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2013高中数学精华第03章 三角函数B

三角函数 B
第 5 课 三角函数的图像和性质(一)
【考点导读】 1.能画出正弦函数,余弦函数,正切函数的图像,借助图像理解正弦函数,余弦函数在 [0, 2? ] ,正切函数 在 (?

? ?

, ) 上的性质; 2 2

2.了解函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的实际意义,能画出 y ? A sin(? x ? ? ) 的图像; 3.了解函数的周期性,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 【基础练习】 1. 已 知简谐 运动 f ( x) ? 2sin(

?

3?

x ? ? )( ? ?

?
2

) 的 图象经 过点 (0 ,1), 则该简谐 运动的 最小正 周期

6 T ? _____6____;初相 ? ? __________.

? { x x ? 2k ? ? , k ? Z } ? 2. 三角方程 2sin( -x)=1 的解集为_______________________. 3 2 ? 3. 函数 y ? A sin( ?x ? ?)( ? ? 0, ? ? , x ? R ) 的部分图象如图所示,则函数表达式为 2 ? ? y ? ?4 sin( x ? ) 8 4 ______________________.

? ?? ? 4. 要得到函数 y ? sin x 的图象,只需将函数 y ? cos ? x ? ? 的图象向右平移__________个单位. ? ?? ?
【范例解析】 例 1.已知函数 f ( x) ? 2sin x(sin x ? cos x) . (Ⅰ)用五点法画出函数在区间 ? ? ? , ? ? 上的图象,长度为一个周期; ? 2 2? ? ? (Ⅱ)说明 f ( x) ? 2sin x(sin x ? cos x) 的图像可由 y ? sin x 的图像经过怎样变换而得到. 分析:化为 A sin(? x ? ? ) 形式. 解: (I)由 f ( x) ? 2 sin x ? 2 sin x cos x ? 1 ? cos2 x ? sin 2 x
2

第3题

第 1 页 【精讲精练】共 19 页

? 1 ? 2 ( s i n x ? c o s ? c o s x s i n ) ? 1 ? 2 s i n2(x ? ) . 2 2 4 4 4
列表,取点,描图:

?

?

?

x
y
故函数 y ? f (x) 在区间 [ ?

?

3? 8
1

?

?
8

? 8
1

3? 8

5? 8
1

1? 2

1? 2

? ?

, ] 上的图象是: 2 2

? ? 个 单 位 , 得 到 y ? sin( x ? ) 的 图 像 , 再 把 4 4 1 ? ? y ? sin( x ? ) 的图像上所有点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变) ,得到 y ? sin(2 x ? ) 的图像, 2 4 4 ? 2 ) 然 后 把 y ? s i n (x ? 的图像上所有点纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变) 得到 , 4 ? ? y ? 2 s i n (x2 ? ) x )的图像上所有点向上平移 1 个单位,即得到 的图像,再将 y ? 2 sin( 2 ? 4 4 ? y ? 1 ? 2 sin(2 x ? ) 的图像. 4
( Ⅱ ) 解 法 一 : 把 y ? sin x 图 像 上 所 有 点 向 右 平 移 解法二:把 y ? sin x 图像上所有点的横坐标缩短为原来的 把 y ? sin 2 x 图像上所有点向右平移

? ? ? 个单位,得到 y ? sin(2 x ? ) 的图像,然后把 y ? sin(2 x ? ) 的 8 4 4 ? 图 像 上 所 有 点 纵 坐 标 伸 长 到 原 来 的 2 倍 ( 横 坐 标 不 变 ) 得 到 y ? 2 sin(2 x ? ) 的 图 像 , 再 将 , 4 ? ? y ? 2 sin(2 x ? ) 的图像上所有点向上平移 1 个单位,即得到 y ? 1 ? 2 sin(2 x ? ) 的图像. 4 4
例 2.已知正弦函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0) 的图像如右图所示. (1)求此函数的解析式 f1 ( x) ; (2)求与 f1 ( x) 图像关于直线 x ? 8 对称的曲线的解析式 f 2 ( x) ;

1 (纵坐标不变) ,得到 y ? sin 2 x 的图像,再 2

第 2 页 【精讲精练】共 19 页

(3)作出函数 y ? f1 ( x) ? f 2 ( x) 的图像的简图. y x=8

2
-2 O 2 x

分析:识别图像,抓住关键点. 解: (1)由图知, A ? 2 ,? 将 x ? 2, y ?

2?

