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用二分法求方程的近似解教案


用二分法求方程的近似解
一、教学内容分析
本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学 1 必修本(A 版) 》的第三 章 3.1.2 用二分法求方程的近似解.本节课要求学生根据具体的函数图象能够借 助计算机或信息技术工具计算器用二分法求相应方程的近似解, 了解这种方法是 求方程近似解的常用方法, 从中体会函数与方程之间的联系;它既是本册书中的 重点内容,又是对函数知识的拓展,既体现了函数在解方程中的重要应用,同时 又为高中数学中函数与方程思想、 数形结合思想、 二分法的算法思想打下了基础, 因此决定了它的重要地位.

二、学生学习情况分析
学生已经学习了函数,理解函数零点和方程根的关系, 初步掌握函数与方程 的转化思想.但是对于求函数零点所在区间,只是比较熟悉求二次函数的零点, 对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难. 另外算法程序的模式化 和求近似解对他们是一个全新的问题.

三、设计思想
倡导积极主动、勇于探索的学习精神和合作探究式的学习方式;注重提高学 生的数学思维能力,发展学生的数学应用意识;与时俱进地认识“双基”,强调数 学的内在本质,注意适度形式化;在教与学的和谐统一中体现数学的文化价值; 注重信息技术与数学课程的合理整合.

四、教学目标
通过具体实例理解二分法的概念,掌握运用二分法求简单方程近似解的方 法, 从中体会函数的零点与方程根之间的联系及其在实际问题中的应用;能借助 计算器用二分法求方程的近似解,让学生能够初步了解逼近思想;体会数学逼近 过程,感受精确与近似的相对统一;通过具体实例的探究,归纳概括所发现的结 论或规律,体会从具体到一般的认知过程.

五、教学重点和难点
1.教学重点:用“二分法”求方程的近似解,使学生体会函数零点 与方程根之间的联系,初步形成用函数观点处理问题的意识. 2.教学难点:方程近似解所在初始区间的确定,恰当地使用信息技术工具, 利用二分法求给定精确度的方程的近似解.

六、教学过程设计
(一)创设情境,提出问题 问题 1:在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发

生了故障.这是一条 10km 长的线路,如何迅速查出故障所在? 如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多.每查一个点要爬一次电线杆 子.10km 长,大约有 200 多根电线杆子呢. 想一想,维修线路的工人师傅怎样工作最合理? 以实际问题为背景,以学生感觉较简单的问题入手,激活学生的思维,形成 学生再创造的欲望.注意学生解题过程中出现的问题,及时引导学生思考,从二 分查找的角度解决问题. [学情预设] 学生独立思考,可能出现的以下解决方法: 思路 1:直接一个个电线杆去寻找. 思路 2:通过先找中点,缩小范围,再找剩下来一半的中点. 老师从思路 2 入手,引导学生解决问题:

如图,维修工人首先从中点 C.查用随身带的话机向两个端点测试时,发现 AC 段正常,断定故障在 BC 段,再到 BC 段中点 D,这次发现 BD 段正常,可见故 障在 CD 段,再到 CD 中点 E 来查.每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半, 如此查下去,不用几次,就能把故障点锁定在一两根电线杆附近. 师:我们可以用一个动态过程来展示一下(展示多媒体课件) . 在一条线段上找某个特定点, 可以通过取中点的方法逐步缩小特定点所在的 范围(即二分法思想) . [设计意图] 从实际问题入手, 利用计算机演示用二分法思想查找故障发生 点, 通过演示让学生初步体会二分法的算法思想与方法, 说明二分法原理源于现 实生活,并在现实生活中广泛应用. (二)师生探究,构建新知 问题 2:假设电话线故障点大概在函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点位置,请同 学们先猜想它的零点大概是什么?我们如何找出这个零点? 1.利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象,通过具体的函数图 象帮助学生理解闭区间上的连续函数,如果两个端点的函数值是异号的,那么函 数图象就一定与 x 轴相交,即方程 f ( x) ? 0 在区间内至少有一个解(即上节课的 函数零点存在性定理,为下面的学习提供理论基础) .引导学生从“数”和“形”两个 角度去体会函数零点的意义, 掌握常见函数零点的求法, 明确二分法的适用范围. 2. 我们已经知道, 函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 在区间(2, 3)内有零点,且 f (2) <0, f (3) >0.进一步的问题是,如何找出这个零点?

