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高中数学数列专题专项复习(综合训练篇含答案)

高三数学综合复习

满分系列

数列
———综合训练篇 一、选择题:
1. 在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 3a8 ? a15 ? 120 ,则 2a9 ? a10 的值为 ( D ) A.18 B.20 C.22 D.24 2.等差数列 ?an ? 满足: a1 ? a3 ? 8, S 5 ? 30 ,若等比数列 ?bn ? 满足 b1 ? a1 , b3 ? a4 , 则 b5 为( B ) A.16 B.32 C.64 D.27

3.等差数列 ?an ? 中, a1 ? a4 ? a7 ? 39, a3 ? a6 ? a9 ? 27, 则数列 ?an ? 的前 9 项之和 S9 等于 ( C)A.66 B.144 C.99 D.297

4.各项都是正数的等比数列 ?an ? 的公比 q≠1,且 a2 ,

1 a ? a4 a3 , a1 成等差数列,则 3 为(A ) 2 a 4 ? a5
D.

A.

5 ?1 2

B.

5 ?1 2

C.

1? 5 2

5 ?1 5 ?1 或 2 2

5.设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 A. 2 B.

S6 S ? 3, 则 9 ? ( S3 S6
8 3
D.3

B )

7 3

C.

6.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项的和为 Sn ,且 S2 ? 10 , S5 ? 55 ,则过点 P(n, an ) 和 Q(n ? 2, an?2 )(n ? N ? ) 的直线的一个方向向量的坐标是 A. (2, ) ( B) C. ( ?

1 , ?1) D. (?1, ?1) 2 1 1 1 a c 7.设 a、b、c 为实数,3a、4b、5c 成等比数列,且 、 、 成等差数列,则 ? 的值为( C ) a b c c a 94 94 34 34 A. B. ? C. D. ? 15 15 15 15
B. ( ?

1 2

1 , ?2) 2

?2? 8. 已知数列 ?an ? 的通项 a n ? ? ? ?3?
A.最大项为 a1 , 最小项为 a3

n ?1

?? 2 ? n ?1 ? ?? ? ? 1?, 则下列表述正确的是 ?? 3 ? ? ? ?
B.最大项为 a1 , 最小项不存在 D.最大项为 a1 , 最小项为 a4

( A)

C.最大项不存在,最小项为 a3 的 n 是(B) A.21

9.已知 ?an ? 为等差数列, a1 + a3 + a5 =105, a2 ? a4 ? a6 =99.以 Sn 表示 ?an ? 的前 n 项和,则使得 Sn 达到最大值 B.20 C.19 D.18

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9.一系列椭圆都以一定直线 l 为准线,所有椭圆的中心都在定点 M,且点 M 到 l 的距离为 2,若这一系列椭 圆的离心率组成以


3 1 为首项, 为公比的等比数列, 而椭圆相应的长半轴长为 ai=(i=1, 2, …, n), 设 bn=2 4 3

(2n+1) ·3n 2·an,且 Cn= 大正整数为 A.3

m 1 ,Tn=C1+C2+…+Cn,若对任意 n∈N*,总有 Tn> 恒成立,则 m 的最 90 bn bn ?1
C .6 D.9

( B ) B.5

二、填空题:
10.已知等差数列 ?an ? 前 n 项和 Sn=-n2+2tn,当 n 仅当 n=7 时 Sn 最大,则 t 的取值范围是 (6.5,7.5) .
( n为奇数) ( n为偶数)

?n 11 . 数列 ?an ? 的通项公式是 a n ? ? ? n 2 ? ?2

,则数列的前 2m ( m 为正整数)项和是 2m+1+m2 -

2

.

12.已知数列 {an } 满足: a4n?3 ? 1, a4n?1 ? 0, a2n ? an , n ? N? , 则 a2009 ? ________;

a2014 =_________.
【答案】1,0 【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型. 依题意,得 a2009 ? a4?503?3 ? 1 , a2014 ? a2?1007 ? a1007 ? a4?252?1 ? 0 . ∴应填 1,0. 13.在数列 ?an ? 和 ? bn ? 中,bn 是 an 与 an+1 的等差中项,a1 = 2 且对任意 n ? N 都有
*

3an+1-an = 0,则数列{bn}的通项公式 14. 设 P1,P2,…Pn…顺次为函数 y ?

bn ?

