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平行线等分线段定理_图文







L L 1 1

L2

做一做:
(1)在横格纸上画直线L1,使得L1与横线垂 直 , 观察L1被各条横线分成的线段是否相等。 (2)再画一条直线L2,那么L2被各条横线分成 的线段有何关系?



论:

如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等, 那么在其他直线上截得的线段也相等.

如何来证明?

回忆

平行线的性质和判定

性质:

判定

两直线平行,同位角相等; 两直线平行,内错角相等; 两直线平行,同旁内角互补. 同位角相等,两直线平行; 内错角相等,两直线平行; 同旁内角互补,两直线平行.

A1 A2 A3

l

B1 l 1 B2 l 2 B3
l3

l’

A1 A2 A3

l

l’

B1 l 1 B2 l B3
2

l3

图1 l1//l2//l3, l//l? A1A2=A2A3 B1B2 = B2B3

图2 l1//l2//l3, l,l?不平行 A1A2=A2A3

已知:直线l1∥l2∥l3,l∥l’,A1A2=A2A3 求证:B1B2=B2B3 分析

A1 A2 A3

l

B1 l 1 B2 l2 B3
l3

l’

?A1A2B2B1 ?A2A3B3B2

A1A2=B1B2 A2A3=B2B3 A1A2=A2A3

图1 B1B2=B2B3

已知:直线l1∥l2∥l3,l,l’不平行,A1A2=A2A3 求证:B1B2=B2B3

分析

“角角边” B1C2//B2C3 △B1C2B2≌△B2C3B3 B1B2=B2B3

A1 B1 l 1 A2 B2 l 2 C2 A3 B3 l 3 C3 图2

l

l’

其它情况

图1

图2

图3

图4

平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相 等,那么在其他直线上截得的线段也相等. 两相邻平 行线间的 距离相等 ② ①

推论1: 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平 分另一腰。
A E D ? F ?

B

C

符号语言:

∵在梯形ABCD,AD∥EF∥BC,AE=EB
∴DF=FC

推论2: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线, 必平分第三边。
A E F

B

C

符号语言 ∵△ABC中,EF∥BC,AE=EB ∴AF=FC

判断题
1、如图△ABC中点D、E三等分AB, DF∥EG∥BC,DF、EG分别交AC于点 F、G,则点F、G三等分AC ( )
D E B

A F G C

2、四边形ABCD中,点M、N分别在AB、 A CD上若AM=BM、DN=CN 则 M AD∥MN∥BC ( ) 3、一组平行线,任意相邻的两平行线间 的距离都相等,则这组平行线能等分线 段。 ( ) 4、如图l1∥l2∥l3且AB=BC,那么 AB=BC=DE=EF ( )
C B

D

N

C

A B

D E

l1 l2 F l 3

例1

如图,要在一块钢板上 的A、B两个小孔间再钻 三个小孔,使这些小孔 都在直线AB上,并且每 两个小孔中心的距离相 等.如果只有圆规和无刻 度直尺,应当怎样确定小 孔的中心位置?

A

P

Q

R

B

D E F

G

例2
利用平行线等分线段定理证明三角形中位线定理

D、E 分别是△ABC中AB边和AC边的中点.
1 求证:DE//BC且 DE ? BC 2

作DE?//BC 作DF//AC

E?与E重合 BF=FC =DE D B

A E F
E′

C

证明题(习题1.1,2)
1、已知:如图,M、N分别为平行四边形ABCD边AB、 CD的中点。CM、AN分别交BD于点E、F

求证:BE=EF=FD
分析:1、证CM∥AN 2、证BE=EF 3、证DF=EF

平行四边形对边相 等;一组对边平行 且相等的四边形是 平行四边形

A F

M
? E ?

B



D

N

C

填空题1:

已知AD∥EF∥BC, E是AB的中点,
则DG= F是 BG H是 AC 的中点,

CD 的中点

.
E

A G H

D

F C

B

填空题2:

已知AD∥EF∥BC, 且AE=BE, 那么DF=
A E F D

CF

.

C

B

填空题3:

已知AB∥CD∥EF, AF交BE于O,且AO=OD=DF, 若BE=60厘米,那么BO= 20 厘米.
A O B D F C E

填空题4: 已知△ABC中,AB=AC, AD⊥BC, M是AD的中点, CM交AB于P, DN∥CM交AB于N, 如果AB=6厘米, A

P

则PN=

2

厘米. B

N

.
D

M



C

填空题5:

