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1.2.1排列的概念


1. 2.1 排列的概念
【教学目标】
1.了解排列、排列数的定义;掌握排列数公式及推导方法; 2. 能用“树形图”写出一个排列问题的所有的排列,并能运用排列数公式进行计算。 3.通过实例分析过程体验数学知识的形成和发展,总结数学规律,培养学习兴趣。

【教学重难点】
教学重点:排列的定义、排列数公式及其应用 教学难点:排列数公式的推导

【教学过程】
合作探究一: 排列的定义 我们看下面的问题 (1)从红球、黄球、白球三个小球中任取两个,分别放入甲、乙盒子里 (2)从 10 名学生中选 2 名学生做正副班长; (3)从 10 名学生中选 2 名学生干部; 上述问题中哪个是排列问题?为什么? 概念形成 1、元素:我们把问题中被取的对象叫做元素 2、排列:从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素(这里的被取元素各不相同) 按照一定的顺序 排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 。 ..... .... 说明: (1)排列的定义包括两个方面:①取出元素,②按一定的顺序排列(与位置有 关) (2)两个排列相同的条件:①元素完全相同,②元素的排列顺序也相同 合作探究二 排列数的定义及公式
m 个元素中取出 m 元素的排列数,用符号 An 表示
王新敞
奎屯 新疆

3、排列数:从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素 的所有排列的个数叫做从 n
王新敞
奎屯 新疆

议一议:“排列”和“排列数”有什么区别和联系? 4、排列数公式推导 探究:从 n 个不同元素中取出 2 个元素的排列数 An 是多少? An 呢? An 呢?
m An ? n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) ( m, n ? N ? , m ? n )
2 3 m

说明:公式特征: (1)第一个因数是 n ,后面每一个因数比它前面一个少 1,最后一个 因数是 n ? m ? 1 ,共有 m 个因数; (2) m, n ? N , m ? n 即学即练:
4 2 5 3 1.计算 (1) A10 ; (2) A5 ;(3) A5 ? A3 m 2.已知 A 10 ? 10 ? 9 ?
?

? 5 ,那么 m ?

1

3.k ? N? , 且 k ? 40, 则 (50 ? k )(51 ? k )(52 ? k )
50? k A . A79 ?k 29 B . A79 ?k 30 C . A79 ?k

(79 ? k ) 用排列数符号表示为(

)

30 D . A50 ?k

答案:1、5040、20、20;2、6;3、C 例 1. 计算从 a, b, c 这三个元素中,取出 3 个元素的排列数,并写出所有的排列。 解析: (1)利用好树状图,确保不重不漏; (2)注意最后列举。 解:略 点评:在写出所要求的排列时,可采用树状图或框图一一列出,一定保证不重不漏。 变式训练:由数字 1,2,3,4 可以组成多少个没有重复数字的三位数?并写出所有的 排列。 5 、全排列:n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n 个不同元素的全排列。 此时在排列数公式中, m = n
n 全排列数: An ? n(n ?1)(n ? 2)

2 ?1 ? n!(叫做 n 的阶乘).
(2) A4
4

3 即学即练:口答(用阶乘表示) : (1) 4 A3

(3) n ? (n ? 1)!

2 5 3 想一想:由前面联系中( 2 ) ( 3 )的结果我们看到, A5 和 A5 有怎样的关系? ? A3

那么,这个结果有没有一般性呢? 排列数公式的另一种形式:
m An ?

n! (n ? m)!

另外,我们规定 0! =1 . 想一想:排列数公式的两种不同形式,在应用中应该怎样选择?
m m?1 m 例 2.求证: An ? mA ? An n ?1 .

解析:计算时,既要考虑排列数公式,又要考虑各排列数之间的关系;先化简,以减少 运算量。 解: 左边=

n! m ? n! (n - m ? 1 )n! ? m ? n! (n ? 1)! ? ? ? ? Am n ?1 ? 右边 (n ? m)!(n ? m ? 1)! (n ? m ? 1 )! (n ? m ? 1 )!
点评:(1)熟记两个公式; (2)掌握两个公式的用途;(3)注意公式的逆用。 思考:你能用计数原理直接解释例 2 中的等式吗?(提示:可就所取的 m 个元素分类, 分含某个元素 a 和不含元素 a 两类) 变式训练:已知
7 5 An ? An (n=15) ? 89 ,求 n 的值。 5 An

归纳总结:1、顺序是排列的特征;2、两个排列数公式的用途:乘积形式多用于计算,

2

阶乘形式多用于化简或证明。

【当堂检测】 n! 1.若 x ? ,则 x ? 3!
3 ( A) An

( )
n?3 ( B ) An

(C ) A3n
( )

3 ( D) An ?3

5 3 2.若 Am ,则 m 的值为 ? 2 Am

( A) 5

(B) 3


(C ) 6

( D) 7

2 3. 已知 An ? 56 ,那么 n ?

4.一个火车站有 8 股岔道,停放 4 列不同的火车,有多少种不同的停放方法(假定每股 岔道只能停放 1 列火车)? 答案:1、B;2、A;3、8;4、1680。

3

1.2.1 排列的概念
课前预习学案
一、预习目标 预习排列的定义和排列数公式,了解排列数公式的推导过程,能应用排列数公式计算、 化简、求值。 二、预习内容 1.一般的, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。 2. 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,用符号 表示。 3.排列数公式 A m n ? 4.全排列: An n? 。 ; 。

课内探究学案
一、学习目标 1.了解排列、排列数的定义;掌握排列数公式及推导方法; 2. 能用“树形图”写出一个排列问题的所有的排列,并能运用排列数公式进行计算。 3.通过实例分析过程体验数学知识的形成和发展,总结数学规律,培养学习兴趣。 学习重难点: 教学重点:排列的定义、排列数公式及其应用 教学难点:排列数公式的推导 二、学习过程 合作探究一: 排列的定义 问题 (1)从红球、黄球、白球三个小球中任取两个,分别放入甲、乙盒子里 (2)从 10 名学生中选 2 名学生做正副班长; (3)从 10 名学生中选 2 名学生干部; 上述问题中哪个是排列问题?为什么? 概念形成 1、元素: 。 2、排列:从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素(这里的被取元素各不相同) 按照一定的 排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 。 ... .... 说明: (1)排列的定义包括两个方面:① 有关) (2)两个排列相同的条件:①元素 合作探究二 排列数的定义及公式 ②按一定的 ,②元素的排列 排列(与位置 也相同

王新敞
奎屯

新疆

3、排列数:从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素的所有排列的个数叫做从 n

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个元素中取出 m 元素的排列数,用符号 表示 议一议:“排列”和“排列数”有什么区别和联系?
王新敞
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4、排列数公式推导
2 3 m 探究:从 n 个不同元素中取出 2 个元素的排列数 An 是多少? An 呢? An 呢?

m An ? n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) ( m, n ? N ? , m ? n )

说明:公式特征: (1)第一个因数是 n ,后面每一个因数比它前面一个少 1,最后一个 因数是 n ? m ? 1 ,共有 m 个因数; (2) m, n ? N ? , m ? n 即学即练:
4 2 5 3 1.计算 (1) A10 ; (2) A5 ;(3) A5 ? A3 m 2.已知 A 10 ? 10 ? 9 ?

? 5 ,那么 m ?
(79 ? k ) 用排列数符号表示为(
)

3.k ? N? , 且 k ? 40, 则 (50 ? k )(51 ? k )(52 ? k )
50? k A . A79 ?k 29 B . A79 ?k 30 C . A79 ?k

30 D . A50 ?k

答案:1、5040、20、20;2、6;3、C 例 1. 计算从 a, b, c 这三个元素中,取出 3 个元素的排列数,并写出所有的排列。 解析: (1)利用好树状图,确保不重不漏; (2)注意最后列举。 解: 总结: 变式训练:由数字 1,2,3,4 可以组成多少个没有重复数字的三位数?并写出所有的 排列。 5 、全排列:n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n 个不同元素的 。 此时在排列数公式中, m = n
n 全排列数: An ? n(n ?1)(n ? 2)

2 ?1 ? n!(叫做 n 的阶乘).

2 5 3 想一想:由前面联系中( 2 ) ( 3 )的结果我们看到, A5 和 A5 有怎样的关系? ? A3

那么,这个结果有没有一般性呢? 排列数公式的另一种形式:
m An ?

n! (n ? m)!

