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高二数学数学归纳法007

高二数学数学归纳法 007 数学归纳法 教学目标 1 了解归纳法的意义,培养学生观察、归纳、发现的能力. 2 了解数学归纳法的原理,并能以递推思想作指导,理解数学归纳 法的操作步骤. 3 抽象思维和概括能力进一步得到提高. 教学重点与难点 重点:归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析. 难点:数学归纳法中递推思想的理解. 教学过程设计 (一)引入 师:从今天开始,我们学习数学归纳法.什么是数学归纳法呢 ?应 该从认识什么是归纳法 开始. (板书题.数学归纳法) (二)什么是归纳法(板书) 师:请看下面几个问题,并由此思考什么是归纳法,归纳法有什么 特点. 问题 1:这里有一袋球共十二个,我们要判断这一袋球是白球,还 是黑球,请问怎么办? (可准备一袋白球.问题用小黑板或投影幻灯片事先准备好) 生:把它例出看一看就可以了. 师:方法是正确的,但操作上缺乏顺序性.顺序操作怎么做? 生:一个一个拿,拿一个看一个. 师:对.问题的结果是什么呢? (演示操作过程) 第一个白球,第二个白球,第三个白球,……,第十二个白球,由 此得到: 这一袋球都是白 球. 问题 2: 在数列 {an} 中, a1=1, an+1 = (n∈N+) ,先计算 a2,a3,a4 的值,再推测通项 an 的公式. (问 题由小黑板或投影幻灯片给出) 生:a2= ,a3= ,a4= .由此得到:an= (n∈N+) . 师:同学们解决以上两个问题用的都是归纳法,你能说说什么是归 纳法,归纳法有什么特点 吗? 生:归纳法是由一些特殊事例推出一般结论的推理方法. 特点是由特殊 一般(板书) . 师:很好!其实在中学数学中,归纳法我们早就接触到了.例如,给 出数列的前四项,求它 的一个通项公式用的是归纳法,确定等差数 列、 等比数列项公式用的也是归纳法, 今后的学 高•考¥资%~ 网习还会看到归纳法的运用. 在生活和生产实际中,归纳法也有广泛应用.例如气象工作者、水 工作者依据积累的历史 资料作气象预测,水预报,用的就是归纳法. 还应该指出,问题 1 和问题 2 运用的归纳法还是有区别的.问题 1 中,一共 12 个球,全看了, 由此而得了结论.这种把研究对象一一 都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.对于问题 2,由于 自然有无数个,用完全归纳法去推出结论就不可能,它是由前 4 项体 现的规律,进行推测,得出结论的,这种归纳法称为不完全归纳法. (三)归纳法的认识(板书) 归纳法分完全归纳法和不完全归纳法(板书) . 师;用不完全归纳法既然要推测,推测是要有点勇气的,请大家鼓 起勇气研究问题 3. 问题 3:对于任意自然数 n,比较 7n-3 与 6(7n+9)的大小. (问题 由小黑板或投影幻灯片给 出) (给学生一定的计算、思考时间) 生:经过计算,我的结论是:对任意 n∈N+,7n-3<6(7n+9) . 师:你计算了几个数得到的结论? 生:4 个. 师:你算了 n=1,n=2,n=3,n=4 这 4 个数,而得到的结论, 是吧? 生:对. 师:有没有不同意见? 生: 我验了 n=8, 这时有 7n-3>6 (7n+9) , 而不是 7n-3<6 (7n+9) . 他 的结论不对吧! 师:那你的结论是什么呢? (动员大家思考,纠正) 生:我的结论是: 当 n=1,2,3,4,时,7n-3<6(7n+9) ; 当 n=6,7,8,…时,7n-3>6(7n+9) . 师:由以上的研究过程,我们应该总结什么经验呢? 首先要仔细地占有准确的材料,不能随便算几个数,就作推测.请 把你们计算结果填入下表 内: 师:依据数据作推测,决不是乱猜.要注意对数据作出谨慎地分 析.由上表可看到,当 n 依 1,2,3,4,…变动时,相应的 7n-3 的 值以后一个是前一个的 7 倍的速度在增加,而 6(7n+9) 相应值的 增长速度还不到 2 倍.完全有理由确认,当 n 取较大值时,7n-3>6 (7n+9)会成立的. 师:对问题 3 推测有误的同学完全不必过于自责,接受教训就可以 了.其实在数学史上,一 些世界级的数学大师在运用归纳法时,也 曾有过失误. 资料 1(事先准备好,由学生阅读) 费马(Ferat)是 17 世纪法国著名数学家,他是解析几何的发明者 之一,是对微积分的创立 作出贡献最多的人之一,是概率论的的创 始者之一,他对数论也有许多贡献. 但是,费马曾认为,当 n∈N+时, +1 一定都是质数,这是他对 n =0,1,2,3,4 作了验证后得到的. 18 世纪伟大的瑞士科学家欧拉 (Euler) 却证明了 +1=4 294 967 297 =6 700 417× 641 ,从而否定了费马的推测. 师:有的同学说,费马为什么不再多算一个数呢?今天我们是无法 回答的.但是要告诉同学 们,失误的关键不在于多算一个上! 再请看数学史上的另一个资料(仍由学生阅读) : 资料 2 f(n)=n2+n+41,当 n∈N+时,f(n)是否都为质数? f(0)=41,f(1)=43,f(2)=47,f(3)=3,f(4)=61, f()=71,f(6)=83,f(7)=97,f(8)=113,f(9)=131, f(10)=11,… f(39)=1 601. 但 f(40)=1 681=412 是合数. 师:算了 39 个数不算少了吧,但还不行!我们介绍以上两个资料, 不是说世界级大师还出错 ,我们有错就可以原谅,也不是说归纳法 不行,不去学了,而是要找出运用归纳法出错的原 因,并研究出对 策. 师:归纳法为什么会出错呢? 生:完全归纳法不会出错. 师:对!但运用不完全归纳法是不可避免的,它为什么会出错呢? 生:由于用不完全归纳法时,一般结论的得出带有猜测的成份. 师:完全同意.那么怎么办呢? 生:应该予以证明. 师:大家同意吧?对于生活、生产中的实际问题,得出的结论的正 确性,应接受实践的检验 ,因为实践是检验真理的唯一

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