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高考60天冲刺--三角函数

高考 60 天冲刺解答题狂练——三角函数专题训练
一.解答三角高考题的一般策略: (1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析” 。 (2)寻找联系:运用相关三角公式,找出差异之间的内在联系。 (3)合理转化:选择恰当的三角公式,促使差异的转化。 二.三角函数恒等变形的基本策略: (1)常值代换:特别是用“1”的代换,如 1=cos2θ +sin2θ =tanx·cotx=tan45°等。 (2)项的分拆与角的配凑。如分拆项:sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x;配凑角:α =(α +β )-β ,β -

=

???
2

???
2

等。

(3)降次,即二倍角公式降次。 (4)化弦(切)法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦(切) 。 (5)引入辅助角。asinθ +bcosθ = 由 tan ? =

a2 ? b2

sin(θ + ? ),这里辅助角 ? 所在象限由 a、b 的符号确定, ? 角的值

b 确定。 a
2

三.典型例题: 1. (2012 年高考(四川文) )已知函数 f ( x) ? cos (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和值域;

x x x 1 ? sin cos ? . 2 2 2 2

3 2 ,求 sin 2? 的值. 10 x x 1 1 1 1 2 x [解析](1)由已知,f(x)= cos ? sin cos ? ? ( ? cosx) sinx ? 1 ? 2 2 2 2 2 2 2 2 ? ? cos(x ? ) 2 4 ? 2 ,2 ? , ? 所以 f(x)的最小正周期为 2 ? ,值域为 ?? 2 2 ? ? ?
(Ⅱ)若 f (? ) ? (2)由(1)知,f( ? )= 所以 cos( ? ?

?
4

2 ? 3 2 cos(? ? ) ? , 2 4 10

?

3 ). 5

所以 sin2? ? ?cos(

? 2?) ?cos(? ? ) ? 2 2 4 ? 18 7 2 , ? 1 ? 2cos(? ? ) 1 ? ? ? 4 25 25
?

?

?

[点评]本小题主要考查三角函数的性质、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识,考查运算能力, 考查化归与转化等数学思想. 2. 已知向量 a ? (cos? , sin ? ) , b ? (cos ? , sin ? ) , | a ? b |? (Ⅰ)求 cos(? ? ? ) 的值; (Ⅱ)若 0 ? ? ?

?

?

?

2 5 . 5

5 , 求 sin ? . 2 2 13 解: (Ⅰ)? a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) , ? a ? b ? ? cos ? ? cos ?, ? ? sin ? ? . ????????????1 分 sin
, ?

?

?

? ? ? 0 , 且 sin ? ? ?

? a ?b ?

2 5 , 5

?

? cos ? ? cos ? ? ? ? sin ? ? sin ? ?
2

2

?

2 5 , ???????3 分 5



2 ? 2 c o?? ? ? ? ? s

? ? ? 0, ? 0 ? ? ? ? ? ? , ?????????7 分 2 2 3 4 ? cos ?? ? ? ? ? , ? sin ?? ? ? ? ? . ?????????????9 分 5 5 5 12 ? sin ? ? ? , ? cos ? ? , ???????10 分 13 13 4 12 3 ? 5 ? 33 ? sin ? ? sin ??? ? ? ? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? cos ? ? cos ?? ? ? ? sin ? ? ? ? ? ? ? ? ? . ?12 分 ? ? 5 13 5 ? 13 ? 65 , ?
3.已知 sin (Ⅱ)求

(Ⅱ)? 0 ? ? ?

?

?

4 , 5

3 ? cos ?? ? ? ? ? . ???????????6 分 5

x x ? 2 cos ? 0 , (Ⅰ)求 tan x 的值; 2 2 cos 2 x

2 cos( ? x) ? sin x 4 x x x 解:法一:由 sin ? 2 cos ? 0 得: tan ? 2 ............................................................ 2 分 2 2 2
? tan x ? 2 tan x 2
2

?

的值

??

x 1 ? tan 2

4 3

................................................................ 6 分

cos 2 x 2 cos(

?

?

cos 2 x ? sin 2 x

4

? x) ? sin x

?

? ? c o sx ? s ixn cxo s ?? ? cos x ? sin x ? sin x

? ?? ? 2 ? cos x cos ? sin x sin ? ? sin x 4 4? ? ..................................... 8 分

x? i n s ? ?

x ?c o sx ?

sin x

?

s i1 n tan x

?1 ?

