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高三一轮数学单元测试卷4 第四单元


高三一轮数学单元测试卷 4 第四单元 [三角函数]通,性质大集中
(时量:120 分钟 150 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.

1.函数 f (x) = | sin x+cos x |的最小正周期是 π π A. B. 4 2

C.π

D.2π

2.若 cos? ? 0, 且 sin 2? ? 0, 则角? 的终边所在象限是
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.若函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) 的图象(部分)如图所示,则 ?和? 的取值是
A. ? ? 1, ? ?

?
3

B. ? ? 1, ? ? ?

?
3
? 3

y 1
O

1 ? C. ? ? , ? ? 2 6

4.函数 y ? 2 sin(
A. [0,

?

1 ? D. ? ? , ? ? ? 2 6

2? 3

x

?
3

6

? 2 x)( x ? [0, ? ]) 为增函数的区间是[来源:学+科+网]
B. [

]

?
12

,

7? ] 12

C. [

?
3

,

5? ] 6

D. [

5? , ?] 6

5.定义在 R 上的函数 f (x) 既是偶函数又是周期函数.若 f (x) 的最小正周期是 ? , 且当
2 1 A. ? 2 x ? [0 ,

?

] 时, f ( x) ? sin x ,则 f (
B.

5? ) 的值为 3
C. ?

1 2

3 2

D.

3 2

6.锐角三角形的内角 A、B 满足 tan A-
A.sin 2A –cos B = 0 C.sin 2A – sin B = 0

1 = tan B,则有 sin 2 A
B.sin 2A + cos B = 0 D.sin2A+sinB=0

? 7.为了得到函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象,可以将函数 y ? cos 2 x 的图象 6

π π A.向右平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度 6 3 π π C.向左平移 个单位长度 D.向左平移 个单位长度 6 3 2 π cos x 8.当 0<x< 4 时,函数 f(x)= 的最小值是 ( ) cosxsinx-sin2x A.4 B.

1 2
π π

C.2 )

D.

1 4

9.已知函数 y =tan ?x 在(- 2 , 2 )内是减函数,则(

A.0 < ? ≤ 1 B.-1 ≤ ? < 0 C. ? ≥ 1 D. ? ≤ -1 10.设 y ? f (t ) 是某港口水的深度 y(米)关于时间 t(时)的函数,其中 0 ? t ? 24 .下 表是该港口某一天从 0 时至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系:

18 21 24 15[来 源:Zx xk.Co m] y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1 经长期观察,函数 y ? f (t ) 的图象可以近似地看成函数 y ? k ? A sin(?t ? ? ) 的图 象.下面的函数中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( t ? [0,24] ) ( ) A. y ? 12 ? 3 sin C. y ? 12 ? 3 sin

t

0

3

6

9

12

?
?
6

t
t

B. y ? 12 ? 3 sin(

?
6

t ??)
t?

12

D. y ? 12 ? 3 sin(

?

?
2

12

)

题 号

1

2

3

4

选择题答题卡 5[ 来 6 7[ 来 8 源 : 源:Z#xx#k.Com] 学科 网]

9

10

答 案

[ 来 源 : 学 科 网]

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分(15 小题每空 2 分),共 20 分.把答案填在横线 上. sin3α 13 11.设 α 为第四象限的角,若 sinα = 5 ,则 tan2α =_____________. 12.函数 y ? sin x ? arcsin x 的值域是 . nπ π 13.设 f(n)=cos( 2 +4 ),则 f(1)+f(2)+…+f(2006)= .

14.已知 tanα+cotα=-2,则 tannα+cotnα=______ . 15.函数 y=f(x)的图象与直线 x=a,x=b 及 x 轴所围成图形的面积称为函数 f(x)在[a,b]
π 2 上的面积.已知函数 y=sinnx 在[0, ]上的面积为 (n∈N*),则(i)函数 y=sin3x 在[0, n n 2π ]上的面积为 ; 3 π 4π (ii) 函数 y=sin(3x-π )+1 在[ , ]上的面积为 3 3 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16. (本题满分 12 分) ? ? 1 ? ? 已知 sin( ? 2? ) ? sin( ? 2? ) ? , ? ? ( , ), 求2 sin 2 ? ? tan ? ? cot ? ? 1 的值. 4 4 4 4 2

17. (本题满分 12 分) (2005 年上海春季高考题) 已知 tanα 是方程 x 2 ? 2 x sec? ? 1 ? 0 的两个根中较小的根,求 ? 的值.