已知△ABC中,CD平分∠ACB, AE⊥CD交BC于E, DF∥CB交AB于F, F D AF=4厘米, 则AB= 8 厘米.
B E

A

C

练习1已知:如图,梯形ABCD中,AD∥BC, 。 ∠ABC=90 M是CD的中点
求证:AM=BM
D M C

分析:过M点作ME∥AD交AB A 于点E B E 有线段中点时,常过 又∵在梯形ABCD中,MD=MC 该点作平行线,构造 ∴AE=EB 平行线等分线段定理 及推论的基本图形。 易证ME是AB的垂直平分线

练习2
已知:梯形ABCD中,AD∥BC, ABDE是平行四边形, AD的延长线交EC于F, 求证:EF=FC. 分析:需证明AF、BC在 其它直线上截得 相等的线段.
B E

A

D

F

C



证明题 1.已知:□ABCD中,E、F分别是AB、DC的 中点, CE、AF 分别交BD于M、N, A 求证:BM=MN=ND. 分析:需证明EC∥AF. 证明:

D

E B

.
M

N

.F
C

∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=DC,AB∥DC; ∵E、F分别是AB、DC的中点, ∴AE=FC, ∴四边形AECF是平行四边形, ∴EC∥AF, ∴BM=MN, MN=ND, 即BM=MN=ND.

3.已知:梯形ABCD中,AD∥BC, E是AB边的中点, E EF∥DC,交BC于F, 求证:DC=2EF. 证明: 作EM∥BC交DC于M,

A

.

D M

B F

C

∵E是梯形ABCD的腰AB的中点,

∴M是DC的中点,即DC=2MC;
∵EF∥DC, ∴EF=MC, ∴DC=2EF.

讨论题
一、如图:有块三角形菜地,分配给三家农民耕 种,边 AB紧靠水渠,P处是三家合用的肥料仓库,问 怎样分地才能使得每家的耕地面积都相等且都临水渠 和仓库,以便于运输和浇水 。
P

A

B

一、如图:有块三角形菜地,分配给张、王、李三家农民耕种, 已知张、王、李三家人口分别为2人、4人、6人,菜地分配方法 按人口比例,并要求每户土地均有一部分紧靠水渠AB,P处是三 家合用的肥料仓库,所以点P 必须是三家地的交界地
要求:用尺规在图中作出各家菜地的分界线 (保留作图痕迹,不写作法、标出户名)
P



A

E



李 F

B

小结 平行线等分线段定理
A E D
? F ? B
图4

如果一组平行线在一条直线 上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等

A
E C ?F ? B
图5

C

推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的 推论2
直线,必平分另一腰。
符号语言: ∵在梯形ABCD,AD∥EF∥BC,AE=EB ∴DF=FC

经过三角形一边的中点与另一

边平行的直线,必平分第三边。
符号语言 ∵△ABC中,EF∥BC,AE=EB ∴AF=FC

小结
辅助线点滴: 有线段中点时,常过 该点作平行线,构造 平行线等分线段定理 及推论的基本图形。

1、平行线等分线段定理和两个推论 2、定理和推论的应用
(1)把线段n等分 (2)证明在同一直线上的线 段相等 E B A ? F ?

A
E

D ?

C

B

F ?

C

平行线等分线段定理: 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等, 那么在其 他直线上截得的线段也相等.

已知:如图,直线 l1∥l2∥l3 AB=BC
求证: A1B1=B1C1 证明:过B1作EF∥AC,分别交l1、l3于 点E、F
l1 l2 l3

A B

A1 B1
3 1 2 4

E

C

∵ l1∥l2∥l3 ∴得到□ ABB1E和□ BCFB1 ∴EB1 =AB ,B1F=BC ∵AB=BC ∴EB1=B1F 又∠1=∠2,∠3=∠4 ∴△A1B1E≌△C1B1F ∴A1B1=B1C1

F

C1

例题讲解:
已知:线段AB 求作:线段AB的五等分点。 作法:1)作射线AC。 M D A N E





HC

I J K





2)在射线AC上顺次截取 AD=DE=EF=FG=GH。 3)连结HB。 4)过点G、F、E、D分别作HB的平行线GL、FK、 EJ、DI,分别交AB于点L、K、J、I。 L、K、J、I就是所求的五等分点

平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段 相等,那么在其他直线上截得的线段也相等
A E D ? F ? B C B E A ?F ? C

推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的 推论2

经过三角形一边的中点与另一

直线,必平分另一腰。
符号语言:

边平行的直线,必平分第三边。
符号语言 ∵△ABC中,EF∥BC,AE=EB ∴AF=FC

∵在梯形ABCD,AD∥EF∥BC,AE=EB
∴DF=FC

平行线等分线段定理: 如果一组平行线在一条直线上截得 的线段 相等 ,那么在其他直线上截得 的线段也 相等
l1 l2

A B C

A1
?B1 ?C1

符号语言 ∵直线l1∥l2∥l3 ,AB=BC ∴ A1B1=B1C1

l3

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