1 12 分 4

? ? x 2 5 x 2 5 x x x ?sin ? ?sin ? ? 法二:由 sin ? 2 cos ? 0 得 ? ? 2 5 2 5 ? tan ? 2 .......... 2 分 或? ? 2 2 2 x 5 x 5 ?cos ? ? 2 5 ? x 4 2 tan 2 ?? ? tan x ? 3 x 1 ? tan 2 2 ?cos ? ? ? 2 5 ?

................................................................ 6 分

x 3 x x 4 ? ? ,sin x ? 2sin cos ? ....................................................... 8 分 2 3 2 2 5 7 ................................................................ 9 分 cos 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? ? 25 ? ? 7 2 ?? ? cos ? ? x ? ? cos cos x ? sin sin x ? ? .......................................................... 10 分 4 4 10 ?4 ? cos x ? 1 ? 2sin 2
cos 2 x 2 cos(

?

?

4

? x) ? sin x

7 1 25 ?? 4 7 2 4 2? ? 10 5 ................................................................ 12 分 ?

4.(2012 年高考(北京文) )已知函数 f ( x) ?

(sin x ? cos x)sin 2 x . sin x

(1)求 f ( x) 的定义域及最小正周期; (2)求 f ( x) 的单调递减区间. 【考点定位】本题考查三角函数,三角函数难度较低,此类型题平时的练习中练习得较多,考生应该觉得非 常容易入手. 解:(1)由 sin x ? 0 得 x ? k? ,(k ? Z ) ,故 f ( x) 的定义域为 {x ? R | x ? k? , k ? Z } .

(sin x ? cos x)sin 2 x ? = 2cos x(sin x ? cos x) = sin 2 x ? cos 2 x ?1= 2 sin(2 x ? ) ? 1 , sin x 4 2? 所以 f ( x) 的最小正周期 T ? ?? . 2 ? 3? (2)函数 y ? sin x 的单调递减区间为 [2k? ? , 2k? ? ](k ? Z ) . 2 2 ? ? 3? 3? 7? 由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , x ? k? (k ? Z ) 得 k? ? ? x ? k? ? , (k ? Z ) 2 4 2 8 8 3? 7? 所以 f ( x) 的单调递减区间为 [k? ? ? x ? k? ? ], (k ? Z ) 8 8
因为 f ( x) ? 5.(2012 年高考(湖北文) ) 设函数 f ( x) ? sin ? x ? 2 3 sin ? x cos ? x ? cos ? x ? ? ( x ? R) 的图像关于直线 x ? ? 对称,其中 ? , ?
2 2

1 2 (1) 求函数 f ( x) 的最小正周期;
为常数,且 ? ? ( ,1) (2) 若 y ? f ( x) 的图像经过点 ( 【解析】(1)因为

?
4

, 0) ,求函数 f ( x) 的值域.

f ( x) ? sin 2 ? x ? cos 2 ? x ? 2 3 sin ? x cos ? ? ? ? ? cos 2? x ? 3 sin 2? x ? ? ? 2sin(2? x ? ) ? ? 6
由直线 x ? ? 是 y ? f ( x) 图像的一条对称轴,可得 sin(2? x ? 所以 2? x ?

?

?

k 1 ? (k ? Z ) 6 2 2 3 1 6? 5 又 ? ? ( ,1), k ? Z ,所以 k ? 1 时, ? ? ,故 f ( x) 的最小正周期是 . 2 5 6 ? k? ? (k ? Z ) ,即 ? ?
(2)由 y ? f ( x) 的图象过点 ( 即 ? ? ?2sin( ?

?

?

6

) ? ?1

?

5 ? ? ? ? ) ? ?2sin ? ? 2 ,即 ? ? ? 2 6 2 6 4 5 ? 故 f ( x) ? 2sin( x ? ) ? 2 ,函数 f ( x) 的值域为 [2 ? 2, 2 ? 2] . 3 6
【点评】本题考查三角函数的最小正周期,三角恒等变形;考查转化与划归,运算求解的能力.二倍角公 式,辅助角公式在三角恒等变形中应用广泛,它在三角恒等变形中占有重要的地位,可谓是百考不厌. 求三角函数的最小正周期,一般运用公式 T ?

, 0) ,得 f ( ) ? 0 4 4

?

2?

?