另外,我们规定 0! =1 . 想一想:排列数公式的两种不同形式,在应用中应该怎样选择?
m m?1 m 例 2.求证: An ? mA ? An n ?1 .

解析:计算时,既要考虑排列数公式,又要考虑各排列数之间的关系;先化简,以减少

5

运算量。 解: 点评:(1)熟记两个公式; (2)掌握两个公式的用途;(3)注意公式的逆用。 思考:你能用计数原理直接解释例 2 中的等式吗?(提示:可就所取的 m 个元素分类, 分含某个元素 a 和不含元素 a 两类)
7 5 An ? An 变式训练:已知 (n=15) ? 89 ,求 n 的值。 5 An

三、反思总结 1、 是排列的特征;2、两个排列数公式的用途:乘积形式多用于 乘形式多用于 或 。 四、当堂检测 1.若 x ?
3 ( A) An

,阶

n! ,则 x ? 3!

( )
n?3 ( B ) An

(C ) A3n

3 ( D) An ?3

5 3 2.若 Am ,则 m 的值为 ( ) ? 2 Am

( A) 5

(B) 3


(C ) 6

( D) 7

2 3. 已知 An ? 56 ,那么 n ?

4.一个火车站有 8 股岔道,停放 4 列不同的火车,有多少种不同的停放方法(假定每股 岔道只能停放 1 列火车)? 答案:1、B;2、A;3、8;4、1680。

课后练习与提高
m 1.下列各式中与排列数 An 相等的是( )
m nAn n! 1 m?1 ?1 (B)n(n-1)(n-2)??(n-m) (C) (D) An An?1 n ? m ?1 (n ? m ? 1)!

(A)

2.若 n∈N 且 n<20,则(27-n)(28-n)??(34-n)等于( )
8 (A) A27 ?n 1 27 ? n (B) A34 ?n 2 3 7 (C) A34 ?n 8 (D) A34 ?n

3.若 S= A 1 ?A 2 ?A 3 ? (A)0
2

100 ,则 S 的个位数字是( ) ? A100

(B)3
2

(C)5

(D)8 。

4.已知 A n ? 6A n-5 ,则 n= 5.计算
5 4 2A 8 ? 7A 8 ? 5 A8 8 ? A9



6

6.解不等式:2<

?1 An n ?1 ? 42 ?1 An n ?1

1.D 2.D 3.C 4. 9 5. 1. 6、{n|2≤n≤6}

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1.2.2 排列应用题
【教学目标】
1. 进一步理解排列的意义,并能用排列数公式进行运算; 2. 能用所学的排列知识和具体方法正确解决简单的实际问题。 3.通过实例分析过程体验数学知识的形成和发展,总结数学规律,培养学习兴趣。

【教学重难点】
教学重点:排列应用题常用的方法:直接法(包括特殊元素处理法、特殊位置处理法、捆绑 法、插空法) ,间接法 教学难点:排列数公式的理解与运用

【教学过程】
情境设计 从 1~9 这九个数字中选出三个组成一个三位数,则这样的三位数的个数是多少? 新知教学 排列数公式的应用: 例 1、(1)某足球联赛共有 12 支队伍参加,每队都要与其他队在主、客场分别比赛一场, 共要进行多少场比赛? 解:见书本 16 页例 6 变式训练: (1)放假了, 某宿舍的四名同学相约互发一封电子邮件, 则他们共发了多少封电子邮件? (2) 放假 了,某宿舍的四名同学相约互通一次电话,共打了多少次电话? 例 2、 (1) 从 5 本不同的书中选 3 本送给 3 名同学, 每人 1 本, 共有多少种不同的送法? (2)从 5 种不同的书中买 3 本送给 3 名同学,每人各 1 本,共有多少种不同的送 法? 解:见书本 16 页例 3 例 3、用 0 到 9 这 10 个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数? 解:见书本 19 页例 4 点评 :解答元素“在”与“不在”某一位置问题的思路是:优先安置受限制的元素, 然后再考虑一般对象的安置问题’,常用方法如下: 1)从特殊元素出发,事件分类完成,用分类计数原理. 2)从特殊位置出发,事件分步完成,用分步计数原理. 3)从“对立事件”出发,用减法. 4)若要求某n个元素相邻,可采用“捆绑法”,所谓“捆绑法”就是首先将要求排 在相邻位置上的元素看成一个整体同其它元素一同排列,然后再考虑这个整体内部元素 的排列。 5)若要求某 n 个元素间隔,常采用“插空法”。所谓插空法就是首先安排一般元素, 然后再将受限制元素插人到允许的位置上. 变式训练: 有四位司机、四个售票员组成四个小组,每组有一位司机和一位售票员,则 不同的分组方案共有( )
8 (A) A8 种 4 (B) A8 种 4 4 (C) A4 · A4 种 4 (D) A4 种

答案:D

8

例 4、三个女生和五个男生排成一排. (1)如果女生必须全排在一起,有多少种不同的排法? (2)如果女生必须全分开,有多少种不同的排法? (3)如果两端都不能排女生,有多少种不同的排法? (4)如果两端不能都排女生,有多少种不同的排法? (5)如果三个女生站在前排,五个男生站在后排,有多少种不同的排法? 答案:(1) 4320;(2) 14400;(3) 14400;(4) 36000;(5) 720 点评: 1)若要求某n个元素相邻,可采用“捆绑法”,所谓“捆绑法”就是首先将要求排 在相邻位置上的元素看成一个整体同其它元素一同排列,然后再考虑这个整体内部元素 的排列。 2)若要求某 n 个元素间隔,常采用“插空法”。所谓插空法就是首先安排一般元素, 然后再将受限制元素插人到允许的位置上. 变式训练: 1、6 个人站一排,甲不在排头,共有 种不同排法. 2.6 个人站一排,甲不在排头,乙不在排尾,共有 种不同排法. 答案:1.600 2.504 归纳总结: 1、解有关排列的应用题时,先将问题归结为排列问题,然后确定原有元素和取出元素 的个数,即 n、m 的值. 2、解决相邻问题通常用捆绑的办法;不相邻问题通常用插入的办法. 3、解有条件限制的排列问题思路:①正确选择原理;②处理好特殊元素和特殊位置, 先让特殊元素占位, 或特殊位置选元素; ③再考虑其余元素或其余位置; ④数字的排列问题, 0 不能排在首位 4、 判断是否是排列问题关键在于取出的元素是否与顺序有关, 若与顺序有关则是排列, 否则不是. 5、由于解排列应用题往往难以验证结果的正确性,所以一般应考虑用一种方法计算结 果,用另一种方法检查核对,辨别正误.

【当堂检测】
1.用 1,2,3,4,5 这五个数字组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有( ) (A)24 个 (B)30 个 (C)40 个 (D)60 个 2.甲、乙、丙、丁四种不同的种子,在三块不同土地上试种,其中种子甲必须试种,那么 不同的试种方法共有( ) (A)12 种 (B)18 种 (C)24 种 (D)96 种 3.某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课,其中体育不排在第一节,那么这天上 午课程表的不同排法共有( ) (A)6 种 (B)9 种 (C)18 种 (D)24 种 4.五男二女排成一排,若男生甲必须排在排头或排尾,二女必须排在一起,不同的排法共 有 种. 答案:1、A;2、B;3、C;4、480。

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1.2.2 排列应用题
课前预习学案
一、预习目标 预习排列应用题的类型,了解排列应用题的思考原则和具体方法,能解较简单的排列 应用题 二、预习内容 例 1、(1)某足球联赛共有 12 支队伍参加,每队都要与其他队在主、客场分别比赛一场, 共要进行多少场比赛? 解: 例 2、 (1) 从 5 本不同的书中选 3 本送给 3 名同学, 每人 1 本, 共有多少种不同的送法? (2)从 5 种不同的书中买 3 本送给 3 名同学,每人各 1 本,共有多少种不同的送 法? 解: 例 3、用 0 到 9 这 10 个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数?