? ? ? ? 2 代入,得 2 sin( ? ? ) ? 2 ,解得 ? ? ,即 f1 ( x) ? 2 sin( x ? ) . 4 4 8 4 ?( x?, y?) , (2)设函数 f 2 ( x) 图像上任一点为 M ( x, y ) ,与它关于直线 x ? 8 对称的对称点为 M ? x? ? x ? 8, ? x? ? 16 ? x, ? ? ? ? ? 得? 2 解得 ? 代入 f1 ( x?) ? 2 sin( x? ? ) 中,得 f 2 ( x) ? ? 2 sin( x ? ) . 8 4 8 4 ? y? ? y. ? y? ? y. ? ? ? ? ? ? (3) y ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ? 2 sin( x ? ) ? 2 sin( x ? ) ? 2 cos x ,简图如图所示. 8 4 8 4 8
y

?

? 2 ? (6 ? 2) ? 16 ,? ? ?

?
8

,即 y ?

2 sin(

?
8

x ? ?) .

2 12 -4 O 4 x

点评:由图像求解析式, A 比较容易求解,困难的是待定系数求 ? 和 ? ,通常利用周期确定 ? ,代入最 高点或最低点求 ? .

【反馈演练】

x ? 1.为了得到函数 y ? 2 sin( ? ), x ? R 的图像,只需把函数 y ? 2sin x , x ? R 的图像上所有的点 3 6 ? 1 ①向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ; 6 3 ? 1 ②向右平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ; 6 3
③向左平移

?

6

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) ;
第 3 页 【精讲精练】共 19 页

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) . 6 其中,正确的序号有_____③______. 2.为了得到函数 y ? sin( 2 x ?

④向右平移

?

?
6

) 的图象,可以将函数 y ? cos 2 x 的图象向右平移__ ? __个单位长度.
3

? 3.若函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) , x ? R (其中 ? ? 0 , ? ? )的最小正周期是 ? ,且 f (0) ? 3 ,则 2 ? ? ? __2____; ? ? __________. 3 ? ? 5? ? ? , ? ?4 4 ? 4.在 ?0,2? ? 内,使 sin x ? cos x 成立的 x 取值范围为____________________.
5.下列函数: ① y ? sin ? x ?

? ?

??

?; 6?

② y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

?; 6?

③ y ? cos ? 4 x ?

? ?

??

?; 3?

④ y ? cos ? 2 x ?

? ?

??

?. 6?
第5题

其中函数图象的一部分如右图所示的序号有_____④_____.

6.如图,某地一天从 6 时至 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? b (1)求这段时间的最大温差; (2)写出这段时间的函数解析式. 解: (1)由图示,这段时间的最大温差是 30 ? 10 ? 20 ℃ (2)图中从 6 时到 14 时的图象是函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? b 的半个周期

? 1 2? ? ? 14 ? 6 ,解得 ? ? 8 2 ? 1 由图示, A ? (30 ? 10) ? 10 2
∴ 这时, y ? 10 sin(

b?

?

1 (10 ? 30) ? 20 2

8

x ? ? ) ? 20 3? 4
第6题

将 x ? 6, y ? 10 代入上式,可取 ? ? 综上,所求的解析式为 y ? 10 sin(

3? ) ? 20 ( x ? [6,14] ) 8 4 π 0 7.如图,函数 y ? 2 cos(? x ? ? )( x ? R,? > 0,≤ ? ≤ ) 的图象与 y 轴相交于点 (0,3) ,且该函数的 2 x?
最小正周期为 ? . (1)求 ? 和 ? 的值;

?

(2)已知点 A ? ,? ,点 P 是该函数图象上一点,点 Q( x0,y0 ) 是 PA 的中点, 0

?π ?2

? ?

y

3
当 y0 ?

P

3 ?π ? , x0 ? ? ,π ? 时,求 x0 的值. 2 ?2 ?

O

A

x

第 4 页 【精讲精练】共 19 页

第7题

解: (1)将 x ? 0 , y ? 3 代入函数 y ? 2cos(? x ? ? ) 得 cos ? ? 因为 0 ≤ ? ≤

3 , 2

? ? ,所以 ? ? . 6 2

又因为该函数的最小正周期为 ? ,所以 ? ? 2 , 因此 y ? 2cos ? 2 x ?

? ?

?? ?. 6?
? ? 3 , 2

(2)因为点 A ? ,? , Q( x0,y0 ) 是 PA 的中点, y0 ? 0

?? ?2

所以点 P 的坐标为 ? 2 x0 ?

? ?

? ? ,3 ? . 2 ?
?? 5? ? 3 ? . ? 的图象上,所以 cos ? 4 x0 ? ? ? 6? 6 ? 2 ?

又因为点 P 在 y ? 2cos ? 2 x ? 因为

? ?

