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高中数学 (1.2 指数函数及其性质 第3课时)示范教案 新人教A版必修1


第 3 课时

指数函数及其性质(3)

导入新课 思路 1.我们在学习指数函数的性质时,利用了指数函数的图象的特点,并且是用类比和归纳 x x+1 x-1 的方法得出,在上节课的探究中我们知道,函数①y=3 ,②y=3 ,③y=3 的图象之间的关系, x x+m 由其中的一个可得到另外两个的图象,那么,对 y=a 与 y=a (a>0,m∈R)有着怎样的关系呢? 在理论上,含有指数函数的复合函数是否具有奇偶性呢?这是我们本堂课研究的内容.教师点 出课题:指数函数及其性质(3). 思路 2.我们在第一章中,已学习了函数的性质,特别是单调性和奇偶性是某些函数的重要特 点,我们刚刚学习的指数函数,严格地证明了指数函数的单调性,便于我们在解题时应用这些 性质,在实际生活中,往往遇到的不单单是指数函数,还有其他形式的函数,有的是指数函数 的复合函数,我们需要研究它的单调性和奇偶性 ,这是我们面临的问题也是我们本堂课要解 决的问题——指数函数及其性质(3). 推进新课 新知探究 提出问题 (1)指数函数有哪些性质? (2)利用单调性的定义证明函数单调性的步骤有哪些? (3)对复合函数,如何证明函数的单调性? (4)如何判断函数的奇偶性,有哪些方法? 活动: 教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,及时评价学生,学生有困惑时加以 解释,可用多媒体显示辅助内容. 讨论结果:(1)指数函数的图象和性质 x 一般地,指数函数 y=a 在底数 a>1 及 0<a<1 这两种情况下的图象和性质如下表所示: a>1 0<a<1

图象

图象特征图象分布在一、二象限,与 y 轴相交,落在 x 轴的上方 图象 特征 都过点(0,1) 第一象限的点的纵坐标都大于 1;第二象 限的点的纵坐标都大于 0 且小于 1 从左向右图象逐渐上升 (1)定义域:R (2)值域: (0,+∞) 性质 (3)过定点(0,1),即 x=0 时,y=1 (4)x>0 时,y>1;x<0 时,0<y<1 (5)在 R 上是增函数 (4)x>0 时,0<y<1;x<0 时,y>1 (5)在 R 上是减函数 第一象限的点的纵坐标都大于 0 且小于 1;第二象限的点的纵坐标都大于 1 从左向右图象逐渐下降

(2)依据函数单调性的定义证明函数单调性的步骤是: ①取值.即设 x1、x2 是该区间内的任意两个值且 x1<x2. ②作差变形.即求 f(x2)-f(x1),通过因式分解、配方、有理化等方法,向有利于判断差 的符号的方向变形.
1

③定号.根据给定的区间和 x2-x1 的符号确定 f(x2)-f(x1)的符号,当符号不确定时,可 以进行分类讨论. ④判断.根据单调性定义作出结论. (3)对于复合函数 y=f(g(x))可以总结为: 当函数 f(x)和 g(x)的单调性相同时,复合函数 y=f(g(x))是增函数; 当函数 f(x)和 g(x)的单调性相异即不同时,复合函数 y=f(g(x))是减函数; 又简称为口诀“同增异减”. (4)判断函数的奇偶性: 一是利用定义法,即首先是定义域关于原点对称,再次是考察式子 f(x)与 f(-x)的关系,最后 确定函数的奇偶性; 二是作出函数图象或从已知图象观察,若图象关于原点或 y 轴对称,则函数具有奇偶性. 应用示例 思路 1 x 例 1 在同一坐标系下作出下列函数的图象,并指出它们与指数函数 y=2 的图象的关系. x+1 x+2 x-1 x-2 (1)y=2 与 y=2 ;(2)y=2 与 y=2 . 活动:教师适当时候点拨,学生回想作图的方法和步骤,特别是指数函数图象的作法,学生回 答并到黑板上作图,教师指点学生,列出对应值表,抓住关键点,特别是(0,1)点,或用计算机 作图. 解:(1)列出函数数据表作出图象如图 2-1-2-12. x 2 2 2
x x+1 x+2