课内探究学案
一、学习目标 1. 进一步理解排列的意义,并能用排列数公式进行运算; 2. 能用所学的排列知识和具体方法正确解决简单的实际问题。 3、通过实例分析过程体验数学知识的形成和发展,总结数学规律,培养学习兴趣。 学习重难点: 学习重点:排列应用题常用的方法:直接法(包括特殊元素处理法、特殊位置处理法、捆绑 法、插空法) ,间接法 学习难点:排列数公式的理解与运用 二、学习过程 情境设计 从 1~9 这九个数字中选出三个组成一个三位数,则这样的三位数的个数是多少? 新知教学 排列数公式的应用: 例 1、(1)某足球联赛共有 12 支队伍参加,每队都要与其他队在主、客场分别比赛一场, 共要进行多少场比赛? 解: 变式训练: (1)放假了, 某宿舍的四名同学相约互发一封电子邮件, 则他们共发了多少封电子邮件? (2) 放假了,某宿舍的四名同学相约互通一次电话,共打了多少次电话? 答案: (1)12; (2)6 例 2、 (1) 从 5 本不同的书中选 3 本送给 3 名同学, 每人 1 本, 共有多少种不同的送法? (2)从 5 种不同的书中买 3 本送给 3 名同学,每人各 1 本,共有多少种不同的送 法? 解: 例 3、用 0 到 9 这 10 个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数? 解:

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点评 :解答元素“在”与“不在”某一位置问题的思路是:优先安置受限制的元素,然后 再考虑一般对象的安置问题’,常用方法如下: 1)从特殊元素出发,事件分类完成,用分类计数原理. 2)从特殊位置出发,事件分步完成,用分步计数原理. 3)从“对立事件”出发,用减法. 4)若要求某n个元素相邻,可采用“捆绑法”,所谓“捆绑法”就是首先将要求排 在相邻位置上的元素看成一个整体同其它元素一同排列,然后再考虑这个整体内部元素 的排列。 5)若要求某 n 个元素间隔,常采用“插空法”。所谓插空法就是首先安排一般元素, 然后再将受限制元素插人到允许的位置上. 变式训练: 有四位司机、四个售票员组成四个小组,每组有一位司机和一位售票员,则 不同的分组方案共有( )
8 (A) A8 种 4 (B) A8 种 4 4 (C) A4 · A4 种 4 (D) A4 种

答案:D 例 4、三个女生和五个男生排成一排. (1)如果女生必须全排在一起,有多少种不同的排法? (2)如果女生必须全分开,有多少种不同的排法? (3)如果两端都不能排女生,有多少种不同的排法? (4)如果两端不能都排女生,有多少种不同的排法? (5)如果三个女生站在前排,五个男生站在后排,有多少种不同的排法? 解: 答案:(1) 4320;(2) 14400;(3) 14400;(4) 36000;(5) 720 点评: 1)若要求某n个元素相邻,可采用“捆绑法”,所谓“捆绑法”就是首先将要求排 在相邻位置上的元素看成一个整体同其它元素一同排列,然后再考虑这个整体内部元素 的排列。 2)若要求某 n 个元素间隔,常采用“插空法”。所谓插空法就是首先安排一般元素, 然后再将受限制元素插人到允许的位置上. 变式训练: 1、6 个人站一排,甲不在排头,共有 种不同排法. 2.6 个人站一排,甲不在排头,乙不在排尾,共有 种不同排法. 答案:1.600 2.504 归纳总结: 1、解有关排列的应用题时,先将问题归结为排列问题,然后确定原有元素和取出元素 的个数,即 n、m 的值. 2、解决相邻问题通常用捆绑的办法;不相邻问题通常用插入的办法. 3、解有条件限制的排列问题思路:①正确选择原理;②处理好特殊元素和特殊位置, 先让特殊元素占位, 或特殊位置选元素; ③再考虑其余元素或其余位置; ④数字的排列问题, 0 不能排在首位 4、 判断是否是排列问题关键在于取出的元素是否与顺序有关, 若与顺序有关则是排列,

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否则不是. 5、由于解排列应用题往往难以验证结果的正确性,所以一般应考虑用一种方法计算结 果 ,用另一种方法检查核对,辨别正误.

【当堂检测】
1.用 1,2,3,4,5 这五个数字组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有( ) (A)24 个 (B)30 个 (C)40 个 (D)60 个 2.甲、乙、丙、丁四种不同的种子,在三块不同土地上试种,其中种子甲必须试种,那么 不同的试种方法共有( ) (A)12 种 (B)18 种 (C)24 种 (D)96 种 3.某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课,其中体育不排在第一节,那么这天上 午课程表的不同排法共有( ) (A)6 种 (B)9 种 (C)18 种 (D)24 种 4.五男二女排成一排,若男生甲必须排在排头或排尾,二 女必须排在一起,不同的排法共 有 种. 答案:1、A;2、B;3、C;4、480。

课后练习与提高
1.由0,l,2,3,4,5这六个数字组成的无重复数字的三位数中,奇数个数与偶数个 数之比为 ( )(A) l:l (B)2:3 (C) 12:13 (D) 21:23 2.由0,l,2,3,4这五个数字组成无重复数字的五位数中,从小到大排列第86个数是 ( ) (A)42031 (B)42103 (C)42130 (D)43021 3.若直线方程AX十By=0的系数A、B可以从o, 1,2,3,6,7六个数中取不同的数值, 则这些方程所表示的直线条数是 ( )
2 (A) A5 一2 2 B) A5 2 (C) A5 +2 2 1 (D) A5 -2 A5

4.从 a,b,c,d,e 这五个元素中任取四个排成一列,b 不排在第二的不同排法有
1 3 A A4 A5 1 2 B A3 A3 4 C A5

()

D A4 A4

1

3

5.从 4 种蔬菜品种中选出 3 种,分别种在不同土质的 3 块土地上进行实验,有 24 种不 同的种植方法。 6.9 位同学排成三排,每排 3 人,其中甲不站在前排,乙不站在后排,这样的排法种数共 有 166320 种。 7、某产品的加工需要经过 5 道工序, (1)如果其中某一工序不能放在最后加工,有多少种排列加工顺序的方法? (2) 如果其中某两工序不能放在最前, 也不能放在最后, 有多少种排列加工顺序的方法? 答案:1.C 2.A 3.B 4. D 5.24. 6、166320;7、⑴96; ⑵36。

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1.2.3 组合
【教学目标】 : (1)理解组合的定义,掌握组合数的计算公式 (2)正确认识组合与排列的区别与联系 (3)会解决一些简单的组合问题 【教学重难点】 :掌握组合定义及与排列的区别,会计算组合数 【教学过程】 : 情景导入 问题一:从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某天的一项活动,其中 1 名同学参加上午 的活动,1 名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法? 问题二:从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某天一项活动,有多少种不同的选法? 检查预习 合作探究 合作探究: 探究 1:组合的定义? 一般地,从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合. 探究 2:排列与组合的概念有什么共同点与不同点? 不同点: 排列与元素的顺序有关, 而组合则与元素的顺序无关. 共同点: 都要“从 n 个不同元素中任取 m 个元素” 问题三:判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1)设集合 A={a,b,c,d,e},则集合 A 的含有 3 个元素的子集有多少个? (2)某铁路线上有 5 个车站,则这条铁路线上共需准备多少种车票? 组合是选择的结果,排列是选择后再排序的结果. 探究 3:写出从 a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合 abc , abd , acd ,bcd 每一个组合又能对应几个排列? 交流展示 精讲精练 例 1 判断下列问题是排列问题还是组合问题? (1)a、b、c、d 四支足球队之间进行单循环比赛,共需要多少场比赛? (2)a、b、c、d 四支足球队争夺冠亚军,有多少场不同的比赛? 变式训练 1 已知 ABCDE 五个元素,写出取出 3 个元素的所有组合 例 2 计算下列各式的值
96 97 (1) C99 ? C99 38?n 3n (2) C3 ? Cn n ?21 x ?7 2 变式训练 2 (1)解方程 3C x ?3 ? 5 Ax ?4

(2)已知

1 1 7 m ? m ? 求C 8 m m C5 C6 10C7

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反馈测评 1、判断下列语句是排列问题还是组合问题 (1)某人射击 8 次,命中 4 枪,且命中的 4 枪均为 2 枪连中,不同的结果有多少种? (2)某人射击 8 次,命中 4 枪,且命中的 4 枪均为 3 枪连中,不同的结果有多少种?
2 3 2 2、计算 C8 ?C 8 ?C9 ?(