? 7? 5? 19? ≤ x0 ≤ ? ,所以 ≤ 4 x0 ? ≤ , 2 6 6 6 5? 11? 5? 13? ? ? 从而得 4 x0 ? 或 4 x0 ? . 6 6 6 6 2? 3? 即 x0 ? 或 x0 ? . 3 4

第 5 页 【精讲精练】共 19 页

第 6 课 三角函数的图像和性质(二)
【考点导读】 1.理解三角函数 y ? sin x , y ? cos x , y ? tan x 的性质,进一步学会研究形如函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的 性质; 2.在解题中体现化归的数学思想方法,利用三角恒等变形转化为一个角的三角函数来研究. 【基础练习】 1.写出下列函数的定义域: (1) y ? sin (2) y ?

x {x 6k? ? x ? 6k? ? 3? , k ? Z} 的定义域是______________________________; 3

? 2.函数 f (x) = | sin x +cos x |的最小正周期是____________.
? ) sin (x ? ) ? 2 的最小正周期是_______. 4 4 ? ( ,0) ? 4. 函数 y=sin(2x+ )的图象关于点_______________对称. 3 3 ? ? ?1 ? ? ? 0 5. 已知函数 y ? tan ? x 在(- , )内是减函数,则 ? 的取值范围是______________. 2 2
f ? 3.函数 (x) sin (x ?
2

? sin 2 x {x x ? k? ? , k ? Z } 的定义域是____________________. 2 cos x
? ?

【范例解析】 例 1.求下列函数的定义域: (1) y ?

sin x ? 2sin x ? 1 ; (2) y ? 2 ? log 1 x ? tan x . tan x 2

? ? ? ? ? x ? k? ? 2 , ? x ? k? ? 2 , ? ? 解: (1) ? tan x ? 0, 即 ? x ? k? , , ?2sin x ? 1 ? 0. ? ? 7? ? ? 2 k? ? ? x ? 2 k? ? . 6 6 ? ?
故函数的定义域为 {x 2k? ?

?
6

? x ? 2k? ?

? 7? 且 x ? k? , x ? k? ? , k ? Z } 2 6

?2 ? log 1 x ? 0, ?0 ? x ? 4, ? ? 2 (2) ? 即? ? ? k? ? x ? k ? ? 2 . ?tan x ? 0. ? ?
故函数的定义域为 (0,

?
2

) ? [? , 4] .

点评:由几个函数的和构成的函数,其定义域是每一个函数定义域的交集;第(2)问可用数轴取交集.
第 6 页 【精讲精练】共 19 页

例 2.求下列函数的单调减区间:

2cos x ; ? x 3 sin( ? ) 4 2 ? ? ? ? 5? ](k ? Z ) . 解: (1)因为 2k? ? ? ? 2 x ? 2k? ? ,故原函数的单调减区间为 [k? ? , k? ? 2 3 2 12 12
(1) y ? sin(

?

? 2 x) ;

(2) y ?

(2)由 sin( 又y?

?

x ? ? ) ? 0 ,得 {x x ? 2k? ? , k ? Z } , 4 2 2

2cos x x ? ? 4sin( ? ) , ? x 2 4 sin( ? ) 4 2 ? x ? 3? ? 5? )(k ? Z ) . 所以该函数递减区间为 2k? ? ? ? ? 2k? ? ,即 (4k? ? , 4k? ? 2 2 4 2 2 2
点评:利用复合函数求单调区间应注意定义域的限制. 例 3.求下列函数的最小正周期: (1) y ? 5tan(2x ?1) ; (2) y ? sin ? x ?

? ?

??

?? ? ? sin ? x ? ? . 3? ? 2?
π ? ,得 y ? 5tan(2x ?1) 的周期 T ? . 2 2

解: (1)由函数 y ? 5 tan(2 x ? 1) 的最小正周期为 (2) y ? sin( x ?

?

) sin( x ? ) ? (sin x cos ? cos x sin ) cos x 3 2 3 3

?

?

?

1 3 1 3 1 ? cos 2 x ? sin x cos x ? cos 2 x ? sin 2 x ? ? 2 2 4 2 2 ? 3 1 ? ? sin(2 x ? ) 4 2 3
?T ? ? .

点评:求三角函数的周期一般有两种: (1)化为 A sin(? x ? ? ) 的形式特征,利用公式求解; (2)利用函 数图像特征求解.

第 7 页 【精讲精练】共 19 页

【反馈演练】

? 1.函数 y ? sin x ? cos x 的最小正周期为 _____________. 2
4 2

? 2? 7? 5? [ , ] ,[ , ] ?? ? 6 3 6 3 2.设函数 f ( x) ? sin ? x ? ? ( x ? R) ,则 f ( x ) 在 [0, 2? ] 上的单调递减区间为___________________. 3? ? ? [? , 0] 3.函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x( x ?[?? ,0]) 的单调递增区间是________________. 6 2? 3 4.设函数 f ( x) ? sin 3x? | sin 3x | ,则 f ( x ) 的最小正周期为_______________. ? [ ,? ] 2 2 x 5.函数 f ( x) ? cos x ? 2 cos 在 [0, ? ] 上的单调递增区间是_______________. 3 2
π? ? 1 ? 2 cos ? 2 x ? ? 4? ? 6.已知函数 f ( x) ? . π? ? sin ? x ? ? 2? ?
(Ⅰ)求 f ( x ) 的定义域; (Ⅱ)若角 ? 在第一象限且 cos ? ? 解: (Ⅰ) 由 sin ? x ?

