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浙江省浦江中学2014届高考数学适应性考试 理 新人教A版


2014 年高考适应性考试数

学(理科)

姓名 准考证号 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 4 页,选择题部分 1 至 2 页,非选择题部 分 3 至 4 页。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 选择题部分 (共 50 分) 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在 试卷和答题纸规定的位置上。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 参考公式: 如果事件 A, B 互斥, 那么 棱柱的体积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) V=Sh 如果事件 A, B 相互独立, 那么 其中 S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱 的高 P(A·B)=P(A)·P(B) 棱锥的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p, 那么 n V= Sh
3 1

次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 其中 S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥 的高
k n-k Pn(k)=C k (k = 0,1,2,?, n) n p (1-p)

球的表面积公式

棱台的体积公式
V ? 1 3 h( S1 ? S1S 2 ? S 2 )

S = 4π R2
球的体积公式

其中 S1, S2 分别表示棱台的上、下底面积,

V= π R3
3

4

h 表示棱台的高 其中 R 表示球的半径 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.
1.若集合 A ? {x | 2 x ? 1} , B ? {x | x 2 ? x ? 0} ,则 (CR A) ? B ? A. {x | 0 ? x ? 1}
2

B. {x | 0 ? x ? 1}

C. {x | 0 ? x ? 1}

D. {x | 0 ? x ? 1}

2.函数 y ? 3 ? 2 sin 2 x 的最小正周期为 A.

? 2

B.

?

C. 2?

D. 4?

? x? y?6? 0 ? 3.设实数 x , y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值是 ?2 x ? 3 y ? 4 ? 0 ?

1

A. ? 8

B. ? 6

C. ? 3

D. ?

18 5

4.已知 x ? R ,则“ x ? 0 ”是“ x ? cos x ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 5.定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x) ? ? A. 0 B. ? 512 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? 1? | 2 x ? 1 |, x ? [0,1) 21 ,则 f ( ? ) 的值是 2 ?2 f ( x ? 1), x ? (1,??)
C. ? 1024 D. ? 2048

6.从 6 名教师中选 4 名开设 A, B, C , D 四门课程,每人开设一门课程且开设的课程各不相 同,若这 6 名教师中甲、乙两人不开设 A 课程,则不同的选择方案共有 A. 300 种 B. 240 种 C. 144 种 D. 96 种 7.已知 a, b, c为 ?ABC 的三边,若 b ? c ? a ? bc, 则
2 2 2

b?c 的取值范围是 a
D. ( 3,2]

A. (1,2]

B. (1, 3]

C. [ 3,2]

8.设直线 x ? y ? m ? 0(m ? 0) 与曲线 E : 原点,且 OP ?

x2 y2 O 是坐标 ? ? 1(a ? 0) 相交于 A, B 两点, a b

1 1 (OA ? OB ) ,若直线 OP 的斜率为 ? ,则曲线 E 的离心率是 2 2
B.

A.

2 2

3 2

C. 3

D.

6 2

9.已知 ?ABC 中, ?ACB ? 90?,AB ? 2 BC ? 2 ,将 ?ABC 绕 BC 旋转得 ?PBC ,当直线

PC 与平面 PAB 所成角的正弦值为
A. 2 B. 4

6 时, P、A 两点间的距离是 6
C. 2 2 D. 2 3

10.已知直线 l1 : y ? 3x 和 l 2 : y ? ? 3x ,对于任意一条直线 l : y ? kx 进行变换,记该变换 为 R ,得另一条直线 R(l ) .变换 R 为:先经 l1 反射,所得直线(即以 l1 为对称轴, l 的轴对 称图形)再经 l 2 反射,得到 R(l ) .令 R (1) ? R(l ) ,对于 n ? 2 定义 R ( n) (l ) ? R( R ( n?1) (l )) , 则使得 R A. 2
( m)

(l ) ? l 恒成立的最小正整数 m 为
B. 3 C. 4 D. 6

非选择题部分 (共 100 分) 注意事项: 1. 用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上。 2. 在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。
2

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 把答案填在答题纸的相应位置 11.在复平面内,复数 z ?

i ( i 是虚数单位)对应的点位于第 2?i
.

象限.