合作探究:学生先按四人小组探究.(倡导学生积极交流、勇于探索的学习 方式,有助于发挥学生学习的主动性) 生:如果能够将零点所在的范围尽量缩小,那么在一定精确度的要求下,我 们可以得到零点的近似值. 师:如何有效缩小根所在的区间? 生 1:通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围. 生 2:是否也可以通过“取三等分点或四等分点”的方法逐步缩小零点所在的 范围? 师:很好,一个直观的想法是:如果能够将零点所在的范围尽量缩小,那么 在一定精确度的要求下,可以得到零点的近似值.其实“取中点”和“取三等分点或 四等分点”都能实现缩小零点所在的范围 . 但是在同样可以实现缩小零点所在范 围的前提下, “取中点”的方法比取“三等分点或四等分点”的方法更简便 .因此,为 了方便,下面通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围. 引导学生分析理解求区间 (a, b) 的中点的方法 x ?
a?b . 2

合作探究: (学生 2 人一组互相配合,一人按计算器,一人记录过程.四人 小组中的两组比较缩小零点所在范围的结果.) 步骤一:取区间(2,3)的中点 2.5,用计算器算得 f (2.5) ? ?0.084 ? 0 . 由 f (3) >0,得知 f (2.5) ? f (3) ? 0 ,所以零点在区间(2.5,3)内。 步骤二:取区间(2.5,3)的中点 2.75,用计算器算得 f (2.75) ? 0.512 ? 0 .因为
f (2.5) ? f (2.75) ? 0 ,所以零点在区间(2.5,2.75)内.

结论:由于(2,3) (2,3) ? (2.5,3) ? (2.5, 2.75) ,所以零点所在的范围确实越来 越小了. 如果重复上述步骤,在一定精确度下,我们可以在有限次重复上述步骤 后,将所得的零点所在区间内的任一点作为函数零点的近似值.特别地,可以将 区间端点作为函数零点的近似值. 引导学生利用计算器边操作边认识,通过小组合作探究,得出教科书上的表 3—2,让学生有更多的时间来思考与体会二分法实质,培养学生合作学习的良 好品质. [学情预设 ]学生通过上节课的学习知道这个函数的零点就是函数图象与 x 轴的交点的横坐标, 故它的零点在区间 (2, 3) 内. 进一步利用函数图象通过 “取 中点” 逐步缩小零点的范围, 利用计算器通过将自变量改变步长减少很快得出表

3—2,找出零点的大概位置. [设计意图]从问题 1 到问题 2,体现了数学转化的思想方法,问题 2 有着承 上启下的作用,使学生更深刻地理解二分法的思想,同时也突出了二分法的特 点.通过问题 2 让学生掌握常见函数零点的求法,明确二分法的适用范围. 3.问题 3:对于其他函数,如果存在零点是不是也可以用这种方法去求它的 近似解呢? 引导学生把上述方法推广到一般的函数, 经历归纳方法的一般性过程之后得 出二分法及用二分法求函数 f ( x) 的零点近似值的步骤. 对于在区间 [a ,b] 上连续不断且满足 f (a ) · f (b) ? 0 的函数 y ? f ( x) ,通过 不断地把函数 f ( x) 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零 点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 注意引导学生分化二分法的定义(一是二分法的适用范围,即函数 y ? f ( x) 在区间 [a , b] 上连续不断,二是用二分法求函数的零点近似值的步骤) . 给定精确度 ? ,用二分法求函数 f ( x) 的零点近似值的步骤如下: 1、确定区间 [a , b] ,验证 f (a ) · f (b) ? 0 ,给定精确度 ? ; 2、求区间 (a , b) 的中点 c ; 3、计算 f (c) : (1)若 f (c) = 0 ,则 c 就是函数的零点; (2)若 f (a ) · f (c) < 0 ,则令 b = c (此时零点 x0 ? (a, c) ) ; (3)若 f (c) · f (b) < 0 ,则令 a = c (此时零点 x0 ? (c, b) ) ; 4、判断是否达到精确度 ? : 即若 | a ? b |? ? ,则得到零点零点值 a (或 b ) ;否则重复步骤 2—4. 利用二分法求方程近似解的过程,可以简约地用下图表示.
初始区间 取区间中点

中点函数值为零 是 否 取新区间

满足精确度 是 结束 否

[学情预设] 学生思考问题 3 举出二次函数外,对照步骤观察函数 结合二次函数图象和标有 a 、b 、 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的图象去体会二分法的思想.

x0 的数轴理解二分法的算法思想与计算原理.
[设计意图]以问题研讨的形式替代教师的讲解,分化难点、解决重点,给学 生 “数学创造” 的体验, 有利与学生对知识的掌握, 并强化对二分法原理的理解. 学 生在讨论、合作中解决问题,充分体会成功的愉悦.让学生归纳一般步骤有利于 提高学生自主学习的能力, 让学生尝试由特殊到一般的思维方法.利用二分法求 方程近似解的过程,用图表示,既简约又直观,同时能让学生初步体会算法的思 想. (三)例题剖析,巩固新知 例: 借助计算器或计算机用二分法求方程 2 x ? 3x ? 7 的近似解 (精确度 0.1) . 两人一组,一人用计算器求值,一人记录结果;学生讲解缩小区间的方法和 过程,教师点评. 本例鼓励学生自行尝试, 让学生体验解题遇阻时的困惑以及解决问题的快乐. 此例让学生体会用二分法来求方程近似解的完整过程, 进一步巩固二分法的思想 方法. 思考: 问题(1):用二分法只能求函数零点的“近似值”吗? 问题(2):是否所有的零点都可以用二分法来求其近似值? 教师有针对性的提出问题,引导学生回答,学生讨论,交流. 反思二分法的 特点, 进一步明确二分法的适用范围以及优缺点,指出它只是求函数零点近似值 的“一种”方法. [设计意图]及时巩固二分法的解题步骤,让学生体会二分法是求方程近似解 的有效方法.解题过程中也起到了温故转化思想的作用. (四)尝试练习,检验成果 1、下列函数中能用二分法求零点的是( ).

