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高数三第11章PPT讲解


*§11.10 傅里叶级数复数形式
一、复数形式的标准形式
以2L为周期的函数的傅里叶级数为

a0 ? n? x n? x f ( x ) ? ? ? (an cos ? bn sin ), 2 n ?1 l l
1 l n? x an ? ?? l f ( x ) cos dx ( n ? 0,1,2,?) l l 1 l n? x bn ? ?? l f ( x ) sin dx ( n ? 1,2,3,?) l l

代入欧拉公式

e ?e cos t ? 2
it

? it

,

a0 ? f ( x ) ? ? ? (an cos ? bn sin ) 2 n ?1 l l
?

e ?e sin t ? , 2i n? x n? x
it

? it

n? x n? x ? a ? i n? x ? ibn ? i n?x ?? ?i ?i a0 ? e l ? e l ?? ? ? ?? n ?e l ? e l ? ? ? 2 ? ? 2 n?1? 2 ? ? ? ?? ? ? ?

? a n ? ibn i n?x a n ? ibn ? i n?x ? a0 ? ? ?? e l ? e l ? 2 n ?1 ? 2 2 ?
?

a0 令C 0 ? , C n ? an ? ibn , C ? n ? an ? ibn , 2 2 2

? ? C 0 ? ? ?C n n ?1? ?
?

n? x i e l
?

? C?n
i n? x l

n? x ? ?i e l

( n ? 1,2,3,?)

? ? ?

于是有

f ( x) ?

? C ne n? ??

, 傅里叶级数的复数形式

n? x ?i 1 l C n ? ? f ( x )e l dx ( n ? 0,?1,?2,?) 2l ? l

傅里叶系数的复数形式

例 设 f ( x ) 是周期为 2 的周期函数,它在 [?1,1) 上的表达式为 f ( x ) ? e 的傅氏级数.
?x

,将其展成复数形式

1 1 ?(1? in? ) x 1 1 ? x ? in?x 解 cn ? ? e ? e dx dx ? ??1 e ?1 2 2 1 1 ? in? ?1 ?? ? [e cos n? ? e cos n? ] 2 2 2 1? n ?

1 ? in? ? ( ?1) sinh 1, 2 2 1? n ?
n

1 ? in? in?x f ( x ) ? ? ( ? 1) sinh 1 ? e . 2 2 1? n ? n? ??
?? n

( x ? 2k ? 1, k ? 0,?1,?2,?)

二、小结
傅里叶级数的复数形式
傅里叶系数的复数形式
f ( x) ?

? C ne n? ??

?

i

n? x l

,

1 C n ? ?? l f ( x )e 2l
l

?i

n? x l

dx ( n ? 0,?1,?2,?)

注意:傅里叶级数的两种形式,本质上是一样 的.复数形式较简洁且只用一个算式计算系数.

练 习 题
设 f ( x ) 是周期为 2 的周期函数,它在[?1,1) 上的 表达式为 f ( x ) ? e ? x.试将 f ( x ) 展开成复数形式的傅 里叶级数.

练习题答案
( ?1)n (1 ? in? ) f ( x) ? ? sinh 1e in?x . 1 ? ( n? ) 2 n ? ??
?

( x ? 2k ? 1, k ? 0,?1,?2,?)


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