来求解;求三角函数的值域,一般先根据自变量 x 的

范围确定函数 ? x ? ? 的范围.来年需注意三角函数的单调性,图象变换,解三角形等考查. 6.(2012 年高考(湖南文) )已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( x ? R, ? ? 0, 0 ? ? ? 示. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式;

?
2

的部分图像如图 5 所

) 的单调递增区间. 12 11? 5? 2? 【解析】(Ⅰ)由题设图像知,周期 T ? 2( ? ) ? ? ,?? ? ?2. 12 12 T 5? 因 为 点 ( 在 , 0 )函 数 图 像 上 , 所 以 12 5? 5? A sin(2 ? ? ? ) ? 0,即sin( ? ? ) ? 0 . 12 6 ? 5? 5? 4? 5? ? 又? 0 ? ? ? ,? 即 ? ?? ? , 从而 ? ? =?, ? = . 2 6 6 3 6 6 12
又点 0,1) 在函数图像上,所以 A sin (

(Ⅱ)求函数 g ( x) ? f ( x ?

?

) ? f (x ?

?

? 1, A ? 2 ,故函数 f(x)的解析式为 f ( x) ? 2sin(2 x ? ). 6 6 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? g ( x) ? 2sin ? 2 ? x ? ? ? ? ? 2sin ? 2 ? x ? ? ? ? ? (Ⅱ) 12 ? 6 ? 12 ? 6 ? ? 2sin 2 x ? 2sin(2 x ? ) ? ? ? ? 3
1 3 ? ? 2sin 2 x ? 2( sin 2 x ? cos 2 x) ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin(2 x ? ), 2 2 3 ? ? ? ? 5? 由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , 得 k? ? ? x ? k? ? , k ? z. 2 3 2 12 12 ? 5? ? ? , k ? z. ? g ( x) 的单调递增区间是 ? k? ? , k? ? 12 12 ? ? ?

?

?

【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质.第一问结合图形求得周期 T ? 2( 求得 ? ?

2? ? 2 .再利用特殊点在图像上求出 ? , A ,从而求出 f(x)的解析式;第二问运用第一问结论 T 和三角恒等变换及 y ? A sin(? x ? ? ) 的单调性求得.
f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0, ? ? 0, ?? ? ? ? ? )在 x ?
两个交点的距离为

11? 5? ? ) ? ? , 从而 12 12

7. ( 2012 年 高 考 ( 重 庆 文 ) ( 本 小 题 满 分 12 分 ,(Ⅰ) 小 问 5 分 ,(Ⅱ) 小 问 7 分 ) 设 函 数 )

?

? (I)求 f ( x) 的解析式; (II)求函数 g ( x) ? 2
7 4 7 5 4 2

6 6 cos 4 x ? sin 2 x ? 1

处取得最大值 2,其图象与轴的相邻 的值域.

【答案】:(Ⅰ) ? ?

?
6

f (x ? ) 6

?

(Ⅱ) [1, ) ? ( , ]

1 1 (cos 2 x ? ) 因 cos2 x ?[0,1] ,且 cos 2 x ? 2 2 7 7 5 故 g ( x) 的值域为 [1, ) ? ( , ] 4 4 2
8.(2012 年高考(陕西文) )函数 f ( x) ? A sin(? x ?

3 ? cos 2 x ? 1 2

?

6

) ?1 ( A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 3, 其图像相邻两

条对称轴之间的距离为

? , 2

(1)求函数 f ( x) 的解析式;(2)设 ? ? (0,

?

) ,则 f ( ) ? 2 ,求 ? 的值. 2 2

?

解析:(1)∵函数 f ( x) 的最大值为 3,∴ A ? 1 ? 3, 即 A ? 2

? ,∴最小正周期为 T ? ? 2 ? ∴ ? ? 2 ,故函数 f ( x) 的解析式为 y ? sin(2 x ? ) ? 1 6 ? ? ? 1 (2)∵ f ( ) ? 2sin(? ? ) ? 1 ? 2 即 sin(? ? ) ? 2 6 6 2 ? ? ? ? ∵ 0 ? ? ? ,∴ ? ? ? ? ? 2 6 6 3 ? ? ? ∴ ? ? ? ,故 ? ? 6 6 3 ? ? 2 9.(2012 年高考(天津理) 已知函数 f (x)= sin (2 x + )+sin(2 x ? )+2cos x ? 1 , x ? R . ) 3 3
∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为 (Ⅰ)求函数 f (x) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f (x) 在区间 [ ?

