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1.1 集合学案(高考一轮复习)


红光中学教学案

高中数学一轮复习

2014 年高中数学一轮复习教学案 第一章 第1节 集合与常用逻辑用语 集 合

一.学习目标: 1.集合的含义与表示 (1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系; (2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题, 感受集合语言的意义和作用; 2.集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集; (2)在具体情境中,了解全集与空集的含义; 3.集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集; (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集; (3)能使用 Venn 图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用。 二.学习重、难点: 1.学习重点:理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集; 2.学习难点:理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集; 三.学习方法:讲练结合 四.自主复习: 1.集合与元素 (1)集合中元素的特性:__________________________. (2)集合与元素的关系 ①a 属于集合 A,用符号语言记作______. ②a 不属于集合 A,用符号语言记作_____. (3)常见集合的符号表示

数集

自然数集非 负整数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

符号

___

_______

____

_____

____

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(4)集合的表示法:________________、Venn 图法.

2.集合间的基本关系

表示 关系 相等 子集

文字语言 集合 A 与集合 B 中的所有元素都相 同 A 中任意一个元素均为 B 中的元素 A 中任意一个元素均为 B 中的元素,

符号语言

A=B ___________

真子集

且 B 中至少有一个元素不是 A 中的 元素

__________

空集

空集是任何集合的子集, 是 任何_________的真子集

??A,? B(B≠?)

意义

{x|___________ }

{x|___________ }

?UA={x|__________ }

五.复习前测: 1.若 P={x|x<1},Q={x|x>-1},则( A.P?Q B.Q?P )

C.?RP?Q D.Q??RP

2. (2013· 福州模拟)如图所示, 设集合 U 是全集, 若已给的 Venn 图表示了集合 A, B, U 之间的关系,则阴影部分表示的集合是( )

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A.(?UA)∩B B.A∩B C.?U(A∩B) D.?UA

3.(2013· 安徽师大附中模拟)集合 A={x|x2=1},B={x|ax=1},若 B?A,则实数 a 的值为( A.1 ) B.-1

C.± 1 D.0 或± 1

4.已知集合 A={x∈R||x-1|<2},Z 为整数集,则集合 A∩Z 中所有元素的和等于 __________.

5.已知 A={1,2,3},B={x∈R|x2-ax+1=0,a∈A},则 A∩B=B 时 a 的值是 __________.

要点点拨: 1.集合的元素必须满足“三性”:确定性、互异性、无序性.要解决与集合有关的 问题,一方面,要善于抓住集合元素的“三性”;另一方面,在解答完毕之时,不要忘 记检验集合的元素是否满足这“三性”. 2.要注意准确理解符号描述法{x|p(x)},其中“|”前为元素所具有的形式,“|”后为元 素所具有的属性 p(x).特别要注意下列几个集合: (1){x|f(x)>0}表示不等式 f(x)>0 的解集;
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(2){x|y=f(x)}表示函数 y=f(x)的定义域; (3){y|y=f(x)}表示函数 y=f(x)的值域; (4){x|f(x)=0}是方程 f(x)=0 的解集; (5){(x,y)|y=f(x)}表示函数 y=f(x)的图象上的所有点的集合. 3.注意空集?的特殊性,在解题中,若未能指明集合非空时,要考虑空集的可能性, 如 A?B,则有 A=?或 A≠?两种可能,此时应分类讨论. 六.复习过程: 题型一:集合的基本概念 [例 1] (1)设 P、Q 为两个非空实数集合,定义集合 P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},若 P={0,2,5},Q={1,2,6},则 P+Q 中元素的个数是( A.9 C.7 B.8 D.6 )

(2)已知-3∈A={a-2,2a2+5a,12},则 a=__________.

[思路点拨] (1)从 P+Q 的定义入手,可列表求出 a+b 的值. (2)-3 是 A 中的元素,说明 A 中的三个元素有一个等于-3,可分类讨论. [规律总结] 1.求解本题易出现的错误就是求出答案后,不进行检验,忽视了元素的互异性. 2.研究一个集合,首先要看集合中的代表元素,然后再看元素的限制条件,当集合 用描述法表示时,注意弄清其元素表示的意义是什么. 变式训练 1 (1)i 是虚数单位,若集合 S={-1,0,1},则( A.i∈S B.i2∈S 2 C.i3∈S D. ∈S i
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)

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(2)下列各组中各个集合的意义是否相同,为什么? ①{1,5},{(1,5)},{5,1},{(5,1)}; ②{x|x=0},{0},{(x,y)|x=0,y∈R}; ③{x|x2-ax-1=0}与{a|方程 x2-ax-1=0 有实根}.

