ?a1=2, 或? ? ?q=3. - 当a1=3,q=2时,an=3×2n 1,Sn=3×(2n-1); 当a1=2,q=3时,an=2×3n 1,Sn = 3n-1. - 点评: 转化成基本量的方程,进而解方程是解决 数列问题的基本方法. 变式探究 1.(1)已知数列{an}为等比数列,Sn是它的前n项和,若 a2· a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为 5 ,则S5=_______. 4 (2)在等比数列{an}中,公比q=2,前99项的和S99=30, 则a3+a6+a9+…+a99=________. 解析:(1)设数列{an}的公比为q, 2 a q · a q =2a1, a1=16, 1 1 ? ? ? ? 则? 3 解得? 1 5 6 ? ? ?a1q +2a1q =2, ?q=2. a1?1-q5? 所以S5= = 1-q ? ?1?5? 16?1-?2? ? ? ? ?? 1 1-2 =31. (2)∵S99=30,即a1(299-1)=30. 4a1?833-1? a3+a6+a9+…+a99= = 8-1 4 4 120 99 7a1(2 -1)=7×30= 7 . 120 答案:(1)31 (2) 7 等比数列的证明(或判断) 【例 2】 n(n∈N*). (1) 证明:数列 {an + 1} 是等比数列,并求数列 {an} 的通 已知数列 {an} 的前 n 项和是 Sn ,且 Sn = 2an - 项公式; (2)记bn= an+1 ,求数列{bn}的前n项和Tn. anan+1 自主解答: (1)证明:令n=1,得a1=2a1-1,由此得a1=1. 由于Sn=2an-n,所以Sn+1=2an+1-(n+1), 两式相减得Sn+1-Sn=2an+1-(n+1)-2an+n, 即an+1=2an+1. an+1+1 所以an+1+1=2an+1+1=2(an+1),即 =2,故数 an+1 列{an+1}是等比数列,其首项为a1+1=2, 故数列 {an + 1} 的通项公式是 an + 1 = 2· 2n - 1 = 2n ,故数列 {an}的通项公式是an=2n-1(n∈N*). an+1 2n (2)解析:由(1)得,bn= = n + anan+1 ?2 -1??2n 1-1? ?2n 1-1?-?2n-1? 1 1 = n = n - n+1 , + ?2 -1??2n 1-1? 2 -1 2 -1 + 所以Tn=b1+b2+…+bn= ? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 - 2 ?+? 2 - 3 ?+ … ?2 -1 2 -1? ?2 -1 2 -1? 1 1 1 + n - + =1- n+1 . 2 -1 2n 1-1 2 -1 点评:等比数列的判定方法主要有: an+1 (1)定义法: =q(q是不为0的常数,n∈N*)?{an}是等 an 比数列. (2) 通 项 公 式 法 : an = cqn(c , q 均 是 不 为 0 的 常 数 , n∈N*)?{an}是等比数列. (3) 等比中项公式法: a2n + 1 = an· an + 2(an , an + 1 , an + 2 不 为0,n∈N*)?{an}是等比数列. 变式探究 2.已知a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上, 其中n=1,2,3,…. (1)证明:数列{lg(1+an)}是等比数列; (2)设Tn=(1+a1)(1+a2)· …· (1+an),求Tn及数列{an}的通项; 1 1 (3)记bn= a + ,求数列{bn}的前n项和Sn,并证明Sn+ an+2 n 2 =1. 3Tn-1 (1)证明:由已知an+1=a+2an, ∴an+1+1=(an+1)2. ∵a1=2,∴an+1>1. 两边取对数,得lg(1+an+1)=2lg(1+an), lg?1+an+1? 即 =2, lg?1+an? ∴数列{lg(1+an)}是公比为2的等比数列. (2) 解析: 由 (1) 知lg(1+ an) = 2n - 1· lg(1+a1)=2n - 1· lg 3 =lg 32n-1, ∴1+an=32n-1,∴an=32n-1-1(n∈N*). ∴ Tn = (1 + a1)(1 + a2)· …· (1 + an) = 320×321×322×…×32n-1= 31 + 2 + 22 +…+ 2n - 1= 32n-1. (3)解析:∵an+1=a2 n+2an,∴an+1=an(an+2). 1 ? 1? 1 ∴ =2?a -a +2?. an+1 n ? n ? 1 ∴ an 1 1 2 = a - . + 2 an + 1 n 1 1 又bn=a + , an+2 n ?

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