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【全程复习方略】(文理通用)2015届高三数学一轮复习 3.6简单的三角恒等变换精品试题


简单的三角恒等变换
(45 分钟 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.(2014?金华模拟)化简 A.sin2α 【解析】选 A.4sin
2

100 分)

得( C.sinα

) D.cosα

B.cos2α tan

=4cos

2

tan

=4cos

sin

=2sin

=2cos2α ,

所以

=

=

=sin2α . =

2.(2013?台州模拟)在△ABC 中,已知 tan sinC,则△ABC 的形状为( A.等边三角形 C.直角三角形 ) B.等腰三角形 D.等腰直角三角形 =sinC

【解析】选 C.在△ABC 中,tan =sin(A+B)=2sin 所以 2cos
2

cos

,

=1,

所以 cos(A+B)=0,

从而 A+B= ,△ABC 为直角三角形.

3.(2013?嘉兴模拟)已知函数 f(x)=sinx+

cosx,设 a=f

,b=f

,c=f

,则 a,b,c 的大小关系
-1-

是( A.a<b<c C.b<a<c

) B.c<a<b D.b<c<a cosx=2sin ,

【解析】选 B.f(x)=sinx+ 因为函数 f(x)在

上单调递增,

所以 f

<f

,

而 c=f

=2sin

=2sin =f(0)<f

,

所以 c<a<b. 4.(2013?浙江高考)函数 f(x)=sinxcosx+ cos2x 的最小正周期和振幅分别是 ( A.π ,1 C.2π ,1 B.π ,2 D.2π ,2 cos2x )

【解析】选 A.f(x)=sinxcosx+

= sin2x+

cos2x=sin

,

所以 A=1,T=π . 5.(2013?六安模拟)已知 2sinθ =1+cosθ ,则 tan 等于( A.2 C. 或不存在 B. D.不存在 )

【解析】选 C.当 1+cosθ =0 时,tan 不存在.

当 1+cosθ ≠0 时,tan = 【加固训练】 计算

=

=

=

= .

的值为(

)
-2-

A.-2 【解析】选 D.

B.2

C.-1

D.1

=

=

=

=

=

=1. ?cos |等于( B.2π ) C.3π D.4π 与直线 y= 相交,若在 y 轴右侧的交点自左向右依次记为

6.已知曲线 y=2sin P1,P2,P3,…,则| A.π

【思路点拨】先化简解析式,再将所求长度转化为周期求解.

【解析】选 B.注意到 y=2sin

cos

=2sin

2

=1-cos2

=1+sin2x,又函数 y=1+sin2x 的最小正周期是 |=2π ,选 B.

=π ,结合函数 y=1+sin2x 的图象(如图所示)可知,|

二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.(2014? 舟山模拟)若函数 f(x)=sinω x+ 则正数ω 的值为 【解析】f(x)=sinω x+ |α -β |的最小值为 . cosω x=2sin ,因为 f(α )=-2,f(β )=0,且 = = .
-3-

cosω x,x∈R,又 f(α )=-2,f(β )=0,且|α -β |的最小值为

,

,所以函数 f(x)的最小正周期为 3π ,所以ω =

答案: 8.已知半径为 1 的半圆,PQRS 是半圆的内接矩形,如图,则矩形的面积最大为 .

【解析】连接 OP,设∠POS=θ ,则 OS=OPcosθ ,PS=OPsinθ ,所以 PQRS 的面积=2OS?PS=2sinθ cosθ =sin2

θ .所以当θ = 时,面积最大,最大值为 1. 答案:1

9.( 能力挑战题 ) 若函数 f(x)=sin ω x+cos ω x( ω ≠ 0) 对任意实数 x 都有 f f 的值等于 .

=f

,则

【解析】f(x)=sinω x+cosω x=

sin

,由题意知,f(x)的图象关于 x= 对称,

所以 sin

=±1,



+ = +kπ (k∈Z),



= +kπ (k∈Z).

故f

=

sin

=

sin

=

sin

-4-

= =-

sin ? =-1.

答案:-1 三、解答题(10~11 题各 15 分,12 题 16 分) 10.(1)化简: .