) D480 )

A120

B240

C60

2 3、已知 C n =10,则 n=(

A10

B5

C3

D2

3 4 4、如果 Am ,则 m=( ) ? 6Cm

A6 B7

C8

D9

1、给出下面几个问题,其中是组合问题的有( ) ①由 1,2,3,4 构成的 2 个元素的集合 ②五个队进行单循环比赛的分组情况 ③由 1,2,3 组成两位数的不同方法数④由 1,2,3 组成无重复数字的两位数 A①③ B②④ C①② D①②④
r ?1 17 ?r 2、 C10 的不同值有( ? C10



A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 3、已知集合 A={1,2,3,4,5,6},B={1,2},若集合 M 满足 B ? M ? A,则这样的集合 M 共有 ( ) A12 个 B13 个 C14 个 D15 个 4、已知
m ?1 Cn C m C m?1 ? n ? n , 则m与n的值为 2 3 4

?2 x ?1 5、若 x 满足 2C x x ?1 ? 3C x ?1 ,则 x= 5 n?1 2 6、已知 20Cn ?5 ? 4(n ? 4)Cn?3 ? 15An?3 , 求n的值

参考答案:1C 2B 3C 6 n=2 【板书设计】 :略。 【作业布置】 :略。

4 m=14,n=34 5 2,3,4,5,

14

1.2.3 组合与组合数公式 课前预习学案
一、预习目标 预习: (1)理解组合的定义,掌握组合数的计算公式 (2)正确认识组合与排列的区别与联系 (3)会解决一些简单的组合问题 二、预习内容 1.组合的定义: 2.组合与排列的区别与联系 (1)共同点 。 (2)不同点 。 3.组合数
m = An

=

=

4.归纳提升 (1)区分组合与排列 (2)组合数计算问题

课内探究学案
一、学习目标 (1)理解组合的定义,掌握组合数的计算公式 (2)正确认识组合与排列的区别与联系 (3)会解决一些简单的组合问题 学习重难点:组合与排列的区分 二、学习过程 问题探究情境 问题一:从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某天的一项活动,其中 1 名同学参加上午 的活动,1 名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法? 问题二:从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某天一项活动,有多少种不同的选法? 合作探究: 探究 1:组合的定义? 一般地,从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合. 探究 2:排列与组合的概念有什么共同点与不同点? 不同点: 排列与元素的顺序有关, 而组合则与元素的顺序无关. 共同点: 都要“从 n 个不同元素中任取 m 个元素” 问题三:判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1)设集合 A={a,b,c,d,e},则集合 A 的含有 3 个元素的子集有多少个? (2)某铁路线上有 5 个车站,则这条铁路线上共需准备多少种车票?

15

组合是选择的结果,排列是选择后再排序的结果. 探究 3:写出从 a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合 abc , abd , acd ,bcd 每一个组合又能对应几个排列?

组合 abc abd acd bcd abc

排列 bac cab abd acb dab cba acd adb dac dba bcd adc dbc dca bdc cdb
=

bad bca cad bda cbd cda

问题四:你能得出组合数的计算公式吗?
m = Cn

=

dcb

规定: 典例分析 例 1 判断下列问题是排列问题还是组合问题? (1)a、b、c、d 四支足球队之间进行单循环比赛,共需要多少场比赛? (2)a、b、c、d 四支足球队争夺冠亚军,有多少场不同的比赛? 变式训练 1 已知 ABCDE 五个元素,写出取出 3 个元素的所有组合 例 2 计算下列各式的值
96 97 (1) C99 ? C99 38?n 3n (2) C3 ? Cn n ?21 x ?7 2 变式训练 2 (1)解方程 3C x ?3 ? 5 Ax ?4

(2)已知 三、反思总结 1 区分组合与排列

1 1 7 m ? m ? 求C 8 m m C5 C6 10C7

16

2 组合数的计算公式的说明 ① ② ③ ④ 四、当堂检测
2 3 2 1、计算 C8 ?C 8 ?C9 ?(

) D480 )

A120

B240

C60

2 2、已知 C n =10,则 n=(

A10

B5

C3

D2

3 4 3、如果 Am ,则 m=( ) ? 6Cm

A6 B7

C8

D9 3、B

答案:1、A 2、B

课后练习与提高
1、给出下面几个问题,其中是组合问题的有( ) ①由 1,2,3,4 构成的 2 个元素的集合 ②五个队进行单循环比赛的分组情况 ③由 1,2,3 组成两位数的不同方法数④由 1,2,3 组成无重复数字的两位数 A①③ B②④ C①② D①②④
r ?1 17 ?r 2、 C10 的不同值有( ? C10



A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 3、已知集合 A={1,2,3,4,5,6},B={1,2},若集合 M 满足 B ? M ? A,则这样的集合 M 共有 ( ) A12 个 B13 个 C14 个 D15 个
m ?1 m m ?1 Cn Cn Cn ? ? , 则m与n的值为 4、已知 2 3 4

?2 x ?1 5、若 x 满足 2C x x ?1 ? 3C x ?1 ,则 x= 5 n?1 2 6、已知 20Cn ?5 ? 4(n ? 4)Cn?3 ? 15An?3 , 求n的值

参考答案:1C 2B 3C

4 m=14,n=34 5 2,3,4,5,

6 n=2

17

1.2.4 组合应用题
【教学目标】 : (1)理解组合的定义,掌握组合数的计算公式 (2)会解决一些简单的组合问题 (3)体会简单的排列组合综合问题 【教学重难点】 :掌握组合数及简单组合题 【教学过程】 : 情景导入 问题一:高一(1)班有 30 名男生,20 名女生,现要抽取 6 人参加一次有意义的活动,问 一下条件下有多少种不同的抽法? ⑴只在男生中抽取 ⑵男女生各一半 ⑶女生至少一人 问题二:10 个不同的小球,装入 3 个不同的盒子中,每盒至少一个,共有多少种装法? 合作探究: 完成问题一问题二的方法总结 ① ② 交流展示 精讲精练 例 1 六人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法? (1)甲不站两端; (2)甲、乙必须相邻; (3)甲、乙不相邻; (4)甲、乙之间间隔两人; (5)甲、乙站在两端; (6)甲不站左端,乙不站右端. 变式练习 1.、7 名学生站成一排,下列情况各有多少种不同的排法? (1)甲乙必须排在一起; (2)甲、乙、丙互不相邻; (3)甲乙相邻,但不和丙相邻. 例 2.平面上给定 10 个点,任意三点不共线,由这 10 个点确定的直线中,无三条直线交于 同一点(除原 10 点外) ,无两条直线互相平行。求:这些直线所交成的点的个数

变式练习 2、a, b 是异面直线;a 上有 6 个点,b 上有 7 个点,求这 13 个点可确 定平面的个数
反馈测评 1、 从 4 名男生和 3 名女生中选 4 人参加某个座谈会, 若这 4 个人中必须既有男生又有女生, 则不同的选法有 ( ) A.140 B.120 C.35 D.34 2、从 5 位男教师和 4 位女教师中选出 3 位教师派到 3 个班担任班主任(每班一位班主任), 要求这 3 位班主任中男女教师都要有,则不同的选派方案共有 ( ) A.210 种 B.420 种 C.630 种 D.840 种 3、(07 重庆卷)将 5 名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名, 则不同的分配方案有( ) (A)30种 (B)90种 (C)180种 (D)270种 4、 (09 天津卷)将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个盒子里,使得放入 每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有( ) A.10 种 B.20 种 C.36 种 D.52 种 1、从 1,2,3,4,5 中任取两个数分别作为底数和真数,则所有不同的对数值的个数是 A ,20 B,16 C,13 D,12

18

2、已知 x,y ∈N 且 Cnx = Cny ,则 A ,x = y B ,x + y = n C,x = y 或 x + y = n D,不确定 3.从平面 α 内取 5 点,平面 β 内取 4 点,这些点最多能组成的三棱锥的个数是 A, C53C41 B, C94 C, C94 – C54 D, C53C41+C43C51+C52C42 4.在 3000 与 8000 之间有 个无重复数字的奇数。 5.某仪器显示屏上一排有 7 个小孔,每个小孔可显示出 0 或 1,若每次显示其中 3 个孔, 但相邻的两个孔不能同时显示,则这个显示屏共能显示出的信号种数是 6、有 6 本不同的书按下列分配方式分配,问共有多少种不同的分配方式? (1)分成 1 本、2 本、3 本三组; (2)分给甲、乙、丙三人,其中一人 1 本,一人 2 本,一人 3 本; (3)分成每组都是 2 本的三组; (4)分给甲、乙、丙三人,每人 2 本. 参考答案 1、C2、C3、D4、1232 5、80
2 3 6(1)有 C 1 6 C 5 C 3 =60 种选法. 2 3 3 (2)有 C 1 6 C 5 C 3 A 3 =360 种选法.