-3 0.125 0.25 0.5

-2 0.25 0.5 1

-1 0.5 1 2

0 1 2 4

1 2 4 8

2 4 8 16

3 8 16 32

图 2-1-2-12 x 比较可知函数 y=2 、 y=2 与 y=2 的图象的关系为: 将指数函数 y=2 的图象向左平行移动 1 x+1 x 个单位长度,就得到函数 y=2 的图象;将指数函数 y=2 的图象向左平行移动 2 个单位长度, x+2 就得到函数 y=2 的图象. (2)列出函数数据表作出图象如图 2-1-2-13
x+1 x+2 x

x 2 2 2
x x-1 x-2

-3 0.125 0.625 0.3125

-2 0.25 0.125 0.625

-1 0.5 0.25 0.125

0 1 0.5 0.25

1 2 1 0.5

2 4 2 1

3 8 4 2

2

图 2-1-2-13 x 比较可知函数 y=2 、 y=2 与 y=2 的图象的关系为: 将指数函数 y=2 的图象向右平行移动 1 x-1 x 个单位长度,就得到函数 y=2 的图象;将指数函数 y=2 的图象向右平行移动 2 个单位长度, x-2 就得到函数 y=2 的图象. x x+m 点评:类似地,我们得到 y=a 与 y=a (a>0,a≠1,m∈R)之间的关系: x+m x y=a (a>0,m∈R)的图象可以由 y=a 的图象变化而来. x x+m 当 m>0 时,y=a 的图象向左移动 m 个单位得到 y=a 的图象; x x+m 当 m<0 时,y=a 的图象向右移动|m|个单位得到 y=a 的图象. 上述规律也简称为“左加右减”. 变式训练 x-3 x 为了得到函数 y=2 -1 的图象,只需把函数 y=2 的图象( ) A.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 B.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 C.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 D.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 答案:B 点评:对于有些复合函数的图象,常用变换方法作出.
x-1 x-2 x

例 2 已知定义域为 R 的函数 f(x)=

? 2x ? b 是奇函数. 2 x ?1 ? a

(1)求 a,b 的值; 2 2 (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t -2t)+f(2t -k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. 活动: 学生审题,考虑解题思路.求值一般是构建方程,求取值范围一般要转化为不等式,如果 有困难 , 教师可以提示 , ( 1 )从条件出发 , 充分利用奇函数的性质 , 由于定义域为 R, 所以 f(0)=0,f(-1)=-f(1),(2)在(1)的基础上求出 f(x),转化为关于 k 的不等式,利用恒成立 问题再转化. (1)解:因为 f(x)是奇函数, 所以 f(0)=0,即

b ?1 =0 ? b=1, a?2

1? 2x 所以 f(x)= ; a ? 2 x ?1

1 1? 2 2 ? a=2. 又由 f(1)=-f(-1)知 =? a?4 a ?1 1?
(2)解法一:由(1)知 f(x)=

1? 2x 1 1 =? + x ,易知 f(x)在(-∞,+∞)上为减函数. x ?1 2 2 ?1 2?2
2 2

又因 f(x)是奇函数,从而不等式:f(t -2t)+f(2t -k)<0, 2 2 2 等价于 f(t -2t)<-f(2t -k)=f(k-2t ),因 f(x)为减函数,由上式推得: 2 2 2 t -2t>k-2t ,即对一切 t∈R 有 3t -2t-k>0, 从而判别式 Δ =4+12k<0, ∴k< ?

1 . 3
3

解法二:由(1)知 f(x)=

1? 2x . 2 ? 2 x ?1
? 1 ? 2 2t 2 ? 2 2t
2

又由题设条件得
2 t 2 ? k ?1

1 ? 2t 2 ? 2t
2

2

? 2t

2

?k

2

? 2 t ?1

2

? k ?1

<0,
2

即 (2

? 2)(1 ? 2 t

? 2t

) ? (2 t

? 2t

? 2)(1 ? 2 t
2

?k

) <0.