4 3n

. 像上的点(如

1 ( x ? 0) 图 x

图) ,Q1,Q2,…Qn…顺次为 x 轴上的点,且
2

?OP 1Q1 , ?O1 P 2 Q2 ,??Qn ?1 P n Qn ,…,均为等
0

腰直解三角

形 (其中 Pn 为 直角 顶点 ) . 设 Qn 的坐标 为
7

0

( xn ,0)(0 ? N *) , 则数 列 {an} 的通 项公式为
0 3

xn ? 2 n n ? N *)

3

.

0

三、解答题:
15.已知 {an } 是等比数列,Sn 是其前 n 项的和,a1,a7,a4 成等差数列,求证:2S3,S6,S12-S6,成等比数 列.

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15. [解法 1]由已知 a1 ? a4 ? 2a7 , a1 ? a1q 3 ? 2a1q 6 ,?1 ? q 3 ? 2q 6 . ………………(2 分) 当 q ?1 时,2S3 (S12 ? S4 ) ? 2S3 (a7 ? a3 ?

? a12 ) ? 2S4 (a1q6 ? a2q6 ?

a6q6 ) ? 2S3S6q6

…………(4 分)

a1 (1 ? q 3 ) a1 (1 ? q 6 ) 2 ? (1 ? q )S 3 S 6 ? (1 ? q ) ? ? S6 ? ? S6 ? S6 . ………………(8 分) 1? q 1? q
3 8
2 当 q ?1 时, S3 ? 3a1 , S6 ? 6a1 , S12 ? S6 ? 6a1 ,同样有2S3 (S12 ? S6 ) ? S6 , ……(10 分)

所以, 2S 3 , S 6 , S12 ? S 6 成等比数列.………………………………………………(12 分) [解法 2]由已知 a1 ? a4 ? 2a7 , a1 ? a1q 3 ? 2a1q 6 ,?1 ? q 3 ? 2q 6 ,……………(2 分)
2 当 q ?1 时,2S 2 (S12 ? S 4 ) ? 2 ? 3a1 (12a3 ? a1 ) ? 36a3 ,
2 2 2 S6 ? (6a1 ) 2 ? 36a3 .? 2S 2 (S12 ? S6 ) ? S6 .? 2S 3 , S 6 , S12 ? S 6 成等比数列.…(6 分)

时, 当q ?1

S6 1 1? q6 1 1 ? ? ? (1 ? q 3 ) ? ? 2q 6 , …………………………(8 分) 3 2S 3 2 1 ? q 2 2

∴ 2S 3 , S 6 , S12 ? S 6 成等比数列.……………………………………………………(11 分) 综上, 2S 3 , S 6 , S12 ? S 6 成等比数列.………………………………………………(12 分) 16.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且对任意自然数 n 总有 S n ? p(an ? 1), ( p 为常数,且 。 p ? 0, p ? 1),数列 {bn }中有bn ? 2n ? q(q 为常数) (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 a1 ? b1 , a2 ? b2 求 p 的取值范围。 16.解: (1) a1 ? S1 ? p(a1 ? 1)解得a1 ?

p ( p ? 0, p ? 1) p ?1

当 n ? 2时,an ? S n ? S n?1 ? p(an ? an?1 )整理得( p ? 1)an ? pan?1 故

an p ? (n ? 2, n ? N ? , p ? 0, p ? 1) an?1 p ? 1 a p p , n ? p ? 1 an?1 p ? 1

…………4 分

由 a1 ?

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得 an ?

