当前位置:首页 >> 数学 >> 3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离2

3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离2


3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两条直线的交点坐标

3.3.2 两点间的距离

1.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.

2.探求并掌握两点间的距离公式.

1.几何元素及代数表示 几何元素及关系 点P 直线l 点P(x0,y0)在直 线 l上 点P(x0,y0)是 l1,l2的交点 代数表示 坐标P(x,y) 方程Ax+By+C=0

Ax0+By0+C=0 坐标(x0,y0)满足方程,即___________
坐标(x0,y0)满足方程组,
?A1x 0 ? B1y0 ? C1 ? 0, 即? ? A 2 x 0 ? B2 y 0 ? C 2 ? 0

2.两条直线的交点问题
?A1x ? B1y ? C1 ? 0, 的解 ? A 2 x ? B2 y ? C 2 ? 0

方程组 ?

一组

无数组

无解 _____

两条直线l1,l2的公共点 直线l1,l2的位置关系

一个 相交 _____

无数个 重合 _____

零个 平行 _____

3.两点间的距离公式 (1)条件:已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2).

? x 2 ? x1 ? ? ? y 2 ? y1 ? (2)结论:|P1P2|=__________________.
2 2

x ?y (3)特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|=_______.
2 2

1.已知A(2,-1),B(3,-1),则|AB|= A.1 B.2 C.3

(

)

D. 2

【解析】选A.|AB|=|3-2|=1.

2.直线y=x+2与直线y=x+1的位置关系是 A.平行 B.相交 C.垂直
y ? x ? 2, ?y ? x ? 1

(

)

D.重合

【解析】选A.由于方程组 ? ?

无解,故两直线平行.

3.直线x-y=0与直线x+y+2=0的交点坐标是________. 【解析】解方程组 ? ? (-1,-1). 答案:(-1,-1)
x ? y ? 0, ? x ? y ? 2 ? 0,

得? ?

x ? ?1,

? y ? ?1.

所以交点坐标为

4.直线y=x+2与直线y=-x+2a的交点在x轴上,则a=__________. 【解析】解方程组 ? ?
y ? x ? 2, ? y ? ? x ? 2a, ? y ? a ? 1.

得? ?

x ? a ? 1,

由题意得a+1=0,所以a=-1. 答案:-1

5.A(a,2a),B(1,2)两点的距离为 5 ,则a=________. 【解析】由 ? a ? 1?2 ? (2a ? 2) 2 ? 5,得a=0或a=2. 答案:0或2

一、两条直线的交点坐标 根据方程组 ? ? 考下列问题:
A1x ? B1y ? C1 ? 0, ? A 2 x ? B2 y ? C 2 ? 0

的解与两条直线交点的关系,思

探究1:如何解这个方程组?请写出解的过程. 提示:采用消元的方法来解方程组
?A1x ? B1y ? C1 ? 0, ① ? ?A 2 x ? B2 y ? C2 ? 0, ②

①×B2-②×B1得(A1B2-A2B1)x=B1C2-B2C1,

当A1B2-A2B1≠0时,方程组有惟一解
B1C2 ? B2 C1 ? x ? , ? A1B2 ? A 2 B1 ? ? ? y ? C1A 2 ? C2 A1 . ? A1B2 ? A 2 B1 ?

当A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0时,方程组无解; 当A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1=0时,方程组有无数多解.

探究2:两条直线的交点坐标与这两条直线的方程组成的方程组 的解有何关系? 提示:求这两条直线的交点坐标,就是求这两条直线方程组成的 方程组的解.

【探究总结】 1.对求两条直线交点坐标的两点说明 (1)求解直线的交点坐标时,要注意无解和有无数多解的特殊情 况,它们分别对应直线两种特殊的位置关系. (2)若探讨直线的位置关系,最后要把解的情况还原为几何问题 , 即直线的位置关系.

2.方程组的解与两条直线的位置关系的联系 (1)方程组有惟一解,两直线相交. (2)方程组有无穷多解,两直线重合. (3)方程组无解,两直线平行.

二、两点间的距离公式

探究1:在直角坐标系中,已知两点P1(x1,y1),
P2(x2,y2),结合图形探究下列问题: (1)过P1,P2分别向x轴和y轴作垂线,垂足分别 为M1(x1,0),M2(x2,0),N1(0,y1),N2(0,y2),直 线P1N1与P2M2相交于点Q,|P1Q|,|QP2|分别是多少? 提示:因为|P1Q|=|M1M2|,|QP2|=|N1N2|, 所以|P1Q|=|x2-x1|,|QP2|=|y2-y1|.

(2)如何推导出公式|P1P2|= ? x 2 ? x1 ?2 ? ? y 2 ? y1 ?2 ? 提示:在构造的直角△P1QP2中,利用勾股定理,得到|P1P2|2 =|P1Q|2+|QP2|2,由此得到两点间的距离公式|P1P2|=

? x 2 ? x1 ?