2 8 12.二项式 ( x ? ) 的展开式中,含 x 的项的系数是

1 x

13.执行如图的程序框图,若输出 S ? 15 ,则输入 k (k ? N ? ) 的值为 开始 输入 k



2
1
侧视图

n ? 0, S ? 0
否 输出 S 结束

2
正视图

1

n?k?


n ? n ?1
S ? S ?2
n ?1

(第 13 题图)

俯视图

(第 14 题图) .

14.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是

15.已知抛物线 x 2 ? 2 y 的焦点为 F ,直线 l : x ? 2 y ? 2 ? 0 交抛物线于 A, B 两点,则

cos ?AFB 的值是

.

16.已知点 D 是 ?ABC 边 BC 上的点,BD ? 2DC ,过 D 作直线 l 交直线 AB, AC 于 E , F 两 点,若 AE ? ? AB, AF ? ? AC(? ? 0,? ? 0) ,则 ? ? 2 ? 的最小值是 17.已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b ,若存在实数 m ,使得 | f ( m) |?
2 别式 ? ? a ? 4b 的取值范围为

.

1 1 , | f (m ? 1) |? ,则判 4 4

.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本小题满分 14 分)已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ?

n2 ? n ,等比数列 {bn } 满足 2

b1b2 ? 2b3 ,且 b1 , b2 ? 2, b3 成等差数列.
(Ⅰ)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ?

an , Tn 为数列 {cn } 的前 n 项和,求 Tn 的取值范围. bn

3

19. (本小题满分 14 分) 一盒中装有大小质地相同的小球,其中红球 4 个,白球、 黑球各 3 个, (Ⅰ)从中任取两球,求取得的两球颜色不同的概率; (Ⅱ)将红球标上 0,1,2,3 ;白球、黑球分别标上 0,1,2 ;现从盒中任意取出两个小球.记 所取出的两球标号之积 为 ? ,求 ? 的分布列与数学期望. ..

20.(本题满分 15 分)如图,在等腰梯形 ABCD 中, AB // CD , AB ? 2 BC ? 2CD ? 2 , E 是 AB 的中点, F 是 DE 的中点,沿直线 DE 将 ?ADE 翻折至 ?A?DE , (Ⅰ)取 A?B 的中点 G ,求证: EG // 面 A?FC ; (Ⅱ)若使二面角 A? ? DE ? B 为 60 ? ,求二面角 F ? A?B ? C 的正切值.

D

C

A?

F

D F
E B
(第 20 题图)

C

G

A

E

B

21.(本小题满分 15 分)已知椭圆 C : 到焦点的距离为 2 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,短轴端点 2 2 a b

(Ⅱ)已知点 A, B 椭圆 C 上任意两点,满足 OA ? OB (O 为坐标原点) , (ⅰ)试判断点 O 到直线 AB 的距离是否为定值;若是,求出该值;若不是,请说 明理由? (ⅱ)点 P 是以椭圆 C 的长轴为直径的圆上任意一点,求 ?PAB 的面积的最大值. 22.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? a ln x(a ? 0) 有两个零点.
2 2

(Ⅰ)求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)对于任意两个不相等的 x1 , x2 ? (0,??) ,存在 x0 使得 f ?( x0 ) ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) , x1 ? x2

求证: x1 x 2 ? x0 ?

x1 ? x2 . 2

2014 年高考适应性考试 数学(理科)评分标准 一、选择题: (本大题有 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.D 2. A 3. B 4. A 5.C 6. B 7.A 8. D 9. C 10. B
4

二、填空题: (本大题有 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11.二 12.-56 13.4 14.2 15. ?

4 5

16. 3

17. [0, 2]

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 72 分) 18. (本小题满分 14 分)

an ? Sn ? Sn ?1 ? (Ⅰ)当 n ? 2时,


n(n ? 1) (n ? 1)n ? ? n , n ? 1时,a1 ? 1 2 2
????3分

an ? n

设 ?bn ? 的公比为 q ,则 ?

?

b12 q ? 2b1q 2

2 ?2(b1q ? 2) ? b1 ? b1q

????5分

? 2(2q 2 ? 2) ? 2q(1 ? q 2 )
∴ bn ? 2n?1 (Ⅱ) cn ?

? q ? 2, b1 ? 4
????7分

1 2 n ?1 n ? 3 ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 n?2 由错位相减法得 Tn ? 1 ? n ?1 2 n?3 n?2 2n ? 1 ∵ Tn ?1 ? Tn ? 1 ? n ? 2 ? (1 ? n ?1 ) ? n ? 2 ? 0 2 2 2 1 ∴ ? Tn ? 1 4 n
n ?1

∴ Tn ?