整理得 2

3t 2 ? 2 t ? k

>1,因底数 2>1,故 3t -2t-k>0,

上式对一切 t∈R 均成立,从而判别式 Δ =4+12k<0,即 k<-

1 . 3
1 为减(增) f ( x)

点评: 记住下列函数的增减性,对解题是十分有用的,若 f(x)为增(减)函数,则 函数. 思路 2 例1

ex a 设 a>0,f(x)= ? x 在 R 上满足 f(-x)=f(x). a e
(1)求 a 的值; (2)证明 f(x)在(0,+∞)上是增函数. 活动:学生先思考或讨论,如果有困难,教师提示,引导. (1)求单独一个字母的值,一般是转化为方程,利用 f(-x)=f(x)可建立方程. (2)证明增减性一般用定义法,回忆定义法证明增减性的步骤,规范书写的格式. (1)解:依题意,对一切 x∈R 有 f(-x)=f(x)成立,即 所以 (a ? )(e ?
x
x a 1 x e ? x. +ae = x a e ae

1 a

1 1 ) =0 对一切 x∈R 成立.由此可得 a ? =0,即 a2=1. x a e

又因为 a>0,所以 a=1. (2)证明:设 0<x1<x2, f(x1)-f(x2)= e
x1

? e x2 ?

(1 ? e x1 ? x2 ) 1 1 1 x1 x2 ? x1 x1 x2 e ( e ? 1 ) = = · . ? ( e ? e )( ? 1 ) e x1 ? x2 e x1 e x2 e x1 ? x2
x2 ? x1

由 x1>0,x2>0,x2-x1>0,得 x2+x1>0, e

>0,1 ? e

x2 ? x1

<0,

所以 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x)在(0,+∞)上是增函数. 点评: 在已知等式 f(-x)=f(x)成立的条件下,对应系数相等,求出 a,也可用特殊值求解.证明 函数的单调性,严格按定义写出步骤,判断过程尽量明显直观. 例 2 已知函数 f(x)=3 ,且 x=a+2 时,f(x)=18,g(x)=3 ?4 的定义域为[0,1].
x

ax

x

(1)求 g(x)的解析式;

4

(2)求 g(x)的单调区间,确定其增减性并试用定义证明; (3)求 g(x)的值域. x 解:(1)因为 f(x)=3 ,且 x=a+2 时 f(x)=18, a+2 a 所以 f(a+2)=3 =18.所以 3 =2. ax x a x x 所以 g(x)=3 -4 =(3 ) -4 . x x 所以 g(x)=2 -4 . x x (2)因为函数 g(x)的定义域为[0,1],令 t=2 ,因为 x∈[0,1]时,函数 t=2 在区间[0,1] 上单调递增, 所以 t∈[1,2],则 g(t)=t-t =-(t -t)=-(tx 2 2

1 2 1 ) + ? ,t∈[1,2]. 2 4
2

因为函数 t=2 在区间[0,1]上单调递增,函数 g(t)=t-t 在 t∈[1,2]上单调递减, 所以函数 g(x)在区间[0,1]上单调递减. 证明:设 x1 和 x2 是区间[0,1]上任意两个值,且 x1<x2, g(x2)-g(x1)= 2
x2

? 4 x2 ? 2 x1 ? 4 x1 = (2 x2 ? 2 x1 ) ? (2 x2 ? 2 x1 )( 2 x2 ? 2 x1 ) =

(2 x2 ? 2 x1 )(1 ? 2 x1 ? 2 x2 ) ,
因为 0≤x1≤x2≤1, 所以 2
x2

? 2 x1 ,且 1≤ 2 x1 <2,1< 2 x2 ≤2.
x x

所以 2< 2 1 ? 2 2 <4. 所以-3<1- 2 1 ? 2 2 <-1,可知 (2
x x
x2

? 2 x1 )(1 ? 2 x1 ? 2 x2 ) <0.