(3)有 (4)有

2 2 2 C6 C 4C 2

A3 3
2 2 2 C6 C 4C 2

=15 种.
2 2 2 ·A 3 3 = C 6 C 4 C 2 =90 种.

A3 3

【板书设计】 :略。 【作业布置】 :略。

19

1.2.4 组合应用题 课前预习学案
一、预习目标 预习: (1)理解组合的定义,掌握组合数的计算公式 (2)会解决一些简单的组合问题 (3)体会简单的排列组合综合问题 二、预习内容 1.组合的定义: 2.组合数
m = An

=

=

3. 课本几个组合应用题,并将 24 页的探究写在下面

课内探究学案
一、学习目标 (1)理解组合的定义,掌握组合数的计算公式 (2)会解决一些简单的组合问题 (3)体会简单的排列组合综合问题 学习重难点:解决一些简单的组合典型问题 二、学习过程 问题探究情境 问题一:高一(1)班有 30 名男生,20 名女生,现要抽取 6 人参加一次有意义的活动,问 一下条件下有多少种不同的抽法? ⑴只在男生中抽取 ⑵男女生各一半 ⑶女生至少一人 问题二:10 个不同的小球,装入 3 个不同的盒子中,每盒至少一个,共有多少种装法? 合作探究: 完成问题一问题二的方法总结 ① ② 典例分析 例 1 六人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法? (1)甲不站两端; (2)甲、乙必须相邻; (3)甲、乙不相邻; (4)甲、乙之间间隔两人; (5)甲、乙站在两端; (6)甲不站左端,乙不站右端. 变式练习 1.、7 名学生站成一排,下列情况各有多少种不同的排法? (1)甲乙必须排在一起; (2)甲、乙、丙互不相邻; (3)甲乙相邻,但不和丙相邻. 例 2.平面上给定 10 个点,任意三点不共线,由这 10 个点确定的直线中,无三条直线交于 同一点(除原 10 点外) ,无两条直线互相平行。求:这些直线所交成的点的个数

变式练习 2、a, b 是异面直线;a 上有 6 个点,b 上有 7 个点,求这 13 个点可确 定平面的个数
三、反思总结

20

方法:① ② ③ 四、当堂检测 1、 从 4 名男生和 3 名女生中选 4 人参加某个座谈会, 若这 4 个人中必须既有男生又有女生, 则不同的选法有 ( ) A.140 B.120 C.35 D.34 2、从 5 位男教师和 4 位女教师中选出 3 位教师派到 3 个班担任班主任(每班一位班主任), 要求这 3 位班主任中男女教师都要有,则不同的选派方案共有 ( ) A.210 种 B.420 种 C.630 种 D.840 种 3、(07 重庆卷)将 5 名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名, 则不同的分配方案有( ) (A)30种 (B)90种 (C)180种 (D)270种 4、 (09 天津卷)将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个盒子里,使得放入 每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有( ) A.10 种 B.20 种 C.36 种 D.52 种

课后练习与提高
1、从 1,2,3,4,5 中任取两个数分别作为底数和真数,则所有不同的对数值的个数是 A ,20 B,16 C,13 D,12 x y 2、已知 x,y ∈N 且 Cn = Cn ,则 A ,x = y B ,x + y = n C,x = y 或 x + y = n D,不确定 3.从平面 α 内取 5 点,平面 β 内取 4 点,这些点最多能组成的三棱锥的个数是 A, C53C41 B, C94 C, C94 – C54 D, C53C41+C43C51+C52C42 4.在 3000 与 8000 之间有 个无重复数字的奇数。 5.某仪器显示屏上一排有 7 个小孔,每个小孔可显示出 0 或 1,若每次显示其中 3 个孔, 但相邻的两个孔不 能同时显示,则这个显示屏共能显示出的信号种数是 6、有 6 本不同的书按下列分配方式分配,问共有多少种不同的分配方式? (1)分成 1 本、2 本、3 本三组; (2)分给甲、乙、丙三人,其中一人 1 本,一人 2 本,一人 3 本; (3)分成每组都是 2 本的三组; (4)分给甲、乙、丙三人,每人 2 本. 参考答案 1、C 2、C 3、D 4、1232 5、80
2 3 6(1)有 C 1 6 C 5 C 3 =60 种选法. 2 3 3 (2)有 C 1 6 C 5 C 3 A 3 =360 种选法.

(3)有 (4)有

2 2 2 C6 C 4C 2

A3 3
2 2 2 C6 C 4C 2

=15 种.
2 2 2 ·A 3 3 = C 6 C 4 C 2 =90 种.

A3 3

21

1.2.5 排列组合综合应用 第 1 课时 一、教学目标:
1、掌握排列和组合数的各个性质并能熟练运用。 2、认识分组分配和分组组合问题的区别。 3、能够区分和解决分组分配和分组组合问题。

二、教学重点难点
重点:熟练掌握排列和组合数的各个性质并能熟练运用 难点:能够区分和解决分组分配和分组组合问题。

三、教学过程: (一)预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑,使教学具有了针对性。

(二)情景导入、展示目标。
前面, 我们已经分别对排列组合问题做了较全面的研究, 我们知道排列组合相互联系又 相互区别。在实际问题中,有些问题既涉及排列问题又涉及组合问题,因此只有将两个知识 点结合起来,才能更好的解决实际问题,今天我们先解决以下几类综合问题。

(三)合作探究、精讲点拨。 1.分组分配问题
探究:将 3 件不同的礼品 (1)分给甲乙丙三人,每人各得 1 件,有多少种分法? (2)分成三堆,一堆一件,有几种分法?
3 答案: (1) A3

? 6

(2)1 种

22

(4)因为没有规定谁得 1 件,谁得 2 件和 3 件,那么谁都可以得 1,2,或 3 件,故应
1 2 3 3 3 比(2)扩大 A3 倍,则一共有 C6 C5 C3 A3 ? 360种。 2 (5)解法一:第一堆有 C 6 种分法,第二堆有 C 4 种分法,第三堆有 C 2 种分法,所以一 2 2 2 3 共有 C6 种情况只能算一种情况, 因此, C4 C2 种分法,但因为堆与堆之间没有区别,故每 A3
2 2 C62 C 4 C2 ? 15 种分法。 3 A3

2

2

共有

3 解法二: 设 6 件礼品分 3 堆有 x 种分法, 在平均分成 3 堆后再分给三个人, 又有 A3 种 3 2 2 2 分法, 故将 6 件礼品分给三个人, 每人 2 件共有 x A3 种分法, 再由 (1) 知它应等于 C6 C4 C2
2 2 2 C6 C4 C2 ? 15 。 3 A3

3 2 2 2 ? C6 种,列方程得 x A3 C4 C2 ,可得 x ?

