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高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关2.3直线、平面垂直的判定及其性质(1)课件新人教A版必修2_图文

2.3 直线、平面垂直的判定 及其性质 本课件在复习直线与平面的平行的判定和平面与平面平行 的判定的基础上,以天安门升旗仪式的动画演示引入直线与 平面的垂直的位置关系。以学生探究为主,通过引导学生自 己动手进行纸张的折叠实验,得到直线与平面垂直的定义, 进而探究出直线与平面垂直的判定定理。运用动画展示二面 角的定义和两个平面垂直的判定,让学生自己探索出线面垂 直的判定定理和两个平面垂直的判定定理。 通过例1、例2巩固掌握直线与平面垂直的判定定理,并得 出线面垂直的另一判定定理;通过例3掌握直线与平面所成的 角的定义及求解方法。通过例4巩固掌握二面角的定义和求解 方法。由例5掌握平面与平面垂直的判定定理,运用两个平面 垂直的判定定理证明两平面之间的垂直的位置关系,让学生 初步体会空间几何体中线线垂直、线面垂直和面面垂直之间 的转化。 课前复习 直线与平面平行的判定定理 ? 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么 这条直线和这个平面平行。 平面与平面平行的判定定理 ? 一个平面内两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平 面平行. 直线与平面平行的性质定理 ? 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这 个平面相交,那么这条直线和交线平行. 平面与平面平行性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么它们的交线 平行. 北京天安门广 场上的旗杆与 地面什么位置 关系? 直线和平面垂直的定义 如果一条直线l和一个平面 ? 内的任意一条直线都垂直, 我们就说直线l和平面 ?互相垂直,记作l⊥?. 它们唯一的公共点即交点P叫做垂足. 直线l叫做平面 ?的垂线, 平面 ? 叫做直线l的垂面. 画法:画直线与平面垂直时,通常把直线画成 与表示平面的平行四边形的一边垂直,如图所示. 任意a ? ?,都有 l ? a ? l ?? 数学语言: 基本性质:l ? ?,a ? ?, ?l ?a 练习1. 判断下列语句是否正确:(若不正确请举反例) 1.如果一条直线与一个平面垂直,那么它与平面内所 有的直线都垂直. ( ) √ 2.如果一条直线与平面内的一条直线垂直,那么它与 平面垂直. ( ) × 3.如果一条直线与平面内无数条直线都垂直,那么它 与平面垂直.( ) × 直线与平面垂直的判定 一条直线最少与一个平面的几条直线垂直,可以判断直线与平面垂直呢? A A 如图,准备一块三角形的纸片,做一个试验: A C A D B B D D C C ? C ? B B D 当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时,AD所在直 过 的顶点 A翻折纸片,得到折痕AD,将翻 ? 线与桌面所在平面 垂直. 折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触) 直线与平面垂直判定定理: 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直. l b l?a a ? A a b? A a?? b?? ? a?? 线线垂直 线面垂直 典例展示 例1.如图,已知 a // b, a ? ? ,求证: b ? ? . 证明:在平面 ?内作两条相交直线m,n. a ?? ? a ? m, a ? n. a // b a b 又 所以 ?b ? m, b ? n. b ? ?. ? 推论:两条平行线中的一条垂直一个平面,则另 一条也垂直于这个平面。 例2.如图,点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,O 是对角 线AC与BD的交点,且PA=PC ,PB =PD .求证:PO⊥平面ABCD P 证明:∵PA=PC,点O是AC的中点 ∴PO⊥AC 又∵PB=PD,点O是BD的中点 ∴PO⊥BD B A O C D 又∵AC∩BD=O ∴PO⊥平面ABCD 线线垂直 线面垂直 练习2.判断下列命题是否正确? (1)若一条直线与一个三角形的两条边垂直,则这条直线 垂直于三角形所在的平面.( (2)若一条直线与一个平行四边形的两条边垂直,则这条 直线垂直于平行四边形所在的平面.( √ ) (3)若一条直线与一个梯形的两腰垂直,则这条直线垂直于 梯形所在的平面.( × ) √ ) (4)若一条直线与一个平面不垂直,则这个平面内没有与 这条直线垂直的直线。( ) × 练习3.如图,直四棱柱 ABCD ? A ' B ' C ' D '(侧棱与底面 垂直的棱柱称为直棱柱)中,底面四边形ABCD满足什么 B?D? ? A?C ? 条件时, AA? ? 平面A?B?C ?D? ? AA? ? B?D? 只需B?D? ? A?C? 则B?D? ? 平面AA?C?C ? B?D? ? A?C 结论:当四边形ABCD的两条对角线互相垂直时, B?D? ? A?C 练习4.在三棱锥 V-ABC中,VA=VC,BA=BC .求证:VB⊥AC. 证明:取AC中点O,连接VO和BO ∵VA=VC,BA=BC ∴VO⊥AC,BO⊥AC, 即AC⊥OV,AC⊥OB V 又OV?平面VOB,OB?平面VOB 且OV ∩OB=O A B C ∴AC⊥平面VOB 又VB?平面VOB ∴AC⊥VB,即VB⊥AC 平面的斜线和平面所成的角 1.定义:平面的一条斜线 和它在平面上的射影所成 的锐角,叫做这条直线和 这个平面所成的角。 一条直线垂直与平面,它们所成的角是直角; 一条直线和平面平行,或在平面内,它们所成的角 是0?的角。 2.范围:直线和平面所成角的范围是[0?,90?]。 例 3.如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, 求直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角. D1 C1 B1 解:连接 BC1 交 B1C 于点 O,连接 A1O. A1 D A 设正方体的棱长为 a, 因为 A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B, C 所以 A1B1⊥

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