????11 分

????14 分

19. (本小题满分 14 分)
2 (Ⅰ)从盒中摸出小球的所有方法总数有 C10 ? 45 种, 2 2 2 其中颜色相同的方法数有 C4 ? C3 ? C3 ? 12 种,

所以取得的两球颜色不同的概率 P ? 1 ? (Ⅱ) ? 的取值为: 0,1, 2,3, 4,6

12 11 ? 45 15

????????5 分 ????????6 分

P(? ? 0) ?

1 1 1 1 C32 ? C3 C7 8 C32 1 C3 C3 3 ; ; ? P ( ? ? 1) ? ? P ( ? ? 2) ? ? ; 2 2 2 C10 15 C10 15 C10 15

1 1 C3 C32 1 C3 1 1 P(? ? 3) ? 2 ? ; P(? ? 4) ? 2 ? ; P(? ? 6) ? 2 ? ; ????10 分 C10 15 C10 15 C10 15

则 ? 的分布列为

?

0

1

2

3

4

6

5

8 1 15 15 1? 6 ? 3 ? 4 ? 6 4 ? ∴ E? ? 15 3
P 20. (本小题满分 15 分)

1 5

1 15

1 15

1 15
????14 分

解析: (Ⅰ)取 A?C 中点 H ,连 FH , GH ,? GH // FE // BC 且GH ? FE ? 即四边形 EFHG 为平行四边形

1 BC 2

A? H K

? FH // EG , EG ? 面A?FC, FH ? 面A?FC ,

? EG // 面A?FC ;????????7 分
则 FH ? 平面 A?BC ,? FH ? A?B ,

D (Ⅱ)解法一:作 FK ? A?B 于 K ,连结 KH ,

C
F
E

G

? A?B ? 平面 FKH ,? A?B ? KH
? ?FKH 为二面角 F ? A?B ? C 的平面角.
又 ?A?KH ∽ ?A?CB ,?

B
????????11 分

3 HK A?H 21 ? ,得: HK ? ,又 HF ? 4 BC A?B 14
????????15 分

? tan?FKH ?

21 . 2

解法二:以 F 为原点, FE 为 x 轴, FC 为 y 轴,建立空间直角坐标系,则

3 3 3 3 3 3 3 ,0), C (0, ,0), A?(0, , ) , A?C 的中点 H (0, , ), 2 2 4 4 8 8 z A? 平面 A?BF 的法向量为 m ? (3,?2 3,2) , B(1,
平面 A?BC 的法向量为 n ? (0, 3,1) ,

2 cos ? m, n ?? ? , 5

D F
E

C

G

y

21 所以二面角 F ? A?B ? C 的正切值为 . 2
x2 ? y2 ? 1; 21. 解: (Ⅰ) 4
????????4 分

x

B

????????15 分

(Ⅱ)当直线 AB 的斜率不存在时,直线 AB 的方程为 x ? ?

2 5 , 5

原点 O 到直线 AB 的距离为

2 5 5

?????5 分

6

当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m , A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则

? x2 ? ? y2 ? 1 由? 4 得: (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx? 4m 2 ? 4 ? 0 ? ? y ? kx ? m

? ? 16(1 ? 4k 2 ? m 2 ) ? 0
8km 4m 2 ? 4 x1 ? x2 ? ? , x1 x 2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
由 OA ? OB ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? ?????7 分

5m 2 ? 4 ? 4k 2 4 ? 0 得 m 2 ? (1 ? k 2 ) ?????8 分 2 5 1 ? 4k
2 5 . 5 4 5 5
????????9 分

(ⅰ)所以原点 O 到直线 AB 的距离为

(ⅱ)当直线 AB 的斜率不存在时 | AB |? 当直线 AB 的斜率存在时,

| AB |? (1 ? k 2 )[(x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?
当 k ? 0 时, | AB |?

4 5

1?

9k 2 ??????11 分 16k 4 ? 8k 2 ? 1

4 5

1?

9 16k 2 ? 1 ?8 k2

1 ? 5 ,当 k ? ? 时等号成立. 2

当 k ? 0 时, | AB |?