点评: 本题中的每一个小题都提出了一种类型的问题, 搞清类型的归属对今后的解题大有裨 益。 其中: ⑴均匀不定向分配问题⑵非均匀定向分配问题⑶非均匀不定向分配问题⑷非均匀 分配问题⑸均匀分配问题。这是一个典型的问题,要认真体会。 变式训练 1、按下列要求把 12 个人分成 3 个小组,各有多少种不同的分法? (1)各组人数分别为 2,4,6 人; (2)平均分成 3 个小组; (3)平均分成 3 个小组,进入 3 个不同车间。 简答: (1) C12 C10 C6 =13860, (2)
4 4 C12 C84 C4 =5775, 3 A3

2

4

6

23

( 3 )分两步:第一步平均分成 3 组,第二步让 3 个小组分别进入不同车间,故有
4 C12 C84 C 44 3 3

A

3 4 4 = C12 =34650 种不同的分法。 A3 C84 C4

2 分组组合问题。
例二:6 名男医生,4 名女医生 ⑴选 3 名男医生,2 名女医生,让他们到 5 个不同的地区巡回医疗,共有多少种不同的分派 方法? ⑵把 10 名医生分成 2 组,每组 5 人且每组要有女医生,有多少种不同的分派方法?若将这 两组医生分派到两地去,并且每组选出正,副组长 2 人,又有多少种方法? 解析:取部分元素进行排列,一定要先取后排。 解: (1)法 1:分三步:①从 6 名男医生中选 3 名 选出的 5 人全排列 法 2:分两步:
3 3 从 5 个地区中选出 3 个地区,再将 3 个地区的工作分配给 6 个男医生中的 3 个, C5 A6 3 3 再将剩下的 2 个地区的工作分给 4 个女医生中的 2 个 A4 ,故一共 C5 A6 A4 ? 14400
2 2

3 C6

②从 4 名女医生中选 2 名 C 4 ③对

2

5 A5 C 3C 2C 5 ? 14400种 ,故一共有 6 4 5

(2)医生的选法有两类: 第一类:一组女医生 1 人男医生 4 人,另一组女医生 3 人男医生 2 人,因为组合组之间
1 4 没有顺序,故一共有 C 4 C 6 种不同的选法。
2 3 C4 C6 第二类:两组都是 3 男 2 女,考虑两组没有顺序,因此有 种 不同的 2 A2
2 3 C4 C6 ? 120种 . 2 A2

1 4 选法,因此医生不同的选法总数为 C4 C6 ?

2 分派到两地 A2 种方法,每个小组选出正副组长各有 A5 种选法,
2 2 2 故一共有 N ? A2 120A5 A5 ? 96000。

2

点评:对于排列组合的综合题,常采用先组合(选出元素) ,再排列(将选出的这些元素按 要求进行排序) 。 变式训练 2、从 6 个男同学和 4 个女同学中,选出 3 个男同学和 2 个女同学分别承担 A、B、 C、D、E 五项不同的工作,一共有多少种分配工作的方法? 简答:一般方法是先选后排,按元素的性质 “ 分类 ” 和按事件发生的连续过程分步,故有
3 2 5 =14400 种方法。 C6 C4 A5

3. 相同元素的分组分配问题

24

例 3:某校高二年级有 6 个班级,现要从中选出 10 人组成高二年级女子篮球队参加县高中 年级篮球比赛,且规定每班至少要选 1 人参加,这 10 个名额有多少种不同的分配方案? 解析:名额分配问题,名额之间没有区别,可以采用隔板法。 解:因为名额之间没有区别,所以可以把它们视作是排成一排的 10 个相同的小球,要把这 10 个小球分开成 6 段,且每段至少一个小球,为达到这个目的,我们把这 10 个球拉开,每 两个球之间空出一个位置,两端不留位置,共 9 个位置,现在要把这 9 个位置中放入 5 个隔 板,则每一种放法把这 10 个球都能分成 6 段,得到的结果对应于一种分配方案,故有
5 C9 ? 126种放法。

点评:相同元素的分配问题,通常可以采用隔板法。 例 4. 求方程 X+Y+Z=10 的正整数解的个数。 解析:可以将方程解的问题转化为相同元素的分配问题。 解:将 10 个球排成一排,球与球之间形成 9 个空隙,将两个隔板插入这些空隙中(每空至 多插一块隔板) ,规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为 x、y、z 之值,则隔法
2 与解的个数之间建立了一一对立关系,故解的个数为 C9 =36(个) 。

点评:该题的转化是关键,将方程的解转化为小球的分配的问题,使问题豁然开朗;既好理 解,又便于计算。在做题时注意体会。 变式训练 3:20 个不加区别的小球放入编号为 1,2,3 的三个不同盒子中,要求每个盒子里 的球数不少于该盒子的编号数,问有多少种不同的方法。 简答:由于每个盒子里的球数不少于编号数,则在 2 号盒子内放入 1 个球,3 号 盒子放入 2 个球,然后把余下的 17 个小球分成 3 份放入 3 个盒子中,相当于 16 个空位放 2 个隔板,故
2 一共 C16 种不同的方法。

变式训练 4、 求方程 X+Y+Z=10 的非负整数解的个数。 简答:注意到 x、y、z 可以为零,故上题解法中的限定“每空至多插一块隔板”就不成立了, 怎么办呢?只要添加三个球,给 x、y、z 各一个球。这样原问题就转化为求 X+Y+Z=13 的正 整数解的个数了,故解的个数为 C12 =66(个) 。
2

(四)反思总结,当堂检测。
教师组织学生反思总结本节课的主要内容,并进行当堂检测。

四、板书设计:
排列组合综合问题 第一课时 2 分组组合问题。
例2

一预习检查 二合作探究、精讲点拨 1.分组分配问题 例1

3. 相同元素的分组分配
例3

例4 三、小结

五、作业布置:

25

1、六本不同的书,分为三组,一组四本,另外两组各一本,有多少种分法? 2.有 5 个男生和 3 个女生,从中选 5 个担任 5 门学科代表,求符合下列条件的选法数。⑴ 有女生但人数少于男生⑵某女生一定要担任语文科代表。 ⑶某男生必须在内, 但不担任数学 科代表。⑷某女生一定要担任语文科代表,某男生必须担任科代表,但不是数学科代表。 3、把 12 本相同的笔记本全部分给 7 位同学,每人至少一本,有多少种分法?

26

1.2.5 排列组合综合应用 课前预习学案 一、预习目标
掌握排列数和组合数及排列和组合的定义、性质,并能运用。

二、预习内容
1、排列: ( 个元素的一个排列。
m m 2、排列数:用符号 An 表示, An =

)叫做从 n 个不同元素中取出 m

3、组合: ( 的一个组合
m m 4、组合数:用符号 C n 表示, C n =

),叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素

课内探究学案 一、学习目标:
1、掌握排列数和组合数及排列和组合的定义、性质,并能运用。 2、认识分组分配和分组组合问题的区别。 3、能够区分和解决分组分配和分组组合问题。

学习重点难点
重点:熟练掌握排列和组合数的各个性质并能熟练运用 难点:能够区分和解决分组分配和分组组合问题。

二学习过程: 1.分组分配问题
探究:将 3 件不同的礼品 (1)分给甲乙丙三人,每人各得 1 件,有多少种分法? (2)分成三堆,一堆一件,有几种分法? 例 1:将 6 件不同的礼品 (1)分给甲乙丙三人,每人各得两件,有多少种分法? (2)分给三人,甲得 1 件,乙得 2 件,丙得 3 件,有几种分法? (3)分成三堆,一堆 1 件,一堆 2 件,一堆 3 件,有几种分法? (4)分给三人,一人得 1 件,一人得 2 件,一人得 3 件,有几种分法? (5)平均分成 3 堆,有几种分法? 解: 变式训练 1、按下列要求把 12 个人分成 3 个小组,各有多少种不同的分法? (1)各组人数分别为 2,4,6 人;

27

(2)平均分成 3 个小组; (3)平均分成 3 个小组,进入 3 个不同车间。

2 分组组合问题。
例 2:6 名男医生,4 名女医生 ⑴选 3 名男医生,2 名女医生,让他们到 5 个不同的地区巡回医疗,共有多少种不同的分派 方法? ⑵把 10 名医生分成 2 组,每组 5 人且每组要有女医生,有多少种不同的分派方法?若将这 两组医生分派到两地去,并且每组选出正,副组长 2 人,又有多少种方法? 解:

3. 相同元素的分组分配(隔板法)
例 3:某校高二年级有 6 个班级,现要从中选出 10 人组成高二年级女子篮球队参加县高中 年级篮球比赛,且规定每班至少要选 1 人参加,这 10 个名额有多少种不同的分配方案? 例 4. 求方程 X+Y+Z=10 的正整数解的个数。 变式训练 3:20 个不加区别的小球放入编号为 1,2,3 的三个不同盒子中,要求每个盒子里 的球数不少于该盒子的编号数,问有多少种不同的方法。 变式训练 4、 求方程 X+Y+Z=10 的非负整数解的个数。 答案:见教案。

三、反思总结
1.分组分配问题 2 分组组合问题。 3. 相同元素的分组分配(隔板法)