题型二:集合间的基本关系 [例 2] (1)已知集合 M={-1,0,1},N={x|x=ab,a,b∈M,且 a≠b},则集合 M 与集合 N 的关系是( )

A.M=N B.M?N C.N?M D.M∩N=?

(2)(2011· 北京高考)已知集合 P={x|x2≤1},M={a}.若 P∪M=P,则 a 的取值范围 是( ) A.(-∞,-1] B.[1,+∞) C.[-1,1] D.(-∞,-1]∪[1,+∞)

[规律总结] (1)已知集合间关系求参数时,关键是将集合间关系转化为元素间的关系,进而转化 为参数满足的关系.解题时注意数轴、Venn 图的运用. (2)注意等价转化思想在解题中的应用,如: A∩B=A?A?B; A∪B=A?B?A.
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变式训练 2 1 已知集合 A={x|0<ax+1≤5},集合 B={x|- <x≤2}. 2 (1)若 A?B,求实数 a 的取值范围; (2)A、B 能否相等?若能,求出 a 的值;若不能,试说明理由.

题型三:集合的基本运算 x [例 3] (1)设集合 M={y|y=|cos2x-sin2x|,x∈R},N={x|| |<1,i 为虚数单位,x∈ i R},则 M∩N 为( )

A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1]

(2)已知 M,N 为集合 I 的非空真子集,且 M,N 不相等,若 N∩?IM=?,则 M∪N =( ) A.M B.N C.I D.?

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[思路点拨] (1)利用交、并、补的定义; (2)结合 Venn 图,确定集合 M,N 之间的关系,进而求出集合 M∪N. [规律总结] 1.(1)题考查具体集合的运算; (2)题考查抽象集合的运算,两题常见的错误是审题不认真,看错交、并集运算符 号. 2.在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化.一般地 集合元素离散时用 Venn 图表示,集合元素是连续实数时用数轴表示,用数轴表示时要注 意端点值的取舍. 3.要注意五个关系式 A?B,A∩B=A,A∪B=B,?UA??UB,A∩(?UB)=?的等价 性.

变式训练 3

(1)已知 A,B 均为集合 U={1,3,5,7,9}的子集,且 A∩B={3},(?UB)∩A={9},则 A =( ) A.{1,3} B.{3,7,9}

C.{3,5,9} D.{3,9}

(2)(2012· 福州模拟)已知全集 U=A∪B 中有 m 个元素, (?UA)∪(?UB)中有 n 个元素. 若 A∩B 非空,则 A∩B 的元素个数为( A.mn B.m+n )

C.n-m D.m-n

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创新探究——以集合为背景的新定义问题 [例题] (2012· 江苏)设集合 Pn={1,2,?,n},n∈N*.记 f(n)为同时满足下列条件的 集合 A 的个数: ①A?Pn;②若 x∈A,则 2x?A;③若 x∈?PnA,则 2x??PnA. (1)求 f(4); (2)求 f(n)的解析式(用 n 表示).

链接高考: 1.(2012· 山东)已知全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3},B={2,4},则(?UA)∪B 为 ( ) A.{1,2,4} C.{0,2,4} B.{2,3,4} D.{0,2,3,4}

1 2.(2012· 重庆)设平面点集 A={(x,y)|(y-x)(y- )≥0},B={(x,y)|(x-1)2 +(y- x 1)2≤1},则 A∩B 所表示的平面图形的面积为( 3 3 A. π B. π 4 5 4 π C. π D. 7 2 )

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3.(2012· 课标全国)已知集合 A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则 B 中所含元素的个数为( A.3 B.6 C.8 D.10 )

4. (2012· 天津)已知集合 A={x∈R||x+2|<3}, 集合 B={x∈R|(x-m)(x-2)<0}, 且 A∩B =(-1,n),则 m=__________,n=__________.

七.反馈练习: 1.(2013· 广东六校联考)设集合 U={1,2,3,4,5},A={1,2},B={2,3,4},则?U(A∪B)等于 ( ) A.{2} C.{1,2,3,4} B.{5} D.{1,3,4,5}

2.(2013· 济宁模拟)已知全集 U=R,集合 M={x|2x<4}和 N={x||x-1|<2}的关系的韦恩 (Venn)图如图所示,则阴影部分所表示的集合是( )

A.{x|x≥3} C.{x|x≥2}

B.{x|2<x<3} D.{x|-1<x<2}

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3. 函数 y= 1-2x的定义域为集合 A, 函数 y=ln(2x+1)的定义域为集合 B, 则 A∩B =( ) 1 1 A.(- , ] 2 2 1 C.(-∞,- ) 2 1 1 B.(- , ) 2 2 1 D.[ ,+∞) 2

4.已知集合 A={y|x2+y2=1}和集合 B={y|y=x2},则 A∩B 等于( A.(0,1) C.(0,+∞) B.[0,1] D.{(0,1),(1,0)}

)

5.若集合 A={x||x-2|≤3,x∈R},B={y|y=1-x2,y∈R},则 A∩B 等于( A.[0,1] C.[-1,1] B.[0,+∞) D.?