4 5 ;所以 | AB | 最大值为 5 . 5

????????13 分

由(ⅰ)知:点 P 到直线 AB 的距离最大值为

2 5 ?2 5

???????14 分

? S ?PAB 的最大值为 1 ? 5 .
22.解: (Ⅰ) f ?( x) ?

????????15 分 ????????1 分

(2 x ? a)( x ? a) x

当 x ? 0 时, f ( x) ? ?? ,当 x ? ?? 时, f ( x) ? ?? . 当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0, a ) 上递减,在 ( a,??) 上递增,
2 2 所以 f ( x) 的最小值为 f (a) ? ?a ln a ,由 ? a ln a ? 0 解得 a ? 1 .????4 分

7

a a ,?? ) 上递增, 2 2 a 3 2 a 2 所以 f ( x) 的最小值为 f ( ? ) ? a ? a ln( ? ) , 2 4 2
当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0, ? ) 上递减,在 (? 由

3 2 a a ? a 2 ln( ? ) ? 0 解得 a ? ?2e 4 . 4 2
3

3

所以 a 的取值范围为 a ? ?2e 4 或 a ? 1 (Ⅱ)记 h( x) ? f ?( x) ? 2 x ? a ?

????????7 分

a2 a2 ? ,则 h ( x) ? 2 ? 2 ? 0 ,????????8 分 x x

所以 f ?( x) 为 (0,??) 上的增函数. 要证 x1 x 2 ? x0 ?

x1 ? x2 , 2 x1 ? x 2 ). 2
????????9 分

只要证 f ?( x1 x 2 ) ? f ?( x0 ) ? f ?( 不妨设 x1 ? x 2

f ?( x0 ) ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ln x1 ? ln x2 ? ( x1 ? x2 ) ? a ? a 2 x1 ? x2 x1 ? x2
2

x1 ?1 x1 ? x 2 x1 x2 a f ?( ) ? f ?( x0 ) ? (ln ? 2 ) x1 2 x1 ? x 2 x2 ?1 x2
设 F (t ) ? ln t ? 2

t ?1 (t ? 1) 2 (t ? (0,1]) ,则 F ?( x) ? ?0 t ?1 t (t ? 1) 2

? F (t ) 在 (0,1] 为增函数.? 当 t ? (0,1) 时, F (t ) ? F (1) ? 0

x1 ?1 x ? x2 x1 x1 x2 a2 ) ? f ?( x0 ) ? 0 , ?2 ? 0 ,又 令t ? 得 ln ? 0 ,所以 f ?( 1 x1 2 x2 x2 x1 ? x2 ?1 x2
即 f ?(

x1 ? x 2 ) ? f ?( x0 ) 2

????????12 分

8

f ?( x1 x2 ) ? f ?( x0 ) ? 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ?
1 t

x x x a2 [ln 1 ? ( 1 ? 2 )] x1 ? x2 x2 x2 x1
(t ? 1) 2 ?0 t2

设 G (t ) ? 2 ln t ? (t ? )( t ? (0,1]) ,则 G ?(t ) ? ?

? G (t ) 在 (0,1] 为减函数.? 当 t ? (0,1) 时, G(t ) ? G(1) ? 0
令t ?

x x x2 x1 a2 得 ln 1 ? ( 1 ? ? 0 , 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 0 ) ? 0 ,又 x1 ? x2 x2 x2 x1 x2

所以 f ?( x1 x2 ) ? f ?( x0 ) ? 0 ,即 f ?( x1 x2 ) ? f ?( x0 ) 所以 f ?( x1 x 2 ) ? f ?( x0 ) ? f ?(

x1 ? x 2 x ? x2 ) 即 x1 x2 ? x0 ? 1 .??????14 分 2 2

2014 年高考适应性考试 数学(理科)评分标准 一、选择题: (本大题有 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.D 2. A 3. B 4. A 5.C 6. B 7.A 8. D 9. C 10. B

9

二、填空题: (本大题有 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11.二 12.-56 13.4 14.2 15. ?

4 5

16. 3

17. [0, 2]

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 72 分) 18. (本小题满分 14 分)

an ? Sn ? Sn ?1 ? (Ⅰ)当 n ? 2时,


n(n ? 1) (n ? 1)n ? ? n , n ? 1时,a1 ? 1 2 2
????3分

an ? n

设 ?bn ? 的公比为 q ,则 ?