四、当堂检测
1、若 9 名同学中男生 5 名,女生 4 名 (1) 若选 3 名男生,2 名女生排成一排,有多少种排法? (2) 若选 3 名男生 2 名女生排成一排且有一男生必须在排头,有多少种排法? (3) 若选 3 名男生 2 名女生排成一排且某一男生必须在排头,有多少种排法? (4) 若男女生相间,有多少种排法? 2、 6 本不同的书,按照以下要求处理,各有几种分法? (1) 分成四堆,一堆三本,其余各一本 (2)分给三人每人至少一本。 3、把 12 本相同的笔记本全部分给 7 位同学,每人至少一本,有多少种分法? 答案:

课后练习与提高
1.6 本书分三份,2 份 1 本,1 份 4 本,则有 种分法。

28

2. 某年级 6 个班的数学课, 分配给甲乙丙三名数学教师任教, 每人教两个班, 则有 种 分派方法。 3、 某校准备组建一个由 12 人组成篮球队, 这 12 个人由 8 个班的学生组成, 每班至少一人, 名额分配方案共 种 。 4、不定方程 X1+X2+X3+…+X50=100 中不同的整数解有 种 5、四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中,若使每个盒子不空,则不同的放法有多 少种?
7 2 49 3 参考答案:1、12 2、90 3、 C11 4、 C 99 5、 C 4 =36(解略) A3

29

1.2.6 排列组合综合应用 一、教学目标:
(1)能够熟练判断所研究问题是否是排列或组合问题; (2)进一步熟悉排列数、组合数公式的计算技能; (3)熟练应用排列组合问题常见解题方法; (4)进一步增强分析、解决排列、组合应用题的能力。

二、教学重点难点
重点:熟练掌握排列和组合数的各个性质并能熟练运用 难点:解题思路的分析。

三、教学过程: (一)预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑,使教学具有了针对性。

(二)情景导入、展示目标。
上一节,我们已经分别对排列组合的三类问题做了较深入的研究。排列组合问题千变万化, 解法灵活,条件隐晦,思维抽象,难以找到解题的突破口。因而在求解排列组合应用题时, 除做到:排列组合分清,加乘原理辩明,避免重复遗漏外,还应注意积累排列组合问题的解 题方法得以快速准确求解。今天我们再解决以下几类综合问题。

(三)合作探究、精讲点拨。 1、能排不能排问题(即特殊元素在特殊位置上有特别要求)
例 1. (1)7 位同学站成一排,其中甲站在中间的位置,共有多少种不同的排法? (2)7 位同学站成一排,甲、乙只能站在两端的排法共有多少种? (3)7 位同学站成一排,甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种? (4)7 位同学站成一排,其中甲不能在排头、乙不能站排尾的排法共有多少种? 解析: 解决此类问题的关键是特殊元素或特殊位置优先.或使用间接法.
6 解:(1)先考虑甲站在中间有 1 种方法,再在余下的 6 个位置排另外 6 位同学,共 A6 种方

法;
2 5 (2)先考虑甲、 乙站在两端的排法有 A2 种, 再在余下的 5 个位置排另外 5 位同学的排法有 A5

2 5 种,共 A2 种方法; ? A5
2 (3) 先考虑在除两端外的 5 个位置选 2 个安排甲、乙有 A5 种,再在余下的 5 个位置排另外 5 2 5 2 5 位同学排法有 A5 种, 共 A5 种方法; 本题也可考虑特殊位置优先,即两端的排法有 A5 , ? A5 5 2 5 中间 5 个位置有 A5 种,共 A2 种方法; ? A5

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6 (4)分两类乙站在排头和乙不站在排头, 乙站在排头的排法共有 A6 种, 乙不站在排头的排法 1 总数为:先在除甲、乙外的 5 人中选 1 人安排在排头的方法有 A5 种,中间 5 个位置选 1 个 1 5 安 排 乙 的 方 法 有 A5 , 再 在 余 下 的 5 个 位 置 排 另 外 5 位 同 学 的 排 法 有 A5 ,故共有

6 1 1 5 7 种方法;本题也可考虑间接法,总排法为 A7 ,不符合条件的甲在排头和 A6 ? A5 ? A5 ? A5
6 乙站排尾的排法均为 A6 ,但这两种情况均包含了甲在排头和乙站排尾的情况,故共有 7 6 5 种. A7 ? 2 A6 ? A5

点评:上述问题归结为能排不能排问题,从特殊元素和特殊位置入手解决,抓住了问题的本 质,使问题清晰明了,解决起来顺畅自然. 变式训练 1、某天课表共六节课,要排政治、语文、数学、物理、化学、体育共六门课程, 如果第一节不排体育,最后一节不排数学,共有多少种不同的排课方法? 简答:对特殊元素—数学和体育进行分类解决
2 4 2 4 (1)数学、体育均不排在第一节和第六节,有 A4 种,其他有 A4 种,共有 A4 种; ? A4 4 4 (2)数学排在第一节、体育排 在第六节有一种,其他有 A4 种,共有 A4 种; 1 4 1 4 (3)数学排在第一节、体育不在第六节有 A4 种,其他有 A4 种,共有 A4 种; ? A4 1 4 1 4 (4)数学不排在第一节、体育排在第六节有 A4 种,其他有 A4 种,共有 A4 种; ? A4
2 1 4 4 所以符合条件的排法共有 A4 ? 2 A4 ? 1 A4 ? 21A4 ? 504 种

?

?

本题也可采用间接排除法解决
6 5 不考虑任何限制条件共有 A6 种排法,不符合题目要求的排法有: (1)数学排在第六节有 A5 5 种; (2)体育排在第一节有 A5 种;考虑到这两种情况均包含了数学排在第六节和体育排在 4 6 5 4 第一节的情况 A4 种所以符合条件的排法共有 A6 ? 2 A5 ? A4 ? 504 种

变式训练 2、 (2005 北京卷)五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目,每个工程队承 建 1 项,其中甲工程队不能承建 1 号子项目,则不同的承建方案共有(
1 4 (A) C4 C4 种 1 4 (B) C4 A4 种 4 4 (C) C4 种 (D) A4 种

)

简答: 本题在解答时将五个不同的子项目理解为 5 个位置, 五个工程队相当于 5 个不同的元 素,这时问题可归结为能排不能排排列问题(即特殊元素在特殊位置上有特别要求的排列问
1 4 1 4 题), 先排甲工程队有 C4 , 其它 4 个元素在 4 个位置上的排法为 A4 种, 总方案为 C4 故 A4 种.

31

选(B).

2 相邻不相邻问题(即某些元素不能相邻的问题)
例 2、 7 位同学站成一排, (1)甲、乙和丙三同学必须相邻的排法共有多少种? (2)甲、乙和丙三名同学都不能相邻的排法共有多少种? (3)甲、乙两同学间恰好间隔 2 人的排法共有多少种? 解析:相邻排列组合问题一般采用大元素法,即将相邻的元素“捆绑”作为一个元素,再与 其他元素进行排列,解答时注意“释放”大元素,也叫“捆绑法” .不相邻排列问题(即某两 或某些元素不能相邻的排列问题)一般采用“插空法” 。
5 解:(1)第一步、将甲、乙和丙三人“捆绑”成一个大元素与另外 4 人的排列为 A5 种, 3 第二步、 “释放”大元素,即甲、乙和丙在“捆绑”成的大元素内的排法有 A3 种,所以共 5 3 A5 ? A3 ? 720 种; 4 (2)第一步、先排除甲、乙和丙之外 4 人共 A4 种方法,第二步、甲、乙和丙三人排在 4 人排 3 4 3 好后产生的 5 个空挡中的任何 3 个都符合要求,排法有 A5 种,所以共有 A4 ? A5 ? 1440 种; 2 2 (3)先排甲、乙,有 A2 种排法,甲、乙两人中间插入的 2 人是从其余 5 人中选,有 A5 种 4 排法,将已经排好的 4 人当作一个大元素作为“新人”参加下一轮 4 人组的排列,有 A4 种 2 2 4 排法,所以总的排法共有 A2 ? A5 ? A4 ? 960 种.