所以 g(x2)<g(x1). 所以函数 g(x)在区间[0,1]上单调递减. (3)因为函数 g(x)在区间[0,1]上单调递减, 所以 x∈[0,1]时,有 g(1)≤g(x)<g(0). 1 1 0 0 因为 g(1)=2 -4 =-2,g(0)=2 -4 =0, 所以-2≤g(x)≤0. 故函数 g(x)的值域为[-2,0]. 点评:此题是一道有关函数的概念、函数性质的应用、推理、证明综合题,要通盘考虑. 知能训练 求函数 y=(

1 |1+2x|+|x-2| ) 的单调区间. 2

活动:教师提示,因为指数含有两个绝对值,要去绝对值,要分段讨论,同时注意底数的大小, 分析出指数的单调区间,再确定函数的单调区间,利用复合函数的单调性学生思考讨论,然后 解答.

1 是区间的分界点. 2 1 1 -1-2x-x+2 1 1-3x 3x-1 1 x 当 x< ? 时,因为 y=( ) =( ) =2 = ? 8 , 2 2 2 2
解:由题意可知 2 与 ? 所以此时函数为增函数.

5

当?

1 1 1+2x-x+2 1 3+x -3-x 1 1 x ≤x<2 时,因为 y=( ) =( ) =2 = ? ( ) , 2 2 8 2 2
1 1+2x+x-2 1 3x-1 1-3x 1 x ) =( ) =2 =2 ? ( ) , 2 2 8

所以此时函数为减函数. 当 x≥2 时,因为 y=(

所以此时函数为减函数. 当 x1∈[ ? =2
1?3 x2

1 1 x 1 1 x ?3 x x ,2),x2∈[2,+∞)时,因为 2 ? ( ) 2- ? ( ) 1= 2 ? 2 2 ? 2 ?3 ? 2 1 8 8 2 2

? 2 ?3? x1 ,
1 x 1 1 x ) 2< ? ( ) 1. 8 8 2

又因为 1-3x2-(-3-x1)=4-3x2+x1=4+x1-3x2<0,所以 1-3x2<-3-x1, 即 2?(

所以此时函数为减函数. 综上所述,函数 f(x)在(-∞, ? 拓展提升 设 m<1,f(x)=

1 1 ]上单调递增,在[ ? ,+∞)上单调递减. 2 2

4x ,若 0<a<1,试求: 4x ? 2

(1)f(a)+f(1-a)的值; (2) f (

1 2 3 1000 )? f( )? f( ) ??? f ( ) 的值. 1001 1001 1001 1001

活动: 学生思考,观察,教师提示学生注意式子的特点,做这种题目,一定要有预见性,即第(2) 问要用到第(1)问的结果,联系函数的知识解决.

4 a 4 4 4a 4 4 4 ? 1? a ? 解:(1)f(a)+f(1-a)= a = a = a ? 4 4 ?2 4 ?2 4 ?2 4 ? 2 4 ? 2 ? 4a 4a ? 2
a 1? a

a

4a 2 4a ? 2 ? = a = =1. 4 ? 2 2 ? 4a 4a ? 2

1 2 3 1000 )? f( )? f( ) ??? f ( ) 1001 1001 1001 1001 1 1000 2 999 500 501 =[ [ f ( )? f( )] ? [ f ( )? f( )] ? ? ? [ f ( )? f( )] 1000 1001 1000 1001 1001 1001
(2) f ( =500×1=500. 点评:第(2)问是第(1)问的继续,第(1)问是第(2)问的基础,两个问号是衔接的,利用前一个 问号解决后一个问号是我们经常遇到的情形,要注意问号与问号之间的联系. 课堂小结 本节课复习了指数函数的性质,借助指数函数的性质的运用,我们对函数的单调性和奇偶性 又进行了复习巩固,利用单调性和奇偶性解决了一些问题,对常考的函数图象的变换进行了 学习,要高度重视,在不断学习中升华提高. 作业