(2)化简:[2sin50°+sin10°(1+ 【解析】(1)原式=

tan10°)]?

.

=

=

= (2)原式=

=2cos2x. ? ?sin80°

=

?

cos10° =2 =2 [sin50°?cos10°+sin10°?cos(60°-10°)] sin(50°+10°)=2 ? = .
2

11.(2014? 绍兴模拟)已知函数 f(x)=3cos

+

sinω x- (ω >0)在一个周期内的图象如图所示,点 A 为图 π.

象的最高点,B,C 为图象与 x 轴的交点,且三角形 ABC 的面积为

-5-

(1)求ω 的值及函数 f(x)的值域. (2)若 f(x0)= ,x0∈ + ,求 f sinω x的值.

【解析】(1)f(x)=3? = = sin ,

又 S△ABC= 则ω =2. 则 f(x)=

|BC|=

π ,|BC|= = ,

sin 得 sin

,值域是[= ,

,

].

(2)由 f(x0)=

因为 得 cos 则f = =

<x0< ,所以 <2x0+ <π , =- , = sin

.
4 4

12.(能力挑战题)已知函数 f(x)=cos x-2sinxcosx-sin x. (1)求 f(x)的最小正周期. (2)求 f(x)的单调区间.
-6-

(3)若 x∈

,求 f(x)的最大值及最小值.
2 2 2 2

【解析】(1)f(x)=(cos x-sin x)(cos x+sin x)-sin2x =cos2x-sin2x= 所以最小正周期 T= cos =π . ,

(2)由 2kπ -π ≤2x+

≤2kπ ,k∈Z,

得 kπ - π ≤x≤kπ -

,k∈Z,

所以函数 f(x)的单调增区间为 (k∈Z).

由 2kπ ≤2x+

≤2kπ +π ,k∈Z.

得 kπ - π ≤x≤kπ + π ,k∈Z, 所以函数 f(x)的单调减区间为 (k∈Z).

(3)因为 0≤x≤

,所以

≤2x+



,

所以-1≤cos



,

所以-

≤f(x)≤1.

所以当 x=0 时,f(x)有最大值为 1, 当 x= π 时,f(x)有最小值为.

【误区警示】解决本题易求错 f(x)的范围而导致错解. 【加固训练】已知函数 f(x)=cos ω x2

sinω x?cosω x(ω >0)的最小正周期是π .

(1)求函数 f(x)的单调递增区间和对称中心. (2)若 A 为锐角三角形 ABC 的内角,求 f(A)的取值范围. 【解析】(1)依题意,得 f(x)= sin2ω x
-7-

=cos 因为 T=

+ , =π ,所以ω =1. + ,

所以 f(x)=cos

由-π +2kπ ≤2x+ ≤2kπ ,k∈Z,得

-

+kπ ≤x≤- +kπ ,k∈Z.

所以函数 f(x)的单调递增区间为 ,k∈Z.

令 2x+ = +kπ ,k∈Z,

所以 x=

+

,k∈Z.

所以对称中心为

,k∈Z.

(2)依题意,得 0<A< ,

所以 <2A+ < 所以-1≤cos 所以- ≤cos

, < , + <1, . , 则函数

所以 f(A)的取值范围为

【加固训练】 1.(2013 ?宁波模拟 ) 已知函数 f(x)=sinx+acosx 的图象的一条对称轴是 x= g(x)=asinx+cosx 的最大值是( A. C. B. D. )

-8-

【解析】选 B.由题意得 f(0)=f 所以 a=所以 a=- . ,g(x)=sinx+cosx

,

=

sin

,

所以 g(x)max=

.

2.若 f(x)=2tanx-

,则 f

的值为(

)

A.C.4

B.8 D.-4

【解析】选 B.f(x)=2tanx+

=2tanx+

=

=

,

所以 f

=

=8.

3.(2013 ?江西高考 )设 f(x)= 是 .

sin3x+cos3x,若对任意实数 x 都有 |f(x)|≤ a, 则实数 a 的取值范围

【解析】f(x)=2sin 所以 a≥2. 答案:a≥2

,其最大值为 2,

-9-


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