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p p n?1 p n ( ) ?( ) (n ? N ? ) ………………………………6 分 p ?1 p ?1 p ?1

? p ? p ?1 ? 2 ? q p 2 p ? (2)由已知得 ? 消去q并整理得( ) ? ?2?0 p ?1 p ?1 ?( p ) 2 ? 4 ? q ? ? p ?1
则 ?1 ? 有p? 又

p ?2 p ?1
………………………………9 分

1 或p ? 2 2

1 p ? 0,? p的取值范围为(??, 0) ? (0, ) ? (2, ??) ………………12 分 2

16.新星家俱厂开发了两种新型拳头产品,一种是模拟太空椅,一种是多功能办公桌.2005 年该厂生产的模拟太 空椅获利 48 万元,以后它又以上年利润的 1.25 倍的速度递增;而多功能办公桌在同年获利 75 万元,这 个利润是上年利润的

4 , 以后每年的利润均以此方式产生. 预期计划若干年后两产品利润之和达到 174 万 5

元. 从 2005 年起, (I)哪一年两产品获利之和最小? (II)至少经过几年即可达到或超过预期计划?

解:(?)设第n年太空椅获利 x n 万元,办公桌获利 y n 万元......( 1分)
16.

5 n ?1 4 则x n ? 48 ( ) ,y n ? 75( ) n ?1 .......... .......... .......... .......... .......... ..(3分) 4 5 5 n ?1 4 ? x n ? y n ? 48 ( ) ? 75( ) n ?1 ? 120 (当且仅当n ? 2时取“ ?”)(5分) 4 5
5 4 4 5 5 4

故第 2006 年两产品获利最小.……………………………………………………(6 分)
n ?1 n ?1 (II) 令x n ? y n ? 48 ( ) ? 75( ) n ?1 ? 174,又令 t ? ( ) , 则有

16t ?

25 ? 58, t 25 1 或t ? (舍) 8 2

?16t 2 ? 58t ? 25 ? 0 ? t ?

5 n ?1 25 ? ( ) ? .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........ (9分) 4 8 5 n ?1 625 25 5 n ?1 3125 25 当n ? 5时,( ) ? ? .、;当n ? 6时,( ) ? ? , 4 256 8 4 1024 8 5 n ?1 15625 25 当n ? 7时,( ) ? ? . 4 4096 8

故至少经过 7年即可超过预期计划 . …………………………………………(1 分)
17. ( 选 做 题 ) 已 知 函 数 f ( x) ? x ? 4 x ? 4 ( x ? 4) 的 反 函 数 为 f
?1

( x) , 数 列 {an} 满 足 : a1 = 1 ,

1 an?1 ? f ?1 (an ), (n ? N * ) ,数列 b1 , b2 ? b1 , b3 ? b2 ,?bn ? bn?1 是首项为 1,公比为 的等比数列. 3

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(Ⅰ)求证:数列 { an } 为等差数列; (Ⅱ)若 cn ? an ? bn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn.
2 0

17.解: (Ⅰ)? f ( x) ? x ? 4 x ? 4 ? ( x ? 2) 2 ( x ? 4) ,
0 7

? f ( x) ? ( x ? 2) ( x ? 0) ,…………………………………………2 分
2
0 2

?1

? an?1 ? f (an ) ? ( an ? 2) 2 ,即
2 6

?1

an?1 ? an ? 2(n ? N ). ………………………………………………4 分
*

∴数列 { an }是以 a1 ? 1 为首项,公差为 2 的等差数列 …………………………6 分 (Ⅱ)由(1)得: an ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1,即

an ? (2n ? 1) 2 (n ? N * ) ……………………………………………………8 分
n ?1 b1 = 1,当 n ? 2 时, bn ? bn ?1 ? ( ) ,

1 3

?bn ? b1 ? (b2 ? b1 ) ? (b3 ? b2 ) ? ? ? (bn ? bn?1 )
1 1 2 1 ? ( ) ? ? ? ( ) n ?1 3 3 3 3 1 ? (1 ? n ). 2 3 3 1 * 因而 bn ? (1 ? n ), n ? N . ……………………………………………………10 分 2 3 3 1 c n ? a n ? bn ? (2n ? 1) ? (1 ? n ), 2 3 3 1 3 5 2n ? 1 ? S n ? c1 ? c 2 ? ? ? c n ? [1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? ( ? 2 ? 2 ? ? ? n )] 2 3 3 3 3 1 3 2n ? 1 令 Tn ? ? 2 ? ? ? ① 3 3 3n 1 1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 ? n ?1 则 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ② 3 3 3 3 3n 3 ? 1?
①-②,得

