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浙江省永嘉县楠江中学2012-2013学年高一上学期期中考试数学试题


一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.设集合 A ? ? x ? Q x ? ? 1 ? ,则( A. 2 ? A
2

) C. 2 ? A ) D. a ? 0 或 a ? 1
x

B. ? ? A
x

D. ? 2 ? ? A

2.函数 f ( x ) ? ( a ? 3 a ? 3 ) ? a 是指数函数 ,则 a 的值是( A. a ? 1 或 a ? 2 B. a ? 1
3

C. a ? 2

3.已知集合 A ? { y | y ? log A. { y | 0 ? y ? 4.函数 y ? A. [1, ? ? )
1 3 }

x , x ? 1} , B ? { y | y ? 3 , x ? 0 } ,则 A ? B ? (

)

B. { y | y ? 1}

C. { y | )

1 3

? y ? 1}

D. { y | y ? 0 }

lo g 1 (3 x ? 2 ) 的定义域是(
2

B. ( , ? ? )
3

2

C. [ ,1]
3

2

D. ( ,1]
3

2

5.函数 y ? | lg( x ? 1) | 的图象是(



6.已知 f ( ) ?
x

1

1 x ?1 1

,则 f ( x ) 的解析式为( B. f ( x ) ?
1? x x
5

) D. f ( x ) ?
x 1? x

A. f ( x ) ?

1? x
6

C. f ( x ) ? 1 ? x
0 .5

7.三个数 a ? 0 . 5 , b ? log A. a ? c ? b .

0 .6 , c ? 6

之间的大小关系是( D. b ? c ? a



B. a ? b ? c

C. b ? a ? c

8.已知 x , y , z 都是大于 1 的正数, m ? 0 ,且 lo g x m ? 2 4, lo g y m ? 4 0, lo g xyz m ? 1 2 , 则 lo g z m 的值为( A. 6 0 B.
1 60

) C.
200 3

D.

3 20

9. 设 函 数 f ? x ? 定 义 在 实 数 集 上 , 它 的 图 像 关 于 直 线 x ? 1 对 称 , 且 当 x ? 1 时 ,
f ? x ? ? 3 ? 1 ,则有(
x


?2? ?3? ?1? ? ? f? ? ? f? ? ?3? ?2? ?3? ?3? ?2? ?1? ? ? f? ? ? f? ? ?2? ?3? ?3?

A. f ? ? ? f ?
?3?

?1?

?3? ?2? ? ? f? ? ?2? ?3?

B. f ?

C. f ?

?2? ?1? ?3? ? ? f? ? ? f? ? ?3? ?3? ?2?

D. f ?

10.若函数 f ( x ) ? lo g m ( m ? x ) 在区间 [3, 5] 上的最大值比最小值大 1 ,则实数 m ? ( A. 3 ?
6



B. 3 ?

6

C. 2 ?

6

D. 2 ?

6

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,满分 28 分) 11.函数 y ? lo g a ( x ? 3) ? 1( a ? 0 且 a ? 1) ,无论 a 取何值,函数图像恒过一个定点,则 定点坐标为 _______
x

12.当 x ? [ ? 1,1] 时,函数 f ( x ) ? 3 ? 2 的值域为_______________ 13.已知函数 f ( x ) 是定义在 ( ? ? , ? ? ) 上的偶函数,当 x ? ( ? ? , 0 ) 时, f ( x ) ? x ? x 4 , 则当 x ? ( 0 , ? ? ) 时, f ( x ) ? .

14. 若 指 数 函 数 f ( x ) 与 幂 函 数 g ( x ) 的 图 象 相 交 于 一 点 ( 2 , 4 ) , 则
f ( x ) ? ___________ g ( x ) ? ___________________

15.已知奇函数 f ( x ) 在区间 [ 0 , ?? ) 上单调递减,则满足 f ( 2 x ? 1) ? f ( x ? 3) ? 0 的 x 的取 值范围是
? ? 16.给出函数 f ( x ) ? ? ? f ? 1 x ( ) ,x ? 4 3 ( x ? 1), x ? 4
2



,则 f (lo g 3 4 ) ? _______________

17.直线 y ? 1 与曲线 y ? x ? x ? a 有两个交点,则 a 的取值范围是

高一数学答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分。在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的) 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 号 答 A C B D C D C A B 案 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,满分 28 分) 11、 16、
1 108 5 4

1 0 B

( 4 ,1)

12、 [ ?

