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人教版必修五含参不等式和恒成立问题(含答案)


含参不等式专题
一、一元二次不等式含参问题 含参不等式的解法:由于解含参数不等式的主要目的是求未知数的取值集合,而不是求参数的 范围,因此在分析含参数不等式时,把参数看成是常数,确定不等式的类型,按相应类型不等式的 解题方法进行转化;但在求解过程中要审视参数对不等式类型、同解变形、解的结构等是否有不确 定性影响,若有不确定性则进行分类讨论,否则不予讨论。 解含参数的一元二次不等式,通常情况下,均需分类讨论,对含参一元二次不等式常用的分类 方法有三种:
(1)按 x 项的系数 a 的符号分类,即 a ? 0, a ? 0, a ? 0 ;
2

二、一元二次不等式恒成立问题 1、不等式对任意实数恒成立,就是不等式的解集为 R,对于一元二次不等式 ax2+bx+c>0,

?a>0 ?a<0 它的解集为 R 的条件为? ; ax2+bx+c<0 的解集为 R 的条件为? ;ax2 ? bx ? c ? 0 ?Δ<0 ?Δ<0
的解集为 R 的条件为 ?

?a ? 0 ?a ? 0 ; ax2 ? bx ? c ? 0 的解集为 R 的条件为 ? . ?? ? 0 ?? ? 0

2、对于一般恒成立问题: 方法一:转化为函数的最值(或值域) (1) f ( x) ? m 对任意 x 都成立 ? f ( x) min ? m ; ( 2)

(2)按判别式 ? 的符号分类,即 ? ? 0, ? ? 0, ? ? 0 ; (3)按方程 ax ? bx ? c ? 0 的根 x1 , x 2 的大小来分类,即 x1 ? x2 , x1 ? x2 ;
2

例题 1:解 x 的不等式: (1) x ? ax ? 4 ? 0 。
2

(2) 2ax2 ? a ? 1 ? 0(a ? R)

f ( x) ? m 对任意 x 都成立 ? m ? f ( x) max 。简单计作: “大的大于最大的,小的小于最小的” 。
方法二:数形结合,如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时,可通过图 象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围. 方法三:分离参数,把要求的参变量分离出来,单独放在不等式的一侧,将另一侧看成新函数,于 是将问题转化成新函数的最值问题; (1)对于 取值范围内的任一个数都有 则 ; (2) 对于 取值范围内的任一个数都有
2

恒成立,

恒成立, 则

例题 2:解关于 x 的不等式: (1) ax ? (a ? 1) x ? 1 ? 0.
2

(2) kx ? (k ? 1) x ? 0(k ? R)
2

例题 1:若 y ? lg( x ? 5x ? b) 的定义域为 R,求 b 范围。

例题 3:解不等式(1) x ? (a ?
2

1 ) x ? 1 ? 0 (a ? 0) . a

(2)

ax ? 2 ?( 2 a ? R) x?2

例题 2:已知关于 x 的不等式 (a ? 2) x ? (a ? 2) x ? 1 ? 0 恒成立,试求 a 的取值范围.
2

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例题 3:已知 f ( x) ? x 2 ? ax ? 1 ,求使不等式 f ( x) ? 0 对任意 x ? [1,2] 恒成立的 a 的取值范围。

4、不等式 x 2 ? xp ? 1 ? p ? 2 x 对 x ? (1,??) 恒成立,求 p 的范围。

【巩固训练】
1、解不等式 x ? 5ax ? 6a ? 0
2 2

2、解关于 x 的不等式 x 2 ? (a ? 1) x ? a ? 0

5、已知函数 f ( x) ? ax ? 4 x ? x 2 , x ? (0,4] 时 f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。

3、解关于 x 的不等式: ax ? 2(a ? 1) x ? 4 ? 0
2

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含参不等式专题答案
三、一元二次不等式含参问题
例题 1:解:(1)当 a ? ?? 4,4?即 ? ? 0 ,解集 R ;当 a ? ?4 即Δ =0,解集 ? x x ? R且x ?

? ?

a? ?; 2?