2 1 1 1 1 2n ? 1 1 1 1 2n ? 1 Tn ? ? 2( 2 ? 2 ? ? ? n ) ? n ?1 ? ? (1 ? n ?1 ) ? n ?1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 n ?1 ? Tn ? 1 ? n . 又 1 + 3 + 5 + … +(2n-1)= n2, 3 3 2 n ?1 ? S n ? (n ? 1 ? n ). …………………………………………………………14 分 2 3

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(选做题)已知函数f ( x) ? 18.

x , x ? (0, ??),数列{an }满足a1 ? 1, an ?1 ? f (an ); 数 2x ? 1
.

1 1 列{bn }满足b1 ? , bn?1 ? , 其中sn为数列{bn }前n项和,n ? 1,2,3, 2 1 ? 2 f ( sn )
(1) 求数列 {an }和数列 {bn }的通项公式 ; (2) 设Tn ? 18.解:

1 1 1 ? ??? , 证明 : Tn ? 5. a1b1 a2 b2 an bn

? f ( x) ? ? a n ?1 ? 1

x , a n ?1 ? f (a n ), 2x ? 1 an ? . 2a n ? 1 ?

1 ? 2. a n ?1 a n 1 1 ?{ }以 ? 1为首项2为公差等差数列 . an a1
? 1 ? 1 ? (n ? 1) ? 2 an 1 . 2n ? 1 ??3分

? an ?

又 ? f ( x) ? ? bn ?1 ?

x 1 , bn ?1 ? , 2x ? 1 1 ? 2 f (sn )

1 ? 2 s n ? 1. 2s n 1? 2s n ? 1

? bn ? 2 ? 2s n ?1 ? 1. ? bn ? 2 ? bn ?1 ? 2( s n ?1 ? s n ). ? bn ? 2 ? 3bn ?1 . 1 , b2 ? 2s1 ? 1 ? 2, 2 ?{bn }从第二项起成等比数列 , 公比为3. ? b1 ? ?1 ? ,n ?1 bn ? ? 2 ?2 ? 3 n ? 2 , n ? 2 ? ?? 6分

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(2)证明 : 依题意 1 1 1 1 Tn ? 2 ? [3 ? 1 ? 5 ? ? 7 ? ( ) 2 ? ? ? (2n ? 1)( ) n ?2 ] 2 3 3 3 1 1 2 1 n?2 令An ? 3 ? 1 ? 5 ? ? 7 ? ( ) ? ? ? (2n ? 1) ? ( ) 3 3 3 1 1 1 1 1 1 An ? 3 ? ? 5 ? ( ) 2 ? 7 ? ( ) 3 ? ? ? (2n ? 3) ? ( ) n ?2 ? (2n ? 1) ? ( ) n ?1 3 3 3 3 3 3
2 1 1 1 1 1 ? An ? 3 ? 1 ? 2[ ? ( ) 2 ? ( ) 3 ? ? ( ) n ? 2 ] ? (2n ? 1) ? ( ) n ?1 3 3 3 3 3 3 1 1 [1 ? ( ) n ? 2 ] 1 3 ? 3? 2? 3 ? (2n ? 1)( ) n ?1 1 3 1? 3
3 1 3 1 ? An ? 6 ? ( ) n ? 2 ? ? ( 2n ? 1)( ) n ?1 ?? 9分 2 3 2 3 3 1 3 1 ? Tn ? 5 ? ? ( ) n ? 2 ? ? (2n ? 1)( ) n ?1 ? 5. ??12分 4 3 4 3
( 2009 天 津 卷 ) 已 知 等 差 数 列 ?an ? 的 公 差 为 d (d ? 0) , 等 比 数 列 ?bn ? 的 公 比 为 q(q ? 1) . 设