)

?|4x-3y|≤12, ? 6.(2013· 浙江联考)已知集合 M={(x,y)| ? ?|4x+3y|≤12, ?

x,y∈R},N={(x,y)|(x-a)2+(y-b)2=r2,a,b∈R,r>0},若存在 a,b∈R,使 得 N?M,则 r 的最大值是( A.3 C.2.4 ) B.2.5 D.2

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7.若集合 U=R,A={x|x+2>0},B={x|x≥1},则 A∩?UB=__________.

8. 设集合 A={x|x= 5k+1, k∈N}, B={x|0≤x≤6, x∈Q}, 则 A∩B=__________.

9.设 A 是整数集的一个非空子集.对于 k∈A,如果 k-1?A 且 k+1?A,那么称 k 是 A 的一个“孤立元”.给定 S={1,2,3,4,5,6,7,8},由 S 的 3 个元素构成的所有集合中, 不含“孤立元”的集合共有__________个.

10.已知集合 A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},且 1∈A,求实数 a 的值.

x-2a 11. (2013· 台州联考)已知集合 A={x|x2-3(a+1)x+2(3a+1)<0},B={x| x-?a2+1? <0}. (1)当 a=2 时,求 A∩B. (2)求使 B?A 的实数 a 的取值范围.

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12. (2013· 海淀区期末)若集合 A 具有以下性质: ①0∈A,1∈A; 1 ②若 x,y∈A,则 x-y∈A,且 x≠0 时, ∈A. x 则称集合 A 是“好集”. (1)分别判断集合 B={-1,0,1},有理数集 Q 是否是“好集”,并说明理由; (2)设集合 A 是“好集”,求证:若 x,y∈A,则 x+y∈A; (3)对任意的一个“好集”A,分别判断下面命题的真假,并说明理由. 命题 p:若 x,y∈A,则必有 xy∈A; y 命题 q:若 x,y∈A,且 x≠0,则必有 ∈A. x

八.思维总结: 集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言,并用集合语言表达数 学问题,运用集合观点去研究和解决数学问题。 1. 学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素, 熟练运用集合的各种符号, 如? 、

? 、 ? 、 、=、 C S A、∪,∩等等;
2.强化对集合与集合关系题目的训练,理解集合中代表元素的真正意义,注意利用 几何直观性研究问题,注意运用 Venn 图解题方法的训练,加强两种集合表示方法转换和 化简训练;解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容(即读懂问题中 的集合)以及各个集合之间的关系,常常根据“Venn 图”来加深对集合的理解,一个集合 能化简(或求解),一般应考虑先化简(或求解);
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3.确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容,解决问 题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。 ① 区别∈ 与 、 与 ? 、a 与{a}、φ 与{φ}、{(1,2)}与{1,2}; ②A ? B 时,A 有两种情况:A=φ 与 A≠φ。 ③ 若集合 A 中有 n (n ? N ) 个元素,则集合 A 的所有不同的子集个数为 2 ,所有真
n

子集的个数是 2 -1, 所有非空真子集的个数是 2 ? 2 。
n
n

④ 区分集合中元素的形式: 如 A ? {x | y ? x 2 ? 2x ? 1} ; B ? { y | y ? x 2 ? 2x ? 1} ;

C ? {( x, y) | y ? x 2 ? 2x ? 1} ;
D ? {x | x ? x 2 ? 2x ? 1} ;

E ? {( x, y) | y ? x 2 ? 2x ? 1, x ? Z , y ? Z} ;

F ? {( x, y' ) | y ? x 2 ? 2x ? 1} ;
y G ? {z | y ? x 2 ? 2 x ? 1, z ? } 。 x
⑤ 空集是指不含任何元素的集合。 {0} 、 ? 和 {? } 的区别;0 与三者间的关系。空集 是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。条件为 A ? B ,在讨论的时候不要遗忘 了 A ? ? 的情况。 ⑥ 符号“ ?, ? ”是表示元素与集合之间关系的,立体几何中的体现点与直线(面)的关 系 ; 符号“ ?, ? ”是表示集合与集合之间关系的, 立体几何中的体现面与直线(面)的关系。 逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科,是人们认识和研究问题不可缺少的工具, 是为了培养学生的推理技能,发展学生的思维能力。 九.自我评价: 1.你对本章的复习的自我评价如何? A.很好 B.一般 C. 不太好 2.你认为在这章复习中还有哪些知识漏洞?

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