?a ? 2 ?a ? 2 ?a ? 2 ? 0 即? 即 ? ? 2 ?2 ? a ? 6 ?(a ? 2)(a ? 6) ? 0 ?(a ? 2) ? 4(a ? 2) ? 0
综上:2 ? a ? 6 例题 3:解法 1:数形结合 结合函数 f ( x) 的草图可知 f ( x) ? 0, x ?[1,2] 时恒成立 ?

所以2 ? a ? 6

? a ? a ? 16 ? a ? a 2 ? 16 , x2 ? , 2 2 ? ? a ? a 2 ? 16 ? a ? a 2 ? 16 ? ? ? 显然 x1 ? x 2 , ∴不等式的解集为 ? x x ? 或x〈 ? 2 2 ? ? ? ?
当 a ? 4 或 a ? ?4 即 ? ? 0 ,此时两根分别为 x1 ?
2

? f (1) ? 2 ? a ? 0 5 5 得a ? 。所以 a 的取值范围是 ( ,?? ) 。 ? 2 2 ? f (2) ? 5 ? 2a ? 0
解法 2:转化为最值研究

? a ?1 a ?1 ? , (2)当 a ? 0 ,解集为 R;当 a ? ?1 ,解集为 ? ;当 ?1 ? a ? 0 ,解集 ? ? ? ? ?2a ?2a ? ? ?

1 或x ? 1 };当 a ? 0 时,解集为{ x x ? 1};当 0 ? a ? 1 a 1 1 ? x ? 1 }. 时,解集为{ x 1 ? x ? };当 a ? 1 时,解集为 ? ;当 a ? 1 时,解集为{ x a a 1? k , ??) ;当 k ? 1 ,解集是 (2)当 k ? 0 ,解集是 (??,0) ;当 0 ? k ? 1 ,解集是 ( ??,0) ? ( k 1? k 1? k (? ?, ) ? ( 0? , ? ) k ? 0 ,解集是 ( , 0) 。 ;当 k k 1? ? 例题 3:解: (1)当 a ? ?1 或 0 ? a ? 1 时,原不等式的解集为 ? x | a ? x ? ? ; a? ? ? 1 ? 当 a ? 1 或 a ? ?1 时,可得其解集为 ? ;当 ? 1 ? a ? 0 或 a ? 1 时, 解集为 ? x | ? x ? a ? 。 ? a ? 2 2 ? ; 当1<a ? 2时, {x | ?2 ? x ? } ; 当a ? 1时, {x | ? x ? ?2} ; (2) 当a ? 1时, a?2 a?2 2 {x | x ? ?2, x ? }。 ; 当a ? 2时, {x | x? ? 2 } 当a ? 2时, a?2
例题 2:解: (1)当 a ? 0 时,解集为{ x x ?

a a2 f ( x) ? ( x ? ) 2 ? 1 ? 2 4
a 3 ? 即a ? 3时, f ( x)在[1,2] 上的最大值 2 2 5 5 f ( x) max ? f (2) ? 5 ? 2a ? 0, 得a ? , 所以 ? a ? 3 。 2 2 a 3 ②当 ? 即a ? 3时, f ( x)在[1,2]上的最大值 f ( x) max ? f (1) ? 2 ? a ? 0 ,得 a ? 2 ,所以 a ? 3 。 2 2 5 综上: a 的取值范围是 ( ,?? ) 。 2 注:1. 此处是对参数 a 进行分类讨论,每一类中求得的 a 的范围均合题意,故对每一类中所求得的 a 的范围求并集。
① 当 2. f ( x) ? m, x ? I 恒成立 ? f ( x) max ? m(m为常数) ;

f ( x) ? m, x ? I恒成立 ? f ( x)min ? m(m为常数)
解法 3:分离参数

四、一元二次不等式恒成立问题
2 例题 1:解:? y ? lg( x ? 5x ? b) 的定义域为 R, 即x ? 5x ? b ? 0恒成立
2

1 1 x 2 ? ax ? 1 ? 0, x ? [1,2] ? a ? x ? , x ? [1,2] 。设 g ( x) ? x ? ,? a ? g ( x) max , x x 5 5 当 x ? [1,2] 时 g ( x ) max ? g ( 2) ? ,所以 a 的取值范围是 ( ,?? ) 。 2 2
注:1. 运用此法最终仍归结为求函数 g ( x) 的最值,但由于将参数 a 与变量 x 分离,因此在求最值 时避免了分类讨论,使问题相对简化。 2. 本题若将“ x ? [1,2] ”改为“ x ? (1,2) ”可类似上述三种方法完成。