3 ,求 f (? ) . 5

? ?

π π π? ? ? 0 得 x ? ? 2 ? kπ ,即 x ? kπ ? 2 (k ? Z) . 2?

故 f ( x ) 的定义域为 ? x ? R | x ? kπ ? ,k ? Z ? .

? ?

π 2

? ?

4 ?3? 2 (Ⅱ)由已知条件得 sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? ? ? ? . 5 ?5?

2

π? ? 1 ? 2 cos ? 2? ? ? 4? ? 从而 f (? ) ? π? ? sin ? ? ? ? 2? ?
π π? ? 1 ? 2 ? cos 2? cos ? sin 2? sin ? 4 4? ? ? cos ?

?

1 ? cos 2? ? sin 2? 2cos 2 ? ? 2sin ? cos ? ? cos ? cos ?

第 8 页 【精讲精练】共 19 页

? 2(cos ? ? sin ? ) ?

14 . 5

7. 设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) (?? ? ? ? 0), y ? f ( x) 图像的一条对称轴是直线 x ? (Ⅰ)求 ? ; (Ⅱ)求函数 y ? f (x) 的单调增区间; (Ⅲ)画出函数 y ? f (x) 在区间 [0, ? ] 上的图像 解: (Ⅰ)? x ?

?
8



王新敞
奎屯

新疆

?

?

?
4

? ? ? k? ?

?

8

是函数 y ? f ( x) 的图像的对称轴,? sin( 2 ? , k ? Z. ? ?? ? ? ? 0, ? ? ? 3? . 4

?
8

? ? ) ? ?1,

3? 3? ,因此 y ? sin( 2 x ? ). 4 4 ? 3? ? ? 2k? ? , k ? Z . 由题意得 2k? ? ? 2 x ? 2 4 2 3? ? 5? )的单调增区间为 [k? ? , k? ? ], k ? Z . 所以函数 y ? sin( 2 x ? 4 8 8 3? )知 (Ⅲ)由 y ? sin( 2 x ? 4 ? 3? 5? x 0 8 8 8
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ? ? ? y

2

7? 8
0

?
? 2 2

?

2 2

-1

0

1

[ 故函数 y ? f ( x)在区间 0, ? ]上图像是
3 2 1 1 2

y

o
1 2 -1 3 2

? 8

? 4

3? 8

? 2

5? 8

3? 4

7? 8

?

x

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第 7 课 三角函数的值域与最值
【考点导读】 1.掌握三角函数的值域与最值的求法,能运用三角函数最值解决实际问题; 2.求三角函数值域与最值的常用方法: (1)化为一个角的同名三角函数形式,利用函数的有界性或单调性 求解; (2)化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式,利用配方法或图像法求解; (3)借助直线的斜 率的关系用数形结合求解; (4)换元法. 【基础练习】 1.函数 y ? sin x ? 3 cos x 在区间 [0, 2.函数 f ( x) ? cos x ? 3.函数 y ? tan(

?
2

] 上的最小值为 3 4

1 .



?
2

1 cos 2 x( x ? R) 的最大值等于 2

? x) (?

?

4

?x?

?

4

(??, ?1] ? [1, ??) 且 x ? 0) 的值域是___________________.
4 .

1 ? cos 2 x ? 8 sin 2 x 4.当 0 ? x ? 时,函数 f ( x) ? 的最小值为 2 sin 2 x
【范例解析】 例 1.(1)已知 sin x ? sin y ?

?

1 ,求 sin y ? cos2 x 的最大值与最小值. 3

(2)求函数 y ? sin x ? cos x ? sin x ? cos x 的最大值. 分析:可化为二次函数求最值问题.

1 2 ? sin x ,? sin y ?[?1,1] ,则 sin x ?[ ? ,1] . 3 3 1 2 11 1 11 2 ? sin y ? cos 2 x ? (sin x ? ) ? ,当 sin x ? 时, sin y ? cos2 x 有最小值 ? ;当 sin x ? ? 时, 2 12 2 12 3 4 sin y ? cos2 x 有最小值 . 9
解: (1)由已知得: sin y ? (2)设 sin x ?cos x ? t (? 2 ? t ? 2) ,则 sin x ?cos x ? 有最大值为

1 2 1 t 2 ?1 ,则 y ? t ? t ? ,当 t ? 2 时, y 2 2 2

1 ? 2. 2

点评:第(1)小题利用消元法,第(2)小题利用换元法最终都转化为二次函数求最值问题;但要注意变 量的取值范围. 例 2.求函数 y ?