5 3

,1]

13、 ?

x? x

4

14、 2 x , x 2

15、 ( ?

2 3

, ?? )

17、 a

? 1或 a ?

三、解答题(本大题共 5 小题,满分 52 分。解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤)
[学

19.(本题 8 分) 解: (1)因为 a ? 1 ? 0 , 所以 a ? 1 原式 ? a ? 1 ? | 1 ? a | ? 1 ? a
? | 1 ? a | ………2 分

? a ? 1 ………4 分

(2) 原式 ? 2 lg 5 ? 2 lg 2 ? lg 5 (1 ? lg 2 ) ? (lg 2 )

2

? 2 (lg 2 ? lg 5 ) ? lg 5 ? lg 2 (lg 5 ? lg 2 ) ? 2 ? lg 5 ? lg 2

? 3

………8 分

20.解: (Ⅰ)由题意得 ? 得1 ? x ? 3 ∴

?x ?1? 0 ?3 ? x ? 0

…………………………………2 分 ………………………………………………3 分 ………………………………………………4 分 ……① ………5 分 ……………8 分

函数 h ( x ) 的定义域为 (1, 3)

(Ⅱ)不等式 f ( x ) ? g ( x ) ,即为 lo g a ( x ? 1) ? lo g a (3 ? x ) ⑴ 当 0 ? a ? 1 时,不等式①等价于 ? 当 a ? 1 时,不等式①等价于 ?
? 1? x ? 3 ?x ?1? 3 ? x

,解得 1 ? x ? 2



? 1? x ? 3 ?x ?1? 3 ? x

,解得 2 ? x ? 3

……………11 分

综上,当 0 ? a ? 1 时,原不等式解集为 (1, 2 ] ;当 a ? 1 时,原不等式解集为 [ 2 , 3) . …………………………………………………………………………………………12 分

根据函数单调性的定义知:函数 g ( x ) 在 ( ? ? , 0 ) 上为减函数. …………12 分 22. (本题 12 分) 解: (1) D ? ( ?? , 0 ) ? ( 0 , ?? ) ,若 f ( x ) ?
1 x0 ? 1 ? 1 x0
2

1 x

? M ,则存在非零实数 x 0 ,使得

? 1 ,即 x 0 ? x 0 ? 1 ? 0 ,…………2 分
1 x ? M .…………3 分

因为此方程无实数解,所以函数 f ( x ) ?

(2) D ? R ,由 f ( x ) ? kx ? b ? M ,存在实数 x 0 ,使得

k ( x 0 ? 1) ? b ? kx 0 ? b ? k ? b ,

解得 b ? 0 ,
a x
2

…………5 分 …………6 分
?1 ? M 得

所以,实数 k 和 b 的取得范围是 k ? R , b ? 0 . (3)由题意, a ? 0 , D ? R .由 f ( x ) ? lg 存在实数 x 0 , lg 即
a ( x 0 ? 1) ? 1
2
2

a ( x 0 ? 1) ? 1
2

? lg

a x0 ? 1
2

? lg

a 2



…………7 分

?

a
2

2

2 ( x 0 ? 1)

,又 a > 0 , …………9 分

化简得 ( a ? 2 ) x 0 ? 2 ax 0 ? 2 a ? 2 ? 0 , 当 a ? 2 时, x 0 ? ?
1 2
2

,符合题意.…………10 分

当 a ? 0 且 a ? 2 时,由△ ? 0 得 4 a ? 8 ( a ? 2 )( a ? 1) ? 0 ,化简得
a
2

? 6 a ? 4 ? 0 ,解得 a ? [ 3 ?

5 , 2) ? (2 , 3 ? 5 ,3? 5].

5].

…………11 分 …………12 分

综上,实数 a 的取值范围是 [ 3 ?


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