[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

18.(本题满分 14 分) (2005 年湖南高考题)
已知在△ABC 中,sinA(sinB+cosB)-sinC=0,sinB+cos2C=0.求角 A、B、C 的大小.

19.(本题满分 14 分)(2005 年广东高考题)
6k -1 π 6k +1 化简 f(x)=cos( π+2x)+cos( π-2x)+2 3sin( +2x)(x∈R,k∈Z),并求函数 3 3 3 f(x)的值域和最小正周期.

[来源:Z.xx.k.Com]

20. (本题满分 14 分)(2005 年天津高考题)
某人在一山坡 P 处观看对面山项上的一座铁塔,如图所示,塔高 BC=80(米) ,塔所在 的山高 OB=220(米) ,OA=200(米) ,图中所示的山坡可视为直线 l 且点 P 在直线 l 1 上, l 与水平地面的夹角为 α,tanα= ,试问此人距水平地面多高时,观看塔的视角∠ 2 BPC 最大(不计此人的身高)

[来源:学,科,网]

21.(本题满分 14 分)
设关于 x 的函数 y ? 2 cos x ? 2a cos x ? (2a ? 1) 的最小值为 f (a ) .
2

⑴ 写出 f (a ) 的表达式;

⑵ 试确定能使 f (a ) ?

1 的 a 值,并求出此时函数 y 的最大值. 2

[三角函数]通,性质大集中参考答案 一、选择题(5 分×10=50 分) 题号 答案 1 C 2 D 3 C 4 C 5 D 6 A 7 B 8 A 9 B 10 A

二、填空题(4 分×5=20 分) 3 11.- 4

? ?? ? 12. ?? sin 1 ? , sin 1 ? ? 2 2? ?

13.- 2 14.2(-1)n

4 2 15. ;π+ 。 3 3

三、解答题(共 80 分) 16.解:由 sin(

?
4

? 2? ) ? sin(

?
4

? 2? ) ? sin(

?
4

? 2? ) ? cos(

?
4

? 2? )

1 ? 1 1 sin( ? 4? ) ? cos 4? ? , 2 2 2 4 1 ? ? 5? 得 cos 4? ? . 又 ? ? ( , ), 所以? ? . 2 4 2 12 ?
于是

sin 2 ? ? cos 2 ? ? 2 cos 2? ? ? cos 2? ? sin ? cos ? sin 2? 5? 5? 3 5 ? ?(cos 2? ? 2 cot 2? ) ? ?(cos ? 2 cot ) ? ?(? ? 2 3) ? 3. 6 6 2 2 2 sin 2 ? ? tan ? ? cot ? ? 1 ? ? cos 2? ?

17.解: ∵ tanα 是方程 x 2 ? 2 x sec ? ? 1 ? 0 的较小根, ∴ 方程的较大根是 cotα.[来源:学科网 ZXXK] ∵ tanα+cotα= ? 2 sec ? ,即 ∴ sin ? ? ?

1 2 ?? sin ? cos ? cos ?
…… 5 分

1 . 2

解得 ? ? 2k? ? 当 ? ? 2k? ?

7? ? ,或 ? ? 2k? ? , k ? Z . 6 6

…… 8 分

7? 3 (k ? Z) 时, tg? ? , ctg? ? 3 ; 6 3 ? 3 当 ? ? 2k? ? (k ? Z) 时, tg? ? ? , ctg? ? ? 3 ,不合题意. 6 3 7? , k ?Z . ∴ ? ? 2k? ? …… 12 分 6
18 . 解 法 一 由

sin A(sin B ? cos B) ? sin C ? 0



sin A sin B ? sin A cos B ? sin( A ? B) ? 0.
所 以

sin A sin B ? sin A cosB ? sin A cosB ? cos A sin B ? 0.



sin B(sin A ? cos A) ? 0.
因为 B ? (0, ? ), 所以 sin B ? 0 ,从而 cos A ? sin A.

3 . 从而 B ? C ? ? . 4 4 3 由 sin B ? cos 2C ? 0得 sin B ? cos 2( ? ? B ) ? 0. 4
由 A ? (0, ? ), 知 A ? 即 sin B ? sin 2 B ? 0.亦即 sin B ? 2 sin B cos B ? 0.