6

课本 P59 习题 2.1A 组 5. 设计感想 指数函数作为一类基本的初等函数,它虽然不具有函数通性中的奇偶性,但是它与其他函数 复合构成具有比较复杂的单调性的函数 ,同时也可以复合出比较特殊的奇函数和偶函数 ,判 断复合函数的单调性和奇偶性要十分小心 ,严格按规定的要求,有时借助数形结合可帮我们 找到解题思路,本堂课是在以前基础上的提高与深化,同时又兼顾了高考常考的内容,因此涉 及面广,容量大,要集中精力,加快速度,高质量完成教学任务. 习题详解 (课本 54 页练习)
1 3

4 1.a 2 = a ,a 4 = a ,a

3

?

3 5

=

1
5

a3

,a

?

2 3

=
3

1
3

a2

.
2

2

3 2 2 3 2.(1) x =x 3 ,(2) 4 ( a ? b) =(a+b) 4 ,(3) 3 (m - n) =(m-n) 3 ,
5 2

(4) (m - n) =(m-n) ,(5) p q =p q ,(6)
2 3

4

6

5

m3 m

=m

3?

1 2

=m .

5 2

36 2 6 2 6 3 216 3.(1)( ) =[( ) ] 2 =( ) = ; 49 7 7 343
1? ? ? ? 3 2 (2)2 3 × 1.5 × 12 =2×3 ×( ) 3 ×(3×2 ) 6 =2 3 3 ×3 2 3 6 =2×3=6; 2

3

3

3

6

1 2

1

1

1 1

1 1 1

1

1

(3)a 2 a 4 a (4)2x
? 1 3

?

1 8

=a 2
1

1 1 1 ? ? 4 8 2

5

=a 8 ;
1 1 1 2

(

? ? ? ? ? 1 3 4 -1 x -2x 3 )=x 3 3 -4x 2 3 =1-4x =1 ? . 2 x

(课本 58 页练习) 1.如图

图 2-1-2-14 2.(1)要使函数有意义,需 x-2≥0,即 x≥2,所以函数 y=3
1

x -2

的定义域为{x|x≥2};

1 (2)要使函数有意义,需 x≠0,即函数 y=( ) x 的定义域是{x∣x≠0}. 2
3.y=2 (x∈N ) (课本第 59 页习题 2.1)
x *

7

A组 1.(1)100;(2)-0.1;(3)4-π ;(4)x-y.
3 1 1

b3 2 解:(1) a

? a2 b2 a 2 2 2?2 = ? ( ) =a ? b 2 2 =a0b0=1. 6 1 1 6? b a2 b 2

2?

1 1

3 3

1

1

1

1

1

1

1

1

(2) a 2 a 2 a = a 2
1

a 2 ? a 2 = a 2 ? a 2 =a 2 .
1 1

(3)

m ?3 m ?4 m
1

=

m2 ? m3 ? m4 m m
5 6 1 4

=

m2 m

1 1 1 ? ? 3 4 5 1 ? 6 4

=m =1.

0

(6 m )5 ? m 4

点评:遇到多重根号的式子,可以由里向外依次去掉根号,也可根据幂的运算性质来进行. 3.解:对于(1),可先按底数 5,再按 答案:1.710 0; 对于(2),先按底数 8.31,再按 答案:2.881 0; 对于(3)这种无理指数幂,先按底数 3,再按 答案:4.728 8; 对于(4)这种无理指数幂,可先按底数 2,其次按 答案:8.825 0.
1 3 7

键,再按 1

2,最后按

,即可求得它的值.

键,再按 1

2,最后按

即可.

键,再按

键,再按 2,最后按

即可.

键,再按 π 键,最后按

即可.

4.解:(1)a 3 a 4 a 12 =a 3
2 3

1 3 7 ? ? 4 12 7

5

=a 3 ;

(2)a 3 a 4 ÷a 6 =a 3 (3)(x y
2 1 3 ? 3 4

5

2 3 5 ? ? 4 6

=a 12 ;

) =x ÷( ?