2 ? cos x (0 ? x ? ? ) 的最小值. sin x

分析:利用函数的有界性求解.

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2 解法一:原式可化为 y sin x ? cos x ? 2(0 ? x ? ? ) ,得 1 ? y sin( x ? ?) ?2 ,即 sin( x ? ?) ?

2 1? y2





2 1? y2

,所以 y 的最小值为 3 . ? 1 ,解得 y ? 3 或 y ? ? 3 (舍)

解法二: y ?

2 ? cos x (0 ? x ? ? ) 表示的是点 A(0, 2) 与 B(? sin x, cos x) 连线的斜率,其中点 B 在左半圆 sin x

a2 ? b2 ? 1(a ? 0) 上,由图像知,当 AB 与半圆相切时, y 最小,此时 k AB ? 3 ,所以 y 的最小值为 3 .
点评:解法一利用三角函数的有界性求解;解法二从结构出发利用斜率公式,结合图像求解. 例 3.已知函数 f ( x) ? 2sin ?
2

?π ? ?π π? ? x ? ? 3 cos 2 x , x ? ? , ? . ?4 ? ?4 2?

(I)求 f ( x ) 的最大值和最小值; (II)若不等式 f ( x) ? m ? 2 在 x ? ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. 4 2 分析:观察角,单角二次型,降次整理为 a sin x ? b cos x 形式. 解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? ?1 ? cos ?

?π π? ? ?

? ?

?π ?? ? 2 x ?? ? 3 cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ?2 ??

π? ? ? 1 ? 2sin ? 2 x ? ? . 3? ?
又∵ x ? ? , ? ,∴ ≤ 2 x ? ≤ ,即 2 ≤1 ? 2sin ? 2 x ? ? ≤ 3 , 6 3 3 3? ?4 2? ?

?π π?

π

π



?

π?

∴ f ( x)max ? 3,f ( x)min ? 2 .
(Ⅱ)∵ f ( x) ? m ? 2 ? f ( x) ? 2 ? m ? f ( x) ? 2 , x ? ? , ? , 4 2

?π π? ? ?

∴m ? f ( x)max ? 2 且 m ? f ( x)min ? 2 ,
∴1 ? m ? 4 ,即 m 的取值范围是 (1 4) . ,
点评:第(Ⅱ)问属于恒成立问题,可以先去绝对值,利用参数分离转化为求最值问题.本小题主要考查 三角函数和不等式的基本知识,以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力.

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【反馈演练】 1.函数 y ? 2 sin( 2.当 0 ? x ? 3.函数 y ?

?
3

? x) ? cos(

?
6

? x)( x ? R) 的最小值等于____-1_______.

?
4

时,函数 f ( x) ?

sin x cos x ? 2

cos 2 x 的最小值是______4 _______. cos x sin x ? sin 2 x 3 3 ? 的最大值为_______,最小值为________. 3 3

4.函数 y ? cos x ? tan x 的值域为 (?1,1) .

3 ? ? ?? 2 5.已知函数 f ( x) ? 2sin ? x(? ? 0) 在区间 ? ? , ? 上的最小值是 ?2 ,则 ? 的最小值等于_________. ? 3 4?

, 6.已知函数 f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1 x ?R .
(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 ? , ? 上的最小值和最大值. 8 4 解: (Ⅰ) f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin ? 2 x ? 因此,函数 f ( x ) 的最小正周期为 π . (Ⅱ)因为 f ( x) ?

? π 3π ? ? ?

? ?

π? ?. 4?

π? ? ? π 3π ? ? 3π 3π ? 2 sin 2 ? ? 在区间 ? , ? 上为增函数,在区间 ? , ? 上为减函数,又 ? x 4? ? ?8 8 ? ?8 4? π ? 3π ? ? 3π π ? f ? ? ? 2 sin ? ? ? ? ? 2 cos ? ?1 , 4 ? 4 ? ? 2 4?

?π? f ? ? ?0, ?8?

? 3π ? f ? ?? 2, ? 8 ? ? π 3π ? ? ?

故函数 f ( x ) 在区间 ? , ? 上的最大值为 2 ,最小值为 ?1 . 8 4

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第8课 解三角形
【考点导读】 1.掌握正弦定理,余弦定理,并能运用正弦定理,余弦定理解斜三角形; 2.解三角形的基本途径:根据所给条件灵活运用正弦定理或余弦定理,然后通过化边为角或化角为边,实 施边和角互化. 【基础练习】 1.在△ABC 中,已知 BC=12,A=60°,B=45°,则 AC=

? 3 2.在 ?ABC 中,若 sin A : sin B : sin C ? 5 : 7 : 8 ,则 ? B 的大小是______________.
1 ? 3.在 △ ABC 中,若 tan A ? , C ? 150 , BC ? 1 ,则 AB ? 3
【范例解析】 例1. 在△ABC 中,a,b,c 分别为∠A,∠B,∠C 的对边,已知 a ? c ? 20 , C ? 2 A , cos A ?