?

b12 q ? 2b1q 2

2 ?2(b1q ? 2) ? b1 ? b1q

????5分

? 2(2q 2 ? 2) ? 2q(1 ? q 2 )
∴ bn ? 2n?1 (Ⅱ) cn ?

? q ? 2, b1 ? 4
????7分

1 2 n ?1 n ? 3 ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 n?2 由错位相减法得 Tn ? 1 ? n ?1 2 n?3 n?2 2n ? 1 ∵ Tn ?1 ? Tn ? 1 ? n ? 2 ? (1 ? n ?1 ) ? n ? 2 ? 0 2 2 2 1 ∴ ? Tn ? 1 4 n
n ?1

∴ Tn ?

????11 分

????14 分

19. (本小题满分 14 分)
2 (Ⅰ)从盒中摸出小球的所有方法总数有 C10 ? 45 种, 2 2 2 其中颜色相同的方法数有 C4 ? C3 ? C3 ? 12 种,

所以取得的两球颜色不同的概率 P ? 1 ? (Ⅱ) ? 的取值为: 0,1, 2,3, 4,6

12 11 ? 45 15

????????5 分 ????????6 分

P(? ? 0) ?

1 1 1 1 C32 ? C3 C7 8 C32 1 C3 C3 3 ; ; ? P ( ? ? 1) ? ? P ( ? ? 2) ? ? ; 2 2 2 C10 15 C10 15 C10 15

1 1 C3 C32 1 C3 1 1 P(? ? 3) ? 2 ? ; P(? ? 4) ? 2 ? ; P(? ? 6) ? 2 ? ; ????10 分 C10 15 C10 15 C10 15

则 ? 的分布列为

?

0

1

2

3

4

6

10

8 1 15 15 1? 6 ? 3 ? 4 ? 6 4 ? ∴ E? ? 15 3
P 20. (本小题满分 15 分)

1 5

1 15

1 15

1 15

????14 分

解析: (Ⅰ)取 A?C 中点 H ,连 FH , GH ,? GH // FE // BC 且GH ? FE ? 即四边形 EFHG 为平行四边形

1 BC 2

A? H K

? FH // EG , EG ? 面A?FC, FH ? 面A?FC ,

? EG // 面A?FC ;????????7 分
则 FH ? 平面 A?BC ,? FH ? A?B ,

D (Ⅱ)解法一:作 FK ? A?B 于 K ,连结 KH ,

C
F
E

G

? A?B ? 平面 FKH ,? A?B ? KH

B

? ?FKH 为二面角 F ? A?B ? C 的平面角. ????????11 分
又 ?A?KH ∽ ?A?CB ,?

3 HK A?H 21 ? ,得: HK ? ,又 HF ? 4 BC A?B 14
????????15 分

? tan?FKH ?

21 . 2

解法二:以 F 为原点, FE 为 x 轴, FC 为 y 轴,建立空间直角坐标系,则

3 3 3 3 3 3 3 ,0), C (0, ,0), A?(0, , ) , A?C 的中点 H (0, , ), 2 2 4 4 8 8 z A? 平面 A?BF 的法向量为 m ? (3,?2 3,2) , B(1,
平面 A?BC 的法向量为 n ? (0, 3,1) ,

2 cos ? m, n ?? ? , 5

D F
E

C

G

y

21 所以二面角 F ? A?B ? C 的正切值为 .????????15 分 2
x2 ? y 2 ? 1 ; ????????4 分 21. 解: (Ⅰ) 4
(Ⅱ)当直线 AB 的斜率不存在时,直线 AB 的方程为 x ? ?

x

B

2 5 ,原点 O 到直线 AB 的 5

距离为

2 5 ?????5 分 5
11

当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m , A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则

? x2 ? ? y2 ? 1 由? 4 得: (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx? 4m 2 ? 4 ? 0 ? ? y ? kx ? m

? ? 16(1 ? 4k 2 ? m 2 ) ? 0
8km 4m 2 ? 4 x1 ? x2 ? ? , x1 x 2 ? ?????7 分 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
由 OA ? OB ? x1 x 2 ? y1 y 2 ?