12

1 ?12 3

y

3 ? ?12 4 -9 4 =x y ;
1 1

(4)4a 3 b

?

1 3

? ? ? 2 ?3 ?3 2 0 a b )=( ? ×4) a 3 3 b 3 3 =-6ab =-6a; 3 3
3 4?( ? ) 2 3 3 2?( ? ) ? 6?( ? ) 2 2

2 1

1 1

(5) (

16 s t ) 25r 4
1 4 ? 1 3

2 ?6

?

3 2

=

2

s

t

5
)(3x
1 4 ? 1 2 1 2 2 3

3 2?( ? ) 2

r

3 4?( ? ) 2
1 4 2 3

=

2 ?6 s ?3 t 9 125 r 9 r 6 = ; 64 s 3 5 ?3 r ? 6
1 1 1 ? ? 4 2 4

(6)(-2x y
1 2

y )(-4x y )=[-2×3×(-4)]x x
? 1 4

y

1 2 2 ? ? ? 3 3 3

=24y;

(7)(2x +3y

?

)(2x -3y

)=(2x ) -(3y

1 2

2

?

1 4

) =4x-9y

2

?

1 2

;

8

(8)4x

1 4

(-3x y

1 4

?

1 3

)÷(-6x

?

1 2

y

?

2 3

? 3 ? 4 4 ? 4 ? 2 ?3? 3 x y )= =2xy 3 . ?6

1 1 1

1 2

1

点评:进行有理数指数幂的运算时,要严格按法则和运算顺序,同时注意运算结果的形式,但 结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数. 3-x 5.(1)要使函数有意义,需 3-x∈R,即 x∈R,所以函数 y=2 的定义域为 R. 2x+1 (2)要使函数有意义,需 2x+1∈R,即 x∈R,所以函数 y=3 的定义域为 R. (3)要使函数有意义,需 5x∈R,即 x∈R,所以函数 y=(
1 x

1 5x ) 的定义域为 R. 2

(4)要使函数有意义,需 x≠0,所以函数 y=0.7 的定义域为{x|x≠0}. 点评: 求函数的定义域一是分式的分母不为零,二是偶次根号的被开方数大于零,0 的 0 次幂 没有意义. 6.解:设经过 x 年的产量为 y,一年内的产量是 a(1+ 年内的产量是 a(1+

p p 2 ),两年内产量是 a(1+ ) ,?,x 100 100

p x p x * ) ,则 y=a(1+ ) (x∈N ,x≤m). 100 100

点评:根据实际问题,归纳是关键,注意 x 的取值范围. 0.8 0.7 x 7.(1)3 与 3 的底数都是 3,它们可以看成函数 y=3 ,当 x=0.8 和 0.7 时的函数值; 因为 3>1, x 0.7 0.8 所以函数 y=3 在 R 上是增函数.而 0.7<0.8,所以 3 <3 . -0.1 0.1 x (2)0.75 与 0.75 的底数都是 0.75,它们可以看成函数 y=0.75 ,当 x=-0.1 和 0.1 时的函 x 0.1 -0.1 数值;因为 1>0.75,所以函数 y=0.75 在 R 上是减函数.而-0.1<0.1,所以 0.75 <0.75 . 2.7 3.5 x (3)1.01 与 1.01 的底数都是 1.01,它们可以看成函数 y=1.01 ,当 x=2.7 和 3.5 时的函数 x 2.7 3.5 值;因为 1.01>1,所以函数 y=1.01 在 R 上是增函数.而 2.7<3.5,所以 1.01 <1.01 . 3.3 4.5 x (4)0.99 与 0.99 的底数都是 0.99,它们可以看成函数 y=0.99 ,当 x=3.3 和 4.5 时的函数 x 4.5 3.3 值;因为 0.99<1,所以函数 y=0.99 在 R 上是减函数.而 3.3<4.5,所以 0.99 <0.99 . m n x x 8.(1)2 ,2 可以看成函数 y=2 ,当 x=m 和 n 时的函数值;因为 2>1,所以函数 y=2 在 R 上是增 m n 函数.因为 2 <2 ,所以 m<n. m n x x (2)0.2 ,0.2 可以看成函数 y=0.2 ,当 x=m 和 n 时的函数值;因为 0.2<1,所以函数 y=0.2 在 R m n 上是减函数.因为 0.2 <0.2 ,所以 m>n. m n x x (3)a ,a 可以看成函数 y=a ,当 x=m 和 n 时的函数值;因为 0<a<1,所以函数 y=a 在 R 上是减 m n 函数.因为 a <a ,所以 m>n. m n x x (4)a ,a 可以看成函数 y=a ,当 x=m 和 n 时的函数值;因为 a>1,所以函数 y=a 在 R 上是增函 m n 数.因为 a >a ,所以 m>n. 点评:利用指数函数的单调性是解题的关键. 9.(1)死亡生物组织内碳 14 的剩余量 P 与时间 t 的函数解析式为 P=(