点评:相邻问题一般采用 “捆绑法” .不相邻问题(即某两或某些元素不能相邻的排列问题) 一般采用“插空法” 。 变式训练 3、用 1、2、3、4、5、6、7、8 组成没有重复数字的八位数,要求 1 和 2 相邻,3 与 4 相邻,5 与 6 相邻,而 7 与 8 不 相邻,这样的八位数共有 个.(用数字作答) . 简答:第一步、将 1 和 2“捆绑”成一个大元素,3 和 4“捆绑”成一个大元素,5 和 6“捆 绑”成一个大元素,第二步、排列这三个大元素,第三步、在这三个大元素排好后产生的 4 个空挡中的任何 2 个排列 7 和 8,第四步、 “释放”每个大元素(即大元素内的每个小元素
3 2 在“捆绑”成的大元素内部排列) ,所以共有 A3 ? A4 ? 2 ? 2 ? 2 ? 576 个数.

ww 3、多元限制问题 例 3、 用 0,1,2,3,?,9 这十个数字组成五位数,其中含有三个奇数数字与两个 偶数数字的五位数有多少个? 解析:按题目条件,把符合条件的排列、组合问题分成互不重复的若干类,分别计算, 最后计算总数。 2 5 解:法 1、考虑 0 的特殊要求,如果对 0 不加限制,应有 C3 5C5 A5 种,其中 0 居首位的
1 4 3 2 5 3 1 4 有 C3 5 C4 A 4 种,故符合条件的五位数共有 C5C5 A5 ? C5C4 A4 =11040 个. 法 2、按元素分类:奇数字有 1,3,5,7,9;偶数字有 0,2,4,6,8.

32

把从五个偶数中任取两个的组合分成两类:①不含 0 的;②含 0 的. 2 5 ①不含 0 的:由三个奇数字和两个偶数字组成的五位数有 C3 5 C4 A 5 个; ②含 0 的,这时 0 只能排在除首位以外的四个数位上,有 A1 4 种排法,再选三个奇数数
1 4 1 与一个偶数数字全排放在其他数位上,共有 C3 5C4 A4 A4 种排法. 2 5 3 1 4 1 综合①和②, 由分类计数原理, 符合条件的五位数共有 C3 5 C4 A 5 + C5C4 A4 A4 =11040 个。

点评:对于受限元素较多,情形较复杂的问题,可根据结果要求,先分为不同类型的几组, 然后对每一组分别进行排列,最后求和。 变式 4、九张卡片分别写着 0~8,从中取出三张排成一排组成一个三位数,如果写着 6 的卡 片还能当 9 用,问共可以组成多少个三位数?
3 2 2 3 1 2 3 2 简答:无 6 时有 A8 个,有 6 时有 2 ( C8 ) +2 ? A7 A3 ? C7 A2 )个;共有( A8 ? A7 2 3 1 2 ( C8 A3 ? C7 A2 )=602 个。

(四) 反思总结,当堂检测。
教师组织学生反思总结本节课的主要内容,并进行当堂检测。

四、板书设计:
排列组合综合问题 第二课时 2 相邻不相邻问题。
例2

一预习检查 二合作探究、精讲点拨 1. 能排不能排问题 例1

3.

多元限制问题

例3

三、小结

五、作业布置:
1、在由数字 0,1,2,3,4,5 所组成的没有重复数字的四位数中,不能被 5 整除的数共有 多少个. 2.从 6 人中选出 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一 人游览,每人只游览一个城市,且这 6 人中甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案共 有 多少种。 3、从 1,3,5,7 中任取 2 个数字,从 0,2,4,6,8 中任取 2 个数字,组成没有重复数 字的四位数,其中能被 5 整除的四位数共有多少个?

33

1.2.6 排列组合综合应用 一、预习目标
(1)能够熟练判断所研究问题是否是排列或组合问题; (2)进一步熟悉排列数、组合数公式的计算技能;

二、预习内容
1、处理排列组合应用题的一般步骤为:①( ③( ) 2、处理排列组合应用题的规律 (1)两种思路: ( ) ,间接法。 ) ; ) ②有序还是无序

(2)两种途径:元素分析法, ( ) 。 3、一个问题是排列还是组合问题,关键是在( 4、组合数的两个性质 (1) (2)

课内探究学案 一、学习目标:
(1)熟练应用排列组合问题常见解题方法; (2)进一步增强分析、解决排列、组合应用题的能力。

学习重点难点
重点:熟练掌握排列和组合数的各个性质并能熟练运用 难点:解题思路的分析。

二、学习过程: 1、能排不能排问题(即特殊元素在特殊位置上有特别要求)
例 1. (1)7 位同学站成一排,其中甲站在中间的位置,共有多少种不同的排法? (2)7 位同学站成一排,甲、乙只能站在两端的排法共有多少种? (3)7 位同学站成一排,甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种? (4)7 位同学站成一排,其中甲不能在排头、乙不能站排尾的排法共有多少种? 变式训练 1、某天课表共六节课,要排政治、语文、数学、物理、化学、体育共六门课程, 如果第一节不排体育,最后一节不排数学,共有多少种不同的排课方法? 变式训练 2、 (2005 北京卷)五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目,每个工程队承 建 1 项,其中甲工程队不能承建 1 号子项目,则不同的承建方案共有(
1 4 (A) C4 C4 种 1 4 (B) C4 A4 种 4 4 (C) C4 种 (D) A4 种

)

2 相邻不相邻问题(即某些元素不能相邻的问题)

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例 2、 7 位同学站成一排, (1)甲、乙和丙三同学必须相邻的排法共有多少种? (2)甲、乙和丙三名同学都不能相邻的排法共有多少种? (3)甲、乙两同学间恰好间隔 2 人的排法共有多少种? 变式训练 3、用 1、2、3、4、5、6、7、8 组成没有重复数字的八位数,要求 1 和 2 相邻,3 与 4 相邻,5 与 6 相邻,而 7 与 8 不 相邻,这样的八位数共有 个.(用数字作答) . ww 3、多元限制问题 例 3、 用 0,1,2,3,?,9 这十个数字组成五位数,其中含有三个奇数数字与两个 偶数数字的五位数有多少个? 变式 4、九张卡片分别写着 0~8,从中取出三张排成一排组成一个三位数,如果写着 6 的卡 片还能当 9 用,问共可以组成多少个三位数?

三、反思总结
1、能排不能排问题 2 相邻不相邻问题(即某些元素不能相邻的问题) w 3、多元限制问题

四、当堂检测
1、 (2005 福建卷)从 6 人中选出 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要 求每个城市有一人游览,每人只游览一个城市,且这 6 人中甲、乙两人不去巴黎游览, 则不同的选择方案共有多少种? 2、某校高三年级举行一次演讲赛共有 10 位同学参赛,其中一班有 3 位,二班有 2 位,其它 班有 5 位, 若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序, 则一班有 3 位同学恰好被排在一起 (指演讲序号相连) ,而二班的 2 位同学没有被排在一起的概率为 多少? 3、由数字 1,2,3,4,5 可以组成多少个无重复数字,比 20000 大,且百位数字不是 3 的 自然数? 答案:见教案

课后练习与提高
1、用 1,2,3,4,5 这五个数字组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有( ) (A)24 个 (B)30 个 (C)40 个 (D)60 个 2、从 0,l,3,5,7,9 中任取两个数做除法,可得到不同的商共有( ) (A)20 个 (B)19 个 (C)25 个 (D)30 个 3、在 9 件产品中,有一级品 4 件,二级品 3 件,三级品 2 件,现抽取 4 个检查, 至少有两件一级品的抽法共有( ) (A)60 种 (B)81 种 (C)100 种 (D)126 种 4、某电子元件电路有一个由三节电阻串联组成的回路,共有 6 个焊点,若其中某一焊点脱 落,电路就不通.现今回路不通,焊点脱落情况的可能有( ) (A)5 种 (B)6 种 (C)63 种 (D)64 种 5、将红、黄、蓝、白、黑 5 种颜色的小球,分别放入红、黄、蓝、白、黑 5 种颜色的口袋 中,但红口袋不能装入红球,则有 种不同的放法. 6、从 0~9 这 10 个数字中选出 3 个奇数,3 个偶数,由这 3 个奇数 3 个偶数共可组成多少个 没有重复数字的六位数?

35

参考答案:1A 2B 3B 4C 5、96 6、64800 个(解略)

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