4 6.

10 2



3 . 4

c 的值; (2)求 b 的值. a 分析:利用 C ? 2 A 转化为边的关系. c sin C sin 2 A 3 ? ? 2cos A ? . 解: (1)由 ? a sin A sin A 2
(1)求

?a ? c ? 20, ?a ? 8, ? 2 2 2 (2)由 ? c 3 得? .由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A c ? 12. ? . ? ?a 2 ?
得: b ? 18b ? 80 ? 0 ,解得: b ? 8 或 b ? 10 ,
2

若 b ? 8 ,则 A ? B ,得 A ?

?
4

,即 cos A ?

2 3 ? 矛盾,故 b ? 10 . 2 4

点评:在解三角形时,应注意多解的情况,往往要分类讨论. 例 2.在三角形 ABC 中,已知 (a ? b )sin( A ? B) ? (a ? b )sin( A ? B) ,试判断该三角形的形状.
2 2 2 2

解法一:(边化角)由已知得: a [sin( A ? B) ? sin( A ? B)] ? b [? sin( A ? B) ? sin( A ? B)] ,
2 2

化简得 2a cos A sin B ? 2b cos B sin A ,
2 2

由正弦定理得: sin A cos A sin B ? sin B cos B sin A ,即 sin A sin B(sin A cos A ? sin B cos B) ? 0 ,
2 2

又 A, B ? (0, ? ) ,? sin A ? sin B ? 0 ,? sin 2 A ? sin 2 B . 又 2 A, 2B ? (0, 2? ) ,? 2 A ? 2 B 或 2 A ? ? ? 2 B ,即该三角形为等腰三角形或直角三角形.

第 13 页 【精讲精练】共 19 页

解法二:(角化边)同解法一得: 2a cos A sin B ? 2b cos B sin A ,
2 2

由正余弦定理得: a b

2

b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c2 ? b2 ? b2a , 2bc 2ac

2 2 2 整理得: (a2 ? b2 )(c2 ? a2 ? b2 ) ? 0 ,即 a ? b 或 c ? a ? b ,

即该三角形为等腰三角形或直角三角形. 点评:判断三角形形状主要利用正弦或余弦定理进行边角互化,从而利用角或边判定三角形形状. 例 3.如图,D 是直角△ABC 斜边 BC 上一点,AB=AD,记∠CAD= ? ,∠ABC= ? . (1)证明: sin ? ? cos 2? ? 0 ; (2)若 AC= 3 DC,求 ? . 分析:识别图中角之间的关系,从而建立等量关系. (1)证明:? ? ? ? ? C , C ? β B A α

?
2

? B ,? 2 ? ?

?
2

?? ,

例4

D

C

?sin ? ? cos 2? ? 0
(2)解:? AC= 3 DC,?sin ? ? 3sin ? ? ? 3 cos 2? ? 2 3sin 2 ? ? 3 .

? ? 3 ? ? ? (0, ) ,? sin ? ? ,? ? ? . 3 2 2
点评:本题重点是从图中寻找到角之间的等量关系,从而建立三角函数关系,进而求出 ? 的值.

【反馈演练】

3? 3 1.在 ?ABC 中, AB ? 3, A ? 450 , C ? 750 , 则 BC =_____________.

3 4 2.?ABC 的内角∠A, ∠B, 的对边分别为 a, c, a, c 成等比数列, c ? 2a , cs B ? _____. ∠C b, 若 b, 且 则o 2 3.在 ?ABC 中,若 2a ? b ? c , sin A ? sin B sin C ,则 ?ABC 的形状是____等边___三角形. 15 2 ?ABC 的内角 A 满足 sin 2 A ? ,则 sin A ? cos A = 3 . 4.若 3 4 5.在 ?ABC 中,已知 AC ? 2 , BC ? 3 , cos A ? ? . 5
(Ⅰ)求 sin B 的值; (Ⅱ)求 sin ? 2 B ?

? ?

?? ? 的值. 6?

第 14 页 【精讲精练】共 19 页

解: (Ⅰ)在 ?ABC 中, sin A ? 1 ? cos A ? 1 ? ? ?
2

3 ? 4? ? ? ,由正弦定理, 5 ? 5?