? 一元二次不等式 x 2 ? 5 x ? b ? 0 的解集为 R.
? ? ? 0, 即52 ? 4b ? 0 ? b ? (?? ,? 25 ) 4

例题 2:解:由题意知: ①当 a ? 2 ? 0 ,即 a ? 2 时,不等式化为 1 ? 0 ,它恒成立,满足条件. ②当 a ? 2 ? 0 ,即 a ? 2 时,原题等价于
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【巩固训练】 1、解:因式分解,得: ( x ? 3a)(x ? 2a) ? 0 ,方程 ( x ? 3a)(x ? 2a) ? 0 的两根为 ? 3a,?2a ①当 ? 3a ? ?2a 即 a ? 0 时,解集为:{ x ︱ x ? ?3a 或 x ? ?2a }; ②当 ? 3a ? ?2a 即 a ? 0 时,解集为:{ x ︱ x ? R 且 x ? 0 }; ③当 ? 3a ? ?2a 即 a ? 0 时,解集为:{ x ︱ x ? ?2a 或 x ? ?3a }. 综上, ① a ? 0 时,解集为:{ x ︱ x ? ?3a 或 x ? ?2a };② a ? 0 时,解集为:{ x ︱ x ? R 且 x ? 0 }; ③ a ? 0 时,解集为:{ x ︱ x ? ?2a 或 x ? ?3a }.

5、解: f ( x) ? 0 即 ax ? 4x ? x 2 ? 0 ,? x ? (0,4] 不等式可转化为 a ?

4x ? x 2 对 x ? (0,4] 恒成立,令 g ( x) ? x

4x ? x 2 ,则 a ? g ( x) min x

由 g ( x) ?

4x ? x 2 ? x

4 ? 1 可知 g ( x) 在 (0,4] 上为减函数,故 g ( x) min ? g (4) ? 0 x

2、解:? ? (a ? 1) ? 4a ? (a ? 1)
2 2

∴ a ? 0 即 a 的取值范围为 (??,0) 。

( 1)当a ? 1时,? ? 0, 原不等式为x 2 ? 2 x ? 1 ? 0, 解集为{x x ? 1} (2)当a ? 1时, ? ? 0, ①当a ? 1时, 原不等式解集为 {x x ? a或x ? 1} ②当a ? 1时, 原不等式解集为 {x x ? 1或x ? a}
3、解:∵ ax2 ? 2(a ? 1) x ? 4 ? 0 ∴①当 a ? 0 时, x ? 2 ; ② a ? 0 时,原不等式变为 (ax ? 2)(x ? 2) ? 0 ; ③ a ? 0 时, ∴ (ax ? 2)( x ? 2) ? 0

2 ? x?2; a 2 ; a

④ 0 ? a ≤1 时, x ? 2 ,或 x ? ⑤ a ? 1 时, x ?

2 或x ? 2. a
2

注意:该分类讨论就分类讨论! 4、解:原不等式可转化为 x ? ( p ? 2) x ? 1 ? p ? 0 对 x ? (1,??) 恒成立。
2 ①当 ? ? ( p ? 2) ? 4(1 ? p) ? 0 时,即 ? 8 ? p ? 0 时,对一切 x ? (0,??) , f ( x) ? 0 恒成立;

②当 ? ? ( p ? 2) ? 4(1 ? p) ? 0 时
2

? ? ??0 ? ,解得 p ? 0 ; ? f (1) ? 0 ? p?2 ? ?1 ? 2 ?

综上, p 的范围为 p ? (?8,??) 。 (你还有其他方法吗?)

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