5m 2 ? 4 ? 4k 2 4 ? 0 得 m 2 ? (1 ? k 2 ) ?????8 分 2 5 1 ? 4k
2 5 .????????9 分 5 4 5 5

(ⅰ)所以原点 O 到直线 AB 的距离为

(ⅱ)当直线 AB 的斜率不存在时 | AB |? 当直线 AB 的斜率存在时,

| AB |? (1 ? k 2 )[(x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?
当 k ? 0 时, | AB |?

4 5

1?

9k 2 ??????11 分 16k 4 ? 8k 2 ? 1

4 5

1?

9 16k 2 ? 1 ?8 k2

1 ? 5 ,当 k ? ? 时等号成立. 2

当 k ? 0 时, | AB |?

4 5 ;所以 | AB | 最大值为 5 .????????13 分 5

由(ⅰ)知:点 P 到直线 AB 的距离最大值为

2 5 ? 2 ???????14 分 5

? S ?PAB 的最大值为 1 ? 5 .????????15 分
22.解: (Ⅰ) f ?( x) ?

(2 x ? a)( x ? a) ????????1 分 x

当 x ? 0 时, f ( x) ? ?? ,当 x ? ?? 时, f ( x) ? ?? . 当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0, a ) 上递减,在 ( a,??) 上递增,
2 2 所以 f ( x) 的最小值为 f (a) ? ?a ln a ,由 ? a ln a ? 0 解得 a ? 1 .????4 分

12

a a ,?? ) 上递增, 2 2 a 3 2 a 2 所以 f ( x) 的最小值为 f ( ? ) ? a ? a ln( ? ) , 2 4 2
当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0, ? ) 上递减,在 (? 由

3 2 a a ? a 2 ln( ? ) ? 0 解得 a ? ?2e 4 . 4 2
3

3

所以 a 的取值范围为 a ? ?2e 4 或 a ? 1 ????????7 分 (Ⅱ)记 h( x) ? f ?( x) ? 2 x ? a ?

a2 a2 ? ,则 h ( x) ? 2 ? 2 ? 0 ,????????8 分 x x

所以 f ?( x) 为 (0,??) 上的增函数. 要证 x1 x 2 ? x0 ?

x1 ? x2 , 2 x1 ? x 2 ) .????????9 分 2

只要证 f ?( x1 x 2 ) ? f ?( x0 ) ? f ?( 不妨设 x1 ? x 2

f ?( x0 ) ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ln x1 ? ln x2 ? ( x1 ? x2 ) ? a ? a 2 x1 ? x2 x1 ? x2
2

x1 ?1 x1 ? x 2 x1 x2 a f ?( ) ? f ?( x0 ) ? (ln ? 2 ) x1 2 x1 ? x 2 x2 ?1 x2
设 F (t ) ? ln t ? 2

t ?1 (t ? 1) 2 (t ? (0,1]) ,则 F ?( x) ? ?0 t ?1 t (t ? 1) 2

? F (t ) 在 (0,1] 为增函数.? 当 t ? (0,1) 时, F (t ) ? F (1) ? 0

x1 ?1 x ? x2 x1 x1 x2 a2 ) ? f ?( x0 ) ? 0 , ?2 ? 0 ,又 令t ? 得 ln ? 0 ,所以 f ?( 1 x1 2 x2 x2 x1 ? x2 ?1 x2
即 f ?(

x1 ? x 2 ) ? f ?( x0 ) ????????12 分 2

13

f ?( x1 x2 ) ? f ?( x0 ) ? 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ?
1 t

x x x a2 [ln 1 ? ( 1 ? 2 )] x1 ? x2 x2 x2 x1
(t ? 1) 2 ?0 t2

设 G (t ) ? 2 ln t ? (t ? )( t ? (0,1]) ,则 G ?(t ) ? ?

? G (t ) 在 (0,1] 为减函数.? 当 t ? (0,1) 时, G(t ) ? G(1) ? 0
令t ?

x x x2 x1 a2 得 ln 1 ? ( 1 ? ? 0 , 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 0 ) ? 0 ,又 x1 ? x2 x2 x2 x1 x2

所以 f ?( x1 x2 ) ? f ?( x0 ) ? 0 ,即 f ?( x1 x2 ) ? f ?( x0 ) 所以 f ?( x1 x 2 ) ? f ?( x0 ) ? f ?(

x1 ? x 2 x ? x2 ) 即 x1 x2 ? x0 ? 1 .??????14 分 2 2

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