2

BC AC AC 2 3 2 ? sin A ? ? ? . .所以 sin B ? sin A sin B BC 3 5 5 4 (Ⅱ)因为 cos A ? ? ,所以角 A 为钝角,从而角 B 为锐角,于是 5

21 ?2? cos B ? 1 ? sin B ? 1 ? ? ? ? , 5 ?5?
2

2

cos 2 B ? 2cos 2 B ? 1 ? 2 ? (

21 2 17 ) ?1 ? , 5 25

2 21 4 21 . sin 2 B ? 2sin B cos B ? 2 ? ? ? 5 5 25
3 17 1 12 7 ? 17 ?? ? ? 4 21 ? . ? ? ? ? sin ? 2B ? ? ? sin 2B cos ? cos 2 B sin ? 25 2 25 2 50 6? 6 6 ?
6.在 ?ABC 中,已知内角 A ?

? ,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x ,周长为 y . ?

(1)求函数 y ? f ( x) 的解析式和定义域; (2)求 y 的最大值. 解: (1) ?ABC 的内角和 A ? B ? C ? ? ,由 A ? 应用正弦定理,知 AC ?

? 2? ,B ? 0,C ? 0 得 0 ? B ? . ? ?

BC 2 3 sin B ? sin x ? 4sin x , ? sin A sin ?
因为 y ? AB ? BC ? AC ,

AB ?

BC ? 2? ? sin C ? 4sin ? ? x ? . sin A ? ? ?

所以 y ? 4sin x ? 4sin ?

2? ? ? 2? ? ? ? x? ? 2 3?0 ? x ? ?, 3 ? ? ? ? ?
? ? 1 cos x ? sin x ? ? 2 3 ? ? 2 ?

(2)因为 y ? 4 ? sin x ?

? ? ?

?? ? ? 4 3 s i?n ? ? ? x ?? ?
所以,当 x ?

? 5? ? ?? 2? 3? x ? ? ? , ? ? ? ??

? ? ? ? ,即 x ? 时, y 取得最大值 6 3 . ? ? ?

第 15 页 【精讲精练】共 19 页

7.在 ?ABC 中, tan A ?

1 3 , tan B ? . 4 5

(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 ?ABC 最大边的边长为 17 ,求最小边的边长.

1 3 ? 解: (Ⅰ)? C ? π ? ( A ? B) ,? tan C ? ? tan( A ? B) ? ? 4 5 ? ?1 . 1 3 1? ? 4 5 3 又? 0 ? C ? π ,? C ? π . 4 3 (Ⅱ)? C ? ? ,? AB 边最大,即 AB ? 17 . 4
又? tan A ? tan B,A,B ? ? 0, ? ,? 角 A 最小, BC 边为最小边.

? ?

?? ??

sin A 1 ? ? , ?tan A ? ? π? 由? cos A 4 且 A ? ? 0, ? , ? 2? ?sin 2 A ? cos 2 A ? 1, ?
得 sin A ?

AB BC sin A 17 ? ? 2. .由 得: BC ? AB ? sin C sin A sin C 17

所以,最小边 BC ? 2 .

第 16 页 【精讲精练】共 19 页

第 9 课 解三角形的应用
【考点导读】 1.运用正余弦定理等知识与方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 2.综合运用三角函数各种知识和方法解决有关问题,深化对三角公式和基础知识的理解,进一步提高三角 变换的能力. 【基础练习】

400 3 1.在 200 m 高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30° ,60° ,则塔高为_________ m .
2.某人朝正东方向走 x km 后,向右转 150° ,然后朝新方向走 3km,结果他离出发点恰好 3 km,那么 x 2 3或 3 的值为_______________ km. 3.一船以每小时 15km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60? ,行驶 4h 后,船到达 C 处,看到这个灯塔在北偏东 15? ,这时船与灯塔的距离为 30 2 km. 4.如图,我炮兵阵地位于 A 处,两观察所分别设于 B,D,已知 ?ABD 为边长等于 a 的正三角形,当目标 出现于 C 时,测得 ?BDC ? 45 , ?CBD ? 75 ,求炮击目标的距离 AC
? ?

C

解:在 ?BCD 中,由正弦定理得: ∴ BC ?

a BC ? sin 60? sin 45?
D B

6 a 3
2 2 2

在 ?ABC 中,由余弦定理得: AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC ? cos ?ABC ∴ AC ?

5? 2 3 a 3 5? 2 3 a. 3

A 第4题

答:线段 AC 的长为 【范例解析】

例 .如图,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于 A 1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105 方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里,当甲船航行 北
?

20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120? 方向的 B2 处,此时两船相距

120? 105?
甲 例 1(1)

A2 A1

10 2 海里,问乙船每小时航行多少海里?
分析:读懂题意,正确构造三角形,结合正弦定理或余弦定理求解.

B2 B1


第 17 页 【精讲精练】共 19 页

解法一:如图(2),连结 A1B2 ,由已知 A2 B2 ? 10 2 ,

A1 A2 ? 30 2 ?