2

? ? y 2 ? y1 ? .
2

探究2:观察两点间的距离公式|P1P2|= ? x 2 ? x1 ?2 ? ? y 2 ? y1 ?2 (其 中P1(x1,y1),P2(x2,y2)),并思考下列问题: (1)公式中x1与x2,y1与y2的顺序是否可以互换? 提示:因为公式中含有的是(x2-x1)2与(y2-y1)2的和,故可以交 换顺序.

(2)当P1P2垂直于坐标轴时,公式的形式是怎样的? 提示:当P1P2垂直于y轴时,|P1P2|=|x1-x2|;当P1P2垂直于x轴时, |P1P2|=|y1-y2|.

(3)式子 x 2 ? y 2 的几何意义是什么?
提示:式子 x 2 ? y 2 ? ? x ? 0 ?2 ? ? y ? 0 ?2 表示平面上的点(x,y)到

原点的距离.

【拓展延伸】利用两点间距离公式的几何意义研究函数的值域 对平面上两点间距离公式的直接运用 ,要注意公式的形式, 关于两条线段的和最小或差的绝对值最大问题 ,如果直接代入 两点间距离公式,由于有两个根式,所以求解非常烦琐,故经常 采用对称方法转化后,再由两点间距离求解.

例如:求函数y= x 2 ? x ? 1 ? x 2 ? x ? 1 的值域. 【解析】原式可变形为
1 3 1 3 y ? (x ? ) 2 ? ? (x ? ) 2 ? 2 4 2 4 1 2 3 2 1 2 3 2 ? (x ? )( ? 0? ) ? (x ? )( ? 0? ). 2 2 2 2 它表示动点P(x,0)到 A( 1 , 3 ) 和 B( ? 1 , 3 ) 的距离之差, 2 2 2 2

如图所示:

即y=PA-PB,由于|PA-PB|<AB=1, 所以|y|<1,即-1<y<1,所以函数的值域为(-1,1).

【探究总结】对两点间距离公式的两点说明 (1)求两点间的距离时,可直接把坐标代入相应公式,需注意公 式中被开方数是横坐标差的平方与纵坐标差的平方和 ,切不可 把横、纵坐标混用. (2)两点间的距离公式除求距离外,还可以求参数的值,求解时 直接利用题设建立参数的方程,然后求解得参数值便可.

类型 一

求两条直线的交点坐标

1.(2013·烟台高一检测)在平面直角坐标系xOy中,若三条直线

2x+y-5=0,x-y-1=0和ax+y-3=0相交于一点,则实数a的值为
__________.

2.判断下列各对直线的位置关系,若相交,求出交点坐标:
(1)l1:2x-y+3=0,l2:x+2y-1=0.

(2)l1:3x+4y+2=0,l2:6x+8y+3=0.
(3)l1:x-y+1=0,l2:2x-2y+2=0.

【解题指南】1.可先求直线2x+y-5=0与x-y-1=0的交点坐标,然 后将该交点坐标代入直线方程ax+y-3=0即可求出a的值. 2.解两直线方程组成的方程组,根据解的情况判断.

【自主解答】1.解方程组 ? ?

2x ? y ? 5 ? 0,

?x ? y ? 1 ? 0

得? ?

x ? 2,

? y ? 1.

将x=2,y=1代入ax+y-3=0,得2a+1-3=0,解得a=1. 答案:1

2.(1)解方程组 ? ? (2)解方程组 ? ?

2x ? y ? 3 ? 0,

? x ? 2y ? 1 ? 0,

得? ?

x ? ?1,

? y ? 1,

所以直线l1与l2相交,交点坐标为(-1,1).
3x ? 4y ? 2 ? 0, ① ?6x ? 8y ? 3 ? 0, ②

①×2-②得1=0,矛盾,方程组无解. 所以直线l1与l2无公共点,即l1∥l2. (3)解方程组 ? ?
x ? y ? 1 ? 0, ① ?2x ? 2y ? 2 ? 0, ②

①×2得2x-2y+2=0.

因此,①和②可以化为同一个方程,即①和②表示同一条直线,
所以直线l1与l2重合.

【规律总结】求两直线的交点坐标的方法及注意事项
(1)方法:联立这两条直线的方程组成方程组,这个方程组的解 对应的实数对即为两条直线的交点坐标. (2)注意事项:解题过程中注意对其中参数进行分类讨论.

【变式训练】 已知直线l1:Ax+3y+C=0,l2:2x-3y+4=0,若l1,l2的交点在y轴上,求 C的值.
? ? ? 4 ? C? x? , ? ? ?Ax ? 3y ? C ? 0, A?2 【解析】由 ? 得? 因为直线l1,l2 ?2x ? 3y ? 4 ? 0, ? y ? ? 2 ?4 ? C ? 4 , ? 3 A?2 3 ? ? ? 4 ? C?