? ?
?
3

, ] 上的最大值和最小值. 4 4
? sin 2 x cos

【命题意图】本题考查两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式,三角函数的最小周期,单调性等知识.

f (x)= sin 2 x cos

?
3

? cos 2 x sin

?
3

? cos 2 x sin

?
3

? cos 2 x

? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin(2 x ? ) 4 2? 所以, f ( x) 的最小正周期 T ? ?? . 2
(2) 因 为 f ( x) 在 区 间 [?

?

? ?

? ? ? ? ? f (? ) ? ?1 , f ( ) ? 2, f ( ) ? 1 ,故函数 f ( x) 在区间 [? , ] 上的最大值为 2 ,最小值为 ?1 . 8 4 4 4 4 【点评】 该试题关键在于将已知的函数表达式化为 y =A sin (? x+? ) 的数学模型,再根据此三角模型的
图像与性质进行解题即可.
10.(2012 年高考(重庆理) (本小题满分 13 分(Ⅰ)小问 8 分(Ⅱ)小问 5 分) )

, ] 上 是 增 函 数 , 在 区 间 [ , ] 上 是 减 函 数 , 又 4 8 8 4

? ?

设 f ? x ? ? 4cos(? x ?

?
6

)sin ? x ? cos(2? x ? ? ) ,其中 ? ? 0.

(Ⅰ)求函数 y ? f ? x ? 的值域

(Ⅱ)若 f ? x ? 在区间 ? ?

? 3? ? ? 上为增函数,求 ? 的最大值. , ? 2 2? ?

【考点定位】本题以三角函数的化简求值为主线,三角函数的性质为考查目的的一道综合题,考查学生分析

? ? 3? ? ? 2 ? ? 4? ? 问题解决问题的能力,由正弦函数的单调性结合条件可列 ? ,从而解得 ? 的取值范围,即 ? ? ? ? 2 ? 4? ?
可得 ? 的最在值. 解:(1) f ? x ? ? 4 ?

? 3 ? 1 cos ? x ? sin ? x ? sin ? x ? cos 2? x ? 2 ? 2 ? ?

? 2 3 sin ? x cos ? x ? 2sin 2 ? x ? cos 2 ? x ? sin 2 ? x ? 3 sin 2? x ? 1
? ? ?? ? (2) 因 y ? sin x 在 每 个 闭 区 间 ? 2k? ? , 2k? ? ? ? k ? Z ? 上 为 增 函 数 , 故 2 2? ? ? k? ? k? ? ? f ? x ? ? 3 sin 2? x ? 1 ? ? ? 0 ? 在每个闭区间 ? ? , ? ? k ? Z ? 上为增函数. ? ? 4? ? 4? ? ? ? 3? ? ? ? k? ? k? ? ? 依题意知 ? ? 对某个 k ? Z 成立,此时必有 k ? 0 ,于是 , ? ? , ? ? 2 2 ? ? ? 4? ? 4? ? ? ? ? ? ? 3? ? ? 2 ? ? 4? 1 1 ? ,解得 ? ? ,故 ? 的最大值为 . ? 6 6 ?? ? ? ? 2 4? ? ?? ? ?? ? A 11. (2012 年高考 (山东理) 已知向量 m ? (sin x,1), n ? ( 3 A cos x, cos 2 x)( A ? 0) ,函数 f ( x) ? m ? n 的 ) 3
因 ?1 ? sin 2? x ? 1 ,所以函数 y ? f ? x ? 的值域为 ?1 ? 3,1 ? 3 ?

?

? 1 个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍, 2 12 5? 纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象.求 g ( x) 在 [0, ] 上的值域. 24 A 3 A ?? ? A sin 2 x ? cos 2 x ? A sin? 2 x ? ? , 解析:(Ⅰ) f ( x) ? m ? n ? 3 A cos x sin x ? cos 2 x ? 2 2 2 6? ? 则 A ? 6; ? ? ? (Ⅱ)函数 y=f(x)的图象像左平移 个单位得到函数 y ? 6 sin[2( x ? ) ? ] 的图象, 12 12 6 1 ? 再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标不变,得到函数 g ( x) ? 6 sin(4 x ? ) . 2 3 5? ? ? 7? ? 1 当 x ? [0, ] 时, 4 x ? ? [ , ], sin(4 x ? ) ? [? ,1] , g ( x) ? [?3,6] . 24 3 3 6 3 2 5? 故函数 g ( x) 在 [0, ] 上的值域为 [?3,6] . 24
(Ⅱ)将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移 另解:由 g ( x) ? 6 sin(4 x ?