1 5730 ) . 2

1

当 时 间 经 过 九 个 “ 半 衰 期 ” 后 , 死 亡 生 物 组 织 内 的 碳 14 的 含 量 为

1 P=( ) 2

9?5730 5730

=(

1 9 ) ≈0.002. 2

答:当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳 14 的含量约为死亡前含量的 2?,因 此,还能用一般的放射性探测器测到碳 14 的存在.

9

1 (2)设大约经过 t 万年后,用一般的放射性探测器测不到碳 14,那么( ) 2

10000t 5370

<0.001,解得

t>5.7. 答:大约经过 6 万年后,用一般的放射性探测器是测不到碳 14 的. B组 1.当 0<a<1 时, 2x-7 4x-1 a >a 2 ? x-7<4x-1 ? x>-3; 当 a>1 时, 2x-7 4x-1 a >a ? 2x-7>4x-1 ? x<-3. 综上,当 0<a<1 时,不等式的解集是{x|x>-3}; 当 a>1 时,不等式的解集是{x|x<-3}. 2.分析:像这种条件求值,一般考虑整体的思想,同时观察指数的特点,要注重完全平方公式 的运用.
1

解:(1)设 y=x 2 +x
1

?

1 2

,
-1

那么 y =(x 2 +x
-1

2

?

1 2

) =x+x +2.

2

由于 x+x =3,所以 y= 5 . (2)设 y=x +x , -1 2 那么 y=(x+x ) -2. -1 由于 x+x =3, 所以 y=7. 2 -2 (3)设 y=x -x , -1 -1 那么 y=(x+x )(x-x ), 而(x-x ) =x -2+x = 5 ,
-1 2 2 -2 2 -2

所以 y=±3 5 . 点评:整体代入和平方差,完全平方公式的灵活运用是解题的突破口. 3.解:已知本金为 a 元. 1 期后的本利和为 y1=a+a×r=a(1+r), 2 2 期后的本利和为 y2=a(1+r)+a(1+r)×r=a(1+r) , 3 3 期后的本利和为 y3=a(1+r) , ? x x 期后的本利和为 y=a(1+r) . 将 a=1 000,r=0.022 5,x=5 代入上式得 x 5 5 y=a(1+r) =1 000×(1+0.022 5) =1 000×1.0225 ≈1118. x 答:本利和 y 随存期 x 变化的函数关系式为 y=a(1+r) ,5 期后的本利和约为 1 118 元. 3x+1 -2x 4.解:(1)因为 y1=y2,所以 a =a . 所以 3x+1=-2x. 所以 x= ?

1 . 5
10

(2)因为 y1>y2,所以 a 所以 x> ?

3x+1

>a .所以当 a>1 时,3x+1>-2x.

-2x

1 . 5 1 . 5

所以当 0<a<1 时,3x+1<-2x.所以 x< ?

11


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