的交点在y轴上,所以x=

A?2

=0,即C=-4.

类型 二

过定点的直线系方程

1.(2013·重庆高一检测)对任意实数m,直线(m-1)x+2my+6=0必 经过的定点是 A.(1,0) ( ) C.(6,-3)
6 3 D. ( ,? ) 1? m m

B.(0,-3)

2.设直线l1:x-3y+4=0和l2:2x+y+5=0的交点为P,求过点P和原点 的直线方程.

【解题指南】1.整理为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0的形式,解 方程组得定点坐标. 2.利用交点坐标或者用过定点的直线系方程求解即可 .

【自主解答】1.选C.直线方程(m-1)x+2my+6=0可化为:-x+6 +m(2y+x)=0.因此,该直线恒过直线-x+6=0与x+2y=0的交点.由
?? x ? 6 ? 0, 得 ? x ? 6, 故选C. ? ? x ? 2y ? 0 ? y ? ?3, ?

19 3 ,又O(0,0),写出方程为3x+19y=0. 2.方法一:求得交点P (? , ) 7 7

方法二:过两直线l1:x-3y+4=0及l2:2x+y+5=0的交点的直线系方 程可以写为x-3y+4+λ(2x+y+5)=0(不包括直线l2),把O(0,0)代 入过P点的直线系方程x-3y+4+λ(2x+y+5)=0,得λ=- 4 ,故所求
5

直线方程为:x-3y+4- 4 (2x+y+5)=0,即3x+19y=0.
5

【延伸探究】本题2条件不变,求过点P和点(1,1)的直线方程, 结果如何? 【解析】设过P点的直线方程为x-3y+4+λ(2x+y+5)=0,把点 (1,1)代入,解得λ=- 1 ,故所求方程为:x-3y+4- 1 (2x+y+5)=0,
4 4

即2x-13y+11=0.

【规律总结】含有一个参数的直线方程过定点问题的三种方法 (1)若含有一个参数的二元一次方程能整理为A1x+B1y+C1+λ (A2x+B2y+C2)=0,其中λ是参数,则说明了它表示的直线必过
A1x ? B1y ? C1 ? 0, 定点,其定点可由方程组 ? 解得. ? ? A 2 x ? B2 y ? C 2 ? 0

(2)若整理成y-y0=k(x-x0)的形式,则表示的所有直线必过定点 (x0,y0).

(3)因方程对参数的任意取值,所得直线都过定点,所以可取参
数的两个特殊值,解方程组可得定点坐标.

【拓展延伸】常见的直线系 (1)与直线L:Ax+By+C=0平行的直线系方程为:Ax+By+m=0(其中 m≠C,m为待定系数). (2)与直线L:Ax+By+C=0垂直的直线系方程为:Bx-Ay+m=0(m为待 定系数). (3)过定点P(x0,y0)的直线系方程为:A(x-x0)+B(y-y0)=0. (4)若直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0相交于M(x0, y0),则方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R)表示过l1与l2交 点的直线系方程(但不包括直线l2),其中λ为待定系数.

【变式训练】
若直线mx-y+(2m+1)=0恒过一定点,则此定点是 ( )

A.(-2,1)

B.(2,1)

C.(1,-2)

D.(1,2)

【解析】选A.把直线mx-y+(2m+1)=0,化为点斜式得y-1=m(x+2), 所以直线过定点(-2,1).

类型 三

两点间的距离公式 )

1.已知A(2,1),B(-1,b),|AB|=5,则b的值为 ( A.-3 B.3 C.-3或5

D.-1或-3

2.(2014·兰州高一检测)△ABC三个顶点的坐标分别为A(-4, -4),B(2,2),C(4,-2),求三角形AB边上中线的长度. 【解题指南】1.直接利用两点间距离公式即可求出b的值. 2.先利用中点坐标公式求AB的中点坐标,再利用两点间距离公 式即可求出.

【自主解答】1.选C.因为|AB|= ? ?1 ? 2 ?2 ? ? b ? 1?2 =5,
所以9+(b-1)2=25, 所以b=5或b=-3. 2.AB的中点D的坐标为D(-1,-1),
2 所以|CD|= ? ?1 ? 4 ?2 ? [ ? 1 ? ? ?2 ?] ? 26.

故AB边上中线长为 26 .

【规律总结】 1.两点间距离的求法 (1)当直线和坐标轴垂直时,可以用两点间距离公式的特殊形式 , 如A(x,y1),B(x,y2),则|AB|=|y1-y2|. (2)两点间距离公式对任意两点都成立,解题过程中注意恰当设 点,确定两点坐标即可代入公式求距离. 2.利用两点间距离求参数的方法

已知距离求参数是最常见的距离公式的应用,一般是通过距离
公式列出方程,解方程求参数.