最大值为 6. (Ⅰ)求 A ;

?

3

) 可得 g ?( x) ? 24 cos(4 x ?

?

3

) ,令 g ?( x) ? 0 ,

5? ? , ] ,则 x ? 24 3 2 24 ? ? ? 5? 7? 于是 g (0) ? 6 sin ? 3 3, g ( ) ? 6 sin ? 6, g ( ) ? 6 sin ? ?3 , 3 24 2 24 6 5? 故 ? 3 ? g ( x) ? 6 ,即函数 g ( x) 在 [0, ] 上的值域为 [?3,6] . 24
则 4x ?

?

? k? ?

?

(k ? Z ) ,而 x ? [0,

12.(2012 年高考(浙江文) 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bsinA= 3 acosB. )

(1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,sinC=2sinA,求 a,c 的值. 【命题意图】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理,考查考生对基础知识、基本技能 的掌握情况. 【 解 析 】 (1) ? bsinA=

3 acosB, 由 正 弦 定 理 可 得 sin B sin A ? 3 sin A cos B , 即 得

tan? B

,3 B ? ?

?

(2)?sinC=2sinA,由正弦定理得 c ? 2a , 由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B , 9 ? a ? 4a ? 2a ? 2a cos
2 2 2

3

.

,解得 a ? 3 ,? c ? 2a ? 2 3 . 3 13. ( 2012 年 高 考 ( 天 津 文 )) 在 ?ABC 中 , 内 角 A, B, C 所 对 的 分 别 是 a, b, c . 已 知
2 2

?

a ? 2 ,c ?

2 2, cos ? . A? 4
(II)求 cos(2 A ?

(I)求 sin C 和 b 的值; 解 :(1) 在 ?ABC 中 , 由 cos A ? ?

?
3

) 的值.

2 14 a c , 可 得 sin A ? ,又由 及 a ? 2 , c ? 2 ,可得 ? 4 4 sin A sin C

7 4 2 2 2 2 由 a ? b ? c ? 2bc cos A ? b ? b ? 2 ? 0 ,因为 b ? 0 ,故解得 b ? 1. 7 ,b ? 1 所以 sin C ? 4 2 14 7 3 2 (2)由 cos A ? ? , sin A ? ,得 cos 2 A ? 2 cos A ? 1 ? ? , sin A ? 2sin A cos A ? ? 4 4 4 4 ? ? ? ?3 ? 21 所以 cos(2 A ? ) ? cos 2 A cos ? sin 2 A sin ? 3 3 3 8 si nC ?
14.(2012 年高考(山东文) (本小题满分 12 分) )

在△ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 sin B(tan A ? tan C) ? tan Atan C . (Ⅰ)求证: a, b, c 成等比数列; (Ⅱ)若 a ? 1, c ? 2 ,求△ ABC 的面积 S. 解:(I)由已知得: sin B(sin A cos C ? cos Asin C) ? sin Asin C ,
sin B sin( A ? C) ? sin A sin C ,则 sin 2 B ? sin A sin C ,

再由正弦定理可得: b2 ? ac ,所以 a, b, c 成等比数列. a 2 ? c 2 ? b2 3 (II)若 a ? 1, c ? 2 ,则 b2 ? ac ? 2 ,∴ cos B ? ? , 2ac 4 7 , sin C ? 1 ? cos2 C ? 4

1 1 7 7 ∴△ ABC 的面积 S ? ac sin B ? ? 1 ? 2 ? . ? 2 2 4 4
15.(2012 年高考(辽宁文) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c.角 A,B,C 成等差数列. )

(Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sin A sin C 的值. 解:(I)由已知得: sin B(sin A cos C ? cos Asin C) ? sin Asin C ,
sin B sin( A ? C) ? sin A sin C ,则 sin 2 B ? sin A sin C ,

再由正弦定理可得: b2 ? ac ,所以 a, b, c 成等比数列. a 2 ? c 2 ? b2 3 (II)若 a ? 1, c ? 2 ,则 b2 ? ac ? 2 ,∴ cos B ? ? , 2ac 4 7 , sin C ? 1 ? cos2 C ? 4 1 1 7 7 ∴△ ABC 的面积 S ? ac sin B ? ? 1 ? 2 ? . ? 2 2 4 4
16. 2012 年高考 ( (课标文)已知 a , b , c 分别为 ?ABC 三个内角 A , B , C 的对边, c ? )

3a sin C ? c sin A .

(Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)若 a =2, ?ABC 的面积为 3 ,求 b , c . 【命题意图】本题主要考查正余弦定理应用,是简单题. 【解析】(Ⅰ)由 c ? 3a sin C ? c sin A 及正弦定理得

3 sin A sin C ? sin A sin C ? sin C ? 1 由于 sin C ? 0 ,所以 sin( A ? ) ? , 6 2
又 0 ? A ? ? ,故 A ?

?

3

.

1 bc sin A = 3 ,故 bc =4, 2 2 2 2 2 2 而 a ? b ? c ? 2bc cos A 故 c ? b =8,解得 b ? c =2. 法二:解: 已知: c ? 3a ? sin C ? c ? cos A ,由正弦定理得:
(Ⅱ) ?ABC 的面积 S =

sin C ? 3 sin A ? sin C ? sin C ? cos A
因 sin C ? 0 ,所以: 1 ?

3 sin A ? cos A ,

由公式: a sin x ? b cos x ?

a 2 ? b 2 sin?x ? ? ?

b ?? ? ? a ? 0 , tan? ? , ? ? ? 得: a 2? ?

?? 1 ? ? ? ? sin? A ? ? ? ,? A 是 ? 的内角,所以 A ? ? ,所以: A ? 6? 2 6 6 3 ? 1 (2) S ? bc sin A ? 3 ? bc ? 4 2 2 2 a ? b ? c 2 ? 2bc cos A ? b ? c ? 4 解得: b ? c ? 2 1 ? 17(11 陕西)已知函数 f ( x) ? 2 sin( x ? ), x ? R 3 6 5? (1)求 f ( ) 的值; 4

? 10 6 ? ?? ? , ? ? ?0, ? , f (3a ? ) ? , f (3 ? ? 2 ?) ? , 2 13 5 求 cos(? ? ? ) 的值. ? 2? (2)设
f(
解: (1)

5? 1 5 ? ) ? 2sin( ? ? ? ) 4 3 4 6

? ?2sin
?

?
4

? 2


10 ?? ?1 ? ?? ?? ? ? f ? 3? ? ? ? 2sin ? ? ? 3? ? ? ? ? ? 2sin ? , 13 2? 2? 6? ? ?3 ? (2) 6 ?? ?? ?1 ? ? f (3? ? 2? ) ? 2sin ? ? (3? ? 2? ) ? ? ? 2sin ? ? ? ? ? 2 cos ? , 5 6? 2? ?3 ? 5 3 ? sin ? ? , cos ? ? , 13 5
12 ?5? ? cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? ? ? ? , 13 ? 13 ?
2 2

4 ?3? sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? ? ? ? , 5 ?5?
2

2

3 12 5 4 56 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? . 5 13 13 5 65 故
f ( x) ? tan(2 x ? ), 4 18(11 天津理 15)已知函数 (Ⅰ)求 f ( x) 的定义域与最小正周期;
? (II)设 本小题主要考查两角和的正弦、余弦、正切公式,同角三角函数的基本关系,二倍角的正弦、余弦公式, 正切函数的性质等基础知识,考查基本运算能力.满分 13 分. ? ?? ? ? ? 0, ? 4

?

f ( ) ? 2 cos 2? , ? ,若 2 求 ? 的大小.

?

2x ?
(I)解:由

?

4

?

?

2

? k? , k ? Z


k? x? ? ,k ?Z 8 2 得 .
所以 f ( x) 的定义域为

?

{x ? R | x ?

?
8

?

k? , k ? Z} 2

? . f ( x) 的最小正周期为 2 a f ( ) ? 2cos 2a, (II)解:由 2 ?


tan(a ? ) ? 2cos 2a, 4

sin(a ? ) 4 ? 2(cos 2 a ? sin 2 a), ? cos(a ? ) 4

?

sin a ? cos a ? 2(cos a ? sin a)(cos a ? sin a). 整理得 cos a ? sin a a ? (0, ) 4 ,所以 sin a ? cos a ? 0. 因为 1 1 (cos a ? sin a) 2 ? , 即sin 2a ? . 2 2 因此 a ? (0, ) 2a ? (0, ) 4 ,得 2 . 由 2a ?
所以

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6

,即a ?

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12

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