?

1 ? 5? ? ? 5? , B ? ,C ? . 所以 A ? , B ? , C ? . 2 3 12 4 3 12 3? 解法二:由 sin B ? cos 2C ? 0得 sin B ? ? cos 2C ? sin( ? 2C ). 2 3? ? 3? ? 由 0 ? B 、 c ? ? ,所以 B ? ? 2C或B ? 2C ? . 即 B ? 2C ? 或2C ? B ? . 2 2 2 2
由此得 cos B ? 由 sin A(sin B ? cos B ) ? sin C ? 0 得 sin A sin B ? sin A cos B ? sin( A ? B ) ? 0. 所以 sin A sin B ? sin A cos B ? sin A cos B ? cos A sin B ? 0. 即 sin B (sin A ? cos A) ? 0. 由 A ? (0, ? ), 知A ? 因为 sin B ? 0 ,所以 cos A ? sin A.

3 3? 不合要求. . 从而 B ? C ? ? ,知 B+2C= 4 4 2 1 ? 5? ? ? 5? 再由 2C ? B ? ? ,得 B ? , C ? . 所以 A ? , B ? , C ? . 2 3 12 4 3 12 ? ? ? 19.解: f ( x) ? cos(2k? ? ? 2 x) ? cos(2k? ? ? 2 x) ? 2 3 sin( ? 2 x) 3 3 3 ? ? ? 2 cos( ? 2 x) ? 2 3 sin( ? 2 x) 3 3

?

? 4 cos 2 x
所以函数 f(x)的值域为 ?? 4,4?,最小正周期 T ?

2?

?

?? 。

20.解:如图所示,建立平面直角坐标系,则 A(200,0) , B (0,220) , C (0,300) . 直线 l 的方程为 y ? ( x ? 200) tan ? ,即 y ? 设点 P 的坐标为 ( x, y ) ,则 P ( x,

x ? 200 ) ( x ? 200 ) 2 x ? 200 ? 300 x ? 800 2 ? 由经过两点的直线的斜率公式 k PC ? , x 2x x ? 200 ? 220 x ? 640 2 k PB ? ? . x 2x 由 直 线 PC 到 直 线 PB 的 角 的 公 式 得

x ? 200 . 2

y C B l O A
? P

x

k ? k PC tan BPC ? PB ? 1 ? k PB k PC

160 64 x 2x ? 2 x ? 800 x ? 640 x ? 288 x ? 160 ? 640 1? ? 2x 2x

?

64 ( x ? 200 ) 160 ? 640 x? ? 288 x
160 ? 640 ? 288 达到最小. x

要使 tan BPC 达到最大,只须 x ? 由均值不等式 x ?

160 ? 640 160 ? 640 时上式 ? 288 ? 2 160 ? 640 ? 288 .当且仅当 x ? x x 320 ? 200 取等号.故当 x ? 320 时 tan BPC 最大.这时,点 P 的纵坐标 y 为 y ? ? 60 . 2
,所以 tan BPC 最大时,?BPC 最大.故当此人距水平 2 地面 60 米高时,观看铁塔的视角 ?BPC 最大. 由此实际问题知, 0 ? ?BPC ? a a2 21. (1)f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x=1-2a-2acosx-2(1-cos2x)=2(cosx- )2- -2a-1。 2 2 当 a≥2 时,则 cosx=1 时,f(x)取最小值,即 f(a)=1-4a; a a2 当-2<a<2 时,则 cos x= 时,f(x)取最小值,即 f(a)=- -2a-1; 2 2 当 a≤-2 时,则 cosx=-1 时, f(x)取最小值,即 f(a)=1;

?

?1, a ? ?2, ? 1 ? 综合上述,有 f(a)= ? ? a 2 ? 2a ? 1, ?2 ? a ? 2, ? 2 ?1 ? 4a, a ? 2. ?
1 (2)若 f(a)= ,a 只能在[-2,2]内。 2 a2 1 解方程- -2a-1= ,得 a=-1,和 a=-3。因-1∈[-2,2],故 a=-1 为所求,此时 2 2 1 1 f(x)=2(cosx+ )2+ ;当 cosx=1 时,f(x)有最大值 5。 2 2


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