y

。 (A) (B) (C)

o
(D)

x

[设计意图]让学生明确二分法的适用范围. 2、用二分法求图象是连续不断的函数 y ? f ( x) 在 x ∈(1,2)内零点近似值的过程 中得到 f (1) ? 0 , f (1.5) ? 0 , f (1.25) ? 0 ,则函数的零点落在区间( (A)(1,1.25) (B)(1.25,1.5) (C)(1.5,2) ).

(D) 不能确定

[设计意图]让学生进一步明确缩小零点所在范围的方法. 3.借助计算器或计算机,用二分法求方程 x ? 3 ? lg x 在区间(2,3)内的近似解 (精确度 0.1). [设计意图] 进一步加深和巩固对用二分法求方程近似解的理解. (五)课堂小结,回顾反思 学生归纳,互相补充,老师总结: 1、理解二分法的定义和思想,用二分法可以求函数的零点近似值,但要保 证该函数在零点所在的区间内是连续不断; 2、用二分法求方程的近似解的步骤. [设计意图]帮助学生梳理知识,形成完整的知识结构.同时让学生知道理解 二分法定义是关键,掌握二分法解题的步骤是前提,实际应用是深化. (六)课外作业 1.[书面作业]第 92 页习题 3.1A 组 3、4、5; 2.[知识链接]第 91 页阅读与思考“中外历史上的方程求解” . 3.[课外思考]:如果现在地处学校附近的地下自来水管某处破裂了,那么怎 么找出这个破裂处,要不要把水泥板全部掀起? 板书设计

§3.1.2 用二分法求方程的近似解 1.二分法的定义 2.用二分法求函数的零点近似值的步骤 3.用二分法求方程的近似解

七、教学反思
这节课既是一堂新课又是一堂探究课.整个教学过程,以问题为教学出发点, 以教师为主导,学生为主体,设计情境激发学生的学习动机,激励学生去取得成 功,顺应合理的逻辑结构和认知结构,符合学生的认知规律和心理特点,重视思 维训练,发挥学生的主体作用,注意数学思想方法的溶入渗透,满足学生渴望的 奖励结构.整个教学设计中,特别注重以下几个方面: (1)重视学生的学习体验,突出他们的主体地位.训练了他们用从特殊到一 般,再由一般到特殊的思维方式解决问题的能力.不断加强他们的转化类比思想. (2) 注重将用二分法求方程的近似解的方法与现实生活中案例联系起来,让 学生体会数学方法来源于现实生活,又可以解决生活中的问题. (3) 注重学生参与知识的形成过程, 动手、 动口、 动脑相结合, 使他们“听” 有所思,“学”有所获,增强学习数学的信心,体验学习数学的乐趣. (4)注重师生之间、同学之间互动,注重他们之间的相互协作,共同提高.

福建师大附中

周裕燕

点评: 本节课既是一堂新课又是一堂探究课 .如何在数学课堂教学中体 现新课程理念,本课例进行了有益的探索。整个教学设计过程,以问 题为出发点,以教师为主导,学生为主体,设计的问题情境顺应合理 的逻辑结构和认知结构,符合学生的认知规律和心理特点,有效地激 发了学生的学习动机; 重视思维训练, 注意数学思想方法的溶入渗透。 本节课采用 “问题情境— 意义建构— 数学理论— 数学运用— 回顾反思” 的教学流程。周老师在课题引入时,以实际问题为背景, 以学生感觉较简单的问题入手,“让学生找出电话线故障点, ”有效 地激发学生学习的欲望和探究的兴趣。采用探究教学方式,在师生共 同探究的过程中,构建新的知识,既让学生了解数学概念和结论产生 的过程,同时也培养了学生独立思考和勇于质疑的品质。此外,周老 师在本课例的设计中, 能很好地将现代信息技术与数学课程进行有机 的整合,使“方法建构、技术运用、算法渗透”三者同步发展。 “用二分法求方程的近似解”是对函数知识的拓展,既体现了函 数在解方程中的重要应用,同时又为高中数学中函数与方程思想、数

形结合思想、二分法的算法思想打下了基础。周老师不仅注意到本节 知识在这一章中的重要性, 而且还注意将本节知识与现实生活中的案 例联系起来,让学生体会数学方法来源于现实生活,又可以解决生活 中的问题。


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