Sn ? a1b1 ? a2b2 ? ...... ? anbn , Tn ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? ? ? (?1) n?1 an bn , n ? N *
(Ⅰ)若 a1 ? b1 ? 1, d ? 2, q ? 3, 求 S3 的值;

2dq(1 ? q 2n ) (Ⅱ)若 b1 ? 1 ,证明: (1 ? q) S2 n ? (1 ? q)T2 n ? , n ? N* 2 1? q
( Ⅲ ) 若 正 整 数 n 满 足 2 ? n ? q , 设 k1 , k 2 , . . . 的 k,n和l 1 l ,2 , l .n.是 ., , ,, 1 2n. . . 两个不同的排列,

c1 ? ak1 b1 ? ak2 b2 ? ... ? akn bn , c2 ? al1 b1 ? al2 b2 ? ... ? aln bn 证明 c1 ? c2 。
本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前 n 项和公式等基础知识,考查运算能力, 推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力,满分 14 分。 (Ⅰ)解:由题设,可得 an ? 2n ?1, bn ? 3
n?1

, n ? N*

所以, S3 ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 1?1 ? 3? 3 ? 5 ? 9 ? 55 (Ⅱ)证明:由题设可得 bn ? q
n ?1

则 ①

S2n ? a1 ? a2q ? a3q2 ? ..... ? a2nq2n?1,
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T2n ? a1 ? a2q ? a3q2 ? a4q3 ? ..... ? a2n q2n?1 ,
①式减去②式,得

S2n ? T2n ? 2(a2q ? a4q3 ? ... ? a2nq2n?1 )
①式加上②式,得

S2n ? T2n ? 2(a1 ? a3q2 ? .... ? a2n?1q2n?2 )
③式两边同乘 q,得



q(S2n ? T2n ) ? 2(a1q ? a3q3 ? .... ? a2n?1q2n?1 )
所以,

(1 ? q)S2n ? (1 ? q)T2n ? (S2n ? T2n ) ? q(S2n ? T2n )

? 2d (q ? q3 ? K ? q 2 n?1 ) ? 2dq(1 ? q 2 n ) , n ? N* 1 ? q2

(Ⅲ)证明: c1 ? c2 ? (ak1 ? al1 )b1 ? (ak2 ? al2 )b2 ? K ? (akn ? aln )bn

? (k1 ? l1 )db1 ? (k2 ? l2 )db1q ? K ? (kn ? ln )db1qn?1
因为 d ? 0, b1 ? 0, 所以

c1 ? c2 ? (k1 ? l1 ) ? (k2 ? l2 )q ? K ? (kn ? ln )q n?1 db1
(1) 若 kn ? ln ,取 i=n (2) 若 kn ? ln ,取 i 满足 ki ? li 且 k j ? l j , i ? 1 ? j ? n 由(1),(2)及题设知, 1 ? i ? n 且

c1 ? c2 ? (k1 ? l1 ) ? (k2 ? l2 )q ? K (ki ?1 ? li ?1 )qi ?2 ? (ki ? li )qi ?1 db1
① 当 ki ? li 时,得 ki ? li ? ?1,由q ? n,得ki ? li ? q ? 1, i ? 1, 2,3.....i ? 1 即 k1 ? l1 ? q ? 1, (k2 ? l2 )q ? q(q ?1) …, (ki ?1 ? li ?1 )q 又 (ki ? li )q
i ?1 i ?2

? qi ?2 (q ?1)

? ?qi ?1, 所以

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c1 ? c2 1 ? qi ?1 ? (q ? 1) ? (q ? 1)q ? K (q ? 1)qi ?2 ? qi ?1 ? (q ? 1) db1 1? q
因此 c1 ? c2 ? 0,即c1 ? c2 ② 当 ki ? li 同理可得 综上, c1 ? c2

c1 ? c2 ? ?1 ,因此 c1 ? c2 db1

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