20 ? 10 2 ,? A1 A2 ? A2 B2 , 60



又 ∠A A2 B2 ? 180? ?120? ? 60? ,?△A1 A2 B2 是等边三角形, 1

120? A 2

? A1B2 ? A1 A2 ? 10 2 ,
由已知, A B1 ? 20 , ∠B1 A B2 ? 105? ? 60? ? 45? , 1 1 在 △ A1B2 B1 中,由余弦定理,
2 2 B1B2 ? A1B12 ? A1B2 ? 2 A1B1 ?A1B2 ? 45? ? 202 ? (10 2)2 ? 2 ? 20 ?10 2 ? cos

B2 B1


105?

A1

甲 例 1(2)

2 ? 200 . 2

? B1B2 ? 10 2 .因此,乙船的速度的大小为
答:乙船每小时航行 30 2 海里.

10 2 . ? 60 ? 30 2 (海里/小时) 北 20
120? A 2

B2
解法二:如图(3) ,连结 A2 B1 ,

105?

A1

20 ? 10 2 ,∠B1 A1 A2 ? 105? , 由已知 A B1 ? 20 , A1 A2 ? 30 2 ? 1 60

B1
甲 乙 例 1(3)

cos105? ? cos(45? ? 60? ) ? cos 45? cos 60? ? sin 45? sin 60? ?

2(1 ? 3) , 4 2(1 ? 3) . 4

sin105? ? sin(45? ? 60? ) ? sin 45? cos 60? ? cos 45? sin 60? ?
在 △ A2 A1B1 中,由余弦定理,
2 A2 B12 ? A1B12 ? A1 A2 ? 2 A1B1 ?A1 A2 ? cos105?

? (10 2)2 ? 202 ? 2 ?10 2 ? 20 ?

2(1 ? 3) ? 100(4 ? 2 3) . 4

? A2 B1 ? 10(1 ? 3) .
由正弦定理 sin∠A1 A2 B1 ?

A1B1 20 2(1 ? 3) 2 , ? ∠B1 A1 A2 ? sin ? ? A2 B1 4 2 10(1 ? 3)
2(1 ? 3) . 4

?∠A1 A2 B1 ? 45? ,即∠B1 A2 B1 ? 60? ? 45? ? 15? , cos15? ? sin105? ?
第 18 页 【精讲精练】共 19 页

在 △B1 A2 B2 中,由已知 A2 B2 ? 10 2 ,由余弦定理,
2 2 B1B2 ? A2 B12 ? A2 B2 ? 2 A2 B1 ?A2 B2 ? cos15?

? 102 (1 ? 3)2 ? (10 2)2 ? 2 ?10(1 ? 3) ?10 2 ?

2(1 ? 3) ? 200 . 4

? B1B2 ? 10 2 ,乙船的速度的大小为
答:乙船每小时航行 30 2 海里.

10 2 . ? 60 ? 30 2 (海里/小时) 20

点评:解法二也是构造三角形的一种方法,但计算量大,通过比较二种方法,学生要善于利用条件简化 解题过程. 【反馈演练】 1.江岸边有一炮台高 30m,江中有两条船,由炮台顶部测得俯角分别为 45? 和 30? ,而且两条船与炮台底 10 3 部连线成 30? 角,则两条船相距____________m. 2.有一长为 1km 的斜坡,它的倾斜角为 20? ,现要将倾斜角改为 10? ,则坡底要伸长____1___km. 3.某船上的人开始看见灯塔在南偏东 30? 方向,后来船沿南偏东 60? 方向航行 45 海里后,看见灯塔在正

15 3 西方向,则此时船与灯塔的距离是__________海里.
4.把一根长为 30cm 的木条锯成两段,分别作钝角三角形 ABC 的两边 AB 和 BC ,且 ?ABC ? 120? ,则

15 3 第三条边 AC 的最小值是____________cm.
5.设 y ? f (t ) 是某港口水的深度 y(米)关于时间 t(时)的函数,其中 0 ? t ? 24 .下表是该港口某一天 从 0 时至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系: t 0 3 6 9 y 12 15.1 12.1 9.1

12 11.9

15 14.9

18 11.9

21 8.9

24 12.1

经长期观察,函数 y ? f (t ) 的图象可以近似地看成函数 y ? k ? A sin(?t ? ? ) 的图象.下面的函数中, 最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 A. y ? 12 ? 3 sin C. y ? 12 ? 3 sin ( A )

?

?

6

t , t ? [0,24 ] t , t ? [0,24]

B. y ? 12 ? 3 sin( D. y ? 12 ? 3 sin(

?
6

t ? ? ), t ? [0,24] t?

?

?
2

12

12

), t[0,24]

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