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圆锥曲线综合题(整理)


卓越个性化教案
学生姓名 刘锦蓉 年级 高二 授课时间 2013.1.19 教师姓名 王润梅 课时 2h 圆锥曲线综合复习





教学目标

圆锥曲线定义、性质的综合运用

【知识点回顾】 圆锥曲线常考综合题型: 1. 求标准方程 2. 求轨迹方程 3. 直线和圆锥曲线的位置关系 4. 弦长问题 5. 焦点三角形 6. 中点弦问题 7. 最值问题

【典例分析】 基础综合题 1.已知抛物线 y ? 4 x ,焦点为 F,顶点为 O,点 P 在抛物线上移动,Q 是 OP 的中点,M 是 FQ
2

的中点,求点 M 的轨迹方程.

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2. 已知 F 1 , F2 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (0 ? b ? 10) 的左、右焦点, P 是椭圆上一点。 100 b2

(1)求 | PF1 | ? | PF2 | 的最大值;
? (2)若 ?F 1PF 2 的面积为 1PF 2 ? 60 且 ?F

64 3 ,求 b 的值; 3

3.(本题 15 分)设点 P(x,y)(x≥0)为平面直角坐标系 xOy 中的一个动点(其中 O 为坐标原点),点

P 到定点 M(

1 1 ,0)的距离比点 P 到 y 轴的距离大 . 2 2

(Ⅰ)求点 P 的轨迹方程: (Ⅱ)若直线 l 与点 P 的轨迹相交于 A、B 两点,且 OA ? OB ? 0 ,点 O 到直线 l 的距离为 2 , 求直线 l 的方程.

2

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圆锥曲线的定值问题 1.如图,过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上一定点 P( x0 , y0 ) ( y0 ? 0 ) ,作两条直线分别交抛物线于 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) . (1)求该抛物线上纵坐标为

p 的点到其焦点 F 的距离; 2

(2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求 y1 ? y 2 的值,并证明直线 AB 的斜率是非零 y0 y 常数.
P O x

A B

2 . P 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 上的任意一点(异于顶点) ,椭圆短轴上两个端点分别是 a 2 b2

B1、B2 ,若直线 PB1,PB2 分别与 x 轴交于点 M ,N ,求证: OM ?ON 为定值。

3

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3.已知椭圆 C 的中心在原点,一个焦点为 F(0, 2),且长轴长与短轴长的比是 2:1.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若椭圆 C 上在第一象限的一点 P 的横坐标为 1,过点 P 作倾斜角互补的两条不同的直线 PA,PB 分别交椭圆 C 于另外两点 A,B,求证:直线 AB 的斜率为定值; (3)在(2)的条件下,求△PAB 面积的最大值.

4. 如图, 已知抛物线 M : x2 ? 4 py ( p ? 0) 的准线为 l ,N 为 l 上的一个动点, 过点 N 作抛物线 M 的两条切线,切点分别为 A , B ,再分别过 A , B 两点作 l 的垂线,垂足分别为 C , D . (1)求证:直线 AB 必经过 y 轴上的一个定点 Q ,并写出点 Q 的坐标; (2)若 ?ACN , ?BDN , ?ANB 的面积依次构成 等差数列,求此时点 N 的坐标. y

B

A C

O N D

x

4

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5.已知四点 O (0, 0) , F (0, ) , M (0,1) , N (0, 2) 。点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x2 ? 2 y 上 (Ⅰ) 当 x0 ? 3 时,延长 PN 交抛物线于另一点 Q ,求 ?POQ 的大小; (Ⅱ) 当点 P( x0 , y0 ) ( x0 ? 0) 在抛物线 x2 ? 2 y 上运动时,

1 2

1 所得的弦长; 2 ⅱ)过点 P 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 A ,过点 P 作该抛物线的切线 l 交 x 轴于点 B 。问:是否
ⅰ)以 MP 为直径作圆,求该圆截直线 y ? 总有 ?FPB ? ?BPA ?如果有,请给予证明;如果没有,请举出反例。

6.已知点 F (1,0) ,直线 l : x ? ?1 , P 为平面上的动点,过 P 作直线 l 的垂线,垂足为点 Q ,且

QP.QF ? FP.FQ.
(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 的直线交轨迹 C 于 A , B 两点,交直线 l 于点 M ,已知 MA ? ?1 AF, MB ? ?2 BF , 求 ?1 ? ?2 的值

5

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7. 已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,准线为 l . (Ⅰ)求抛物线上任意一点 Q 到定点 N (2 p, 0) 的最近距离; (Ⅱ)过点 F 作一直线与抛物线相交于 A,B 两点,并在准线 l 上任取一点 M,当 M 不在 x 轴上时, 证明:

kMA ? kMB 是一个定值,并求出这个值. (其中 kMA , kMB , kMF 分别表示直线 MA, MB, MF kMF

的斜率)

x2 y2 x2 2 8.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)以双曲线 -y =1 的焦点为顶点,其离心率与双曲线的离心率互 a b 3
为倒数. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若椭圆 C 的左、右顶点分别为点 A,B,点 M 是椭圆 C 上异于 A,B 的任意一点. ①求证:直线 MA,MB 的斜率之积为定值; ②若直线 MA,MB 与直线 x=4 分别交于点 P,Q,求线段 PQ 长度的最小值.

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