【变式训练】 已知A(2,2),B(5,-2),点P在x轴上且|PA|=|PB|,试求|AB|+|PA| 的值. 【解析】设P(x,0),依题意有 ? x ? 2 ?2 ? 4 ? ? x ? 5 ?2 ? 4, 故x= 7 ,所以 P( 7 ,) 0.
2 2

所以|AB|+|PA|= =5+ 5 =7.5.
2

? 5 ? 2 ? ? ? ?2 ? 2 ?
2

2

7 2 2 ? ( ? 2) ? ?0 ? 2? 2

【拓展类型】两点间距离公式在几何证明中的应用 1.△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形,用解析法 证明:|AE|=|CD|. 2.已知AD是△ABC边BC的中线,用坐标法证 明:|AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|CD|2). 【解题指南】建立适当的平面直角坐标系,写出各个点的坐标, 再利用两点间的距离公式求解即可.

【解析】1.如图所示,以B为坐标原点,取AC所在的直线为x轴,
以垂直于AC且经过B点的直线为y轴,建立平面直角坐标系.

设△ABD和△BCE的边长分别为a和c,
c 3c ,C(c,0), a 3a 则A(-a,0),E ( , ) D( ? , ) , 2 2

2

2

则 AE ? [ c ? ? ?a ?]2 ? ( 3c ? 0) 2
2 2
c 2 3c 2 ? a ? ac ? ? ? a 2 ? ac ? c 2 , 4 4
2

a 3a CD ? (? ? c) 2 ? ( ? 0) 2 2 2 a2 3a 2 2 ? ? ac ? c ? ? a 2 ? ac ? c 2 , 4 4

所以|AE|=|CD|.

2.以D为坐标原点,BC所在直线为x轴建立 如图坐标系.

设C(c,0),B(-c,0),A(a,b),
所以|AB|2=(a+c)2+b2,|AC|2=(a-c)2+b2,

可得:|AB|2+|AC|2=[(a+c)2+b2]+[(a-c)2+b2]=2(a2+b2+c2)
因为|AD|2=a2+b2,|DC|2=c2.

所以2(|AD|2+|DC|2)=2(a2+b2+c2),
因此,|AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|DC|2),原命题得证.

【规律总结】用解析法解决几何问题的三个步骤


赞助商链接
更多相关文档:

3.3.1两条直线的交点坐标_3.3.2两点间的距离_教案(人教...

3.3.1两条直线的交点坐标_3.3.2两点间的距离_教案(人教A版必修2)_数学_高中教育_教育专区。3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离 ●三维目标...

...3.33.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离学案...

2018版高数第三章直线与方程3.33.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离学案新人教A版必修220180502130_数学_高中教育_教育专区。3.3.1 两条直线的交点坐标...

3.3.1 两条直线的交点坐标

3.3.1 两条直线的交点坐标_高二数学_数学_高中教育_教育专区。3.3.1 两条...求两点间的距离 已知点 A(-1,2),B(2, 7),在 x 轴上求一点 P,使|...

3.3 直线的交点坐标与距离公式 教案

人教版新课标普通高中◎数学 2 必修 (A 版) 3.3 直线的交点坐标与距离公式教案 A 第 1 课时教学内容:3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离 ...

3.3.1两条直线的交点坐标

3.3.1两条直线的交点坐标_英语_小学教育_教育专区。语文数学英语,全册上册下册,期中考试,期末考试,模拟考试,单元测试,练习说课稿,备课教案学案导学案 ...

必修2第三章教案 两条直线的交点坐标、两点间的距离

必修2章教案 两条直线的交点坐标两点间的距离_数学_高中教育_教育专区。高一数学 必修 直线与方程 两条直线的交点坐标两点间的距离一、新知学习 A....

两直线的交点坐标和两点间的距离

两直线的交点坐标和两点间的距离 - 3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离 【学习目的】 (1)进一步掌握两条直线的位置关系,能够根据方程判断两直线...

...:3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离公式...

2017-2018学年高一数学人教A版必修2试题:3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离公式 Word版含解析。超级好的资料,保证是精品文档 ...

《3.3.1 两条直线的交点坐标》 导学案

高二数学必修 2 sx-14-02-023 学然后能行,思然后有得 《3.3.1 两条直线的交点坐标》编写:赵刚 审稿人:高一数学组 班级 【学习目标】: 1、会求两直线的...

3.3.1两条相交直线的交点坐标

灵石一中课前自主学习型学案1课题 班级 目标 重点 3.3.1 两条直线的交点坐标 小组能用解方程组的方法求两直线的交点坐标 判断两直线是否相交,求交点坐标 高二...

更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com