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含参不等式恒成立问题的解题策略


含参不等式恒成立问题的求解策略
“含参不等式恒成立问题”是近几年来高考命题的热点。它把不等式、函数、三角、 几何等内容有机地结合起来,其以覆盖知识点多,综合性强,解法灵活等特点而倍受高考 命题者的青睐。另一方面,在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”“化归与转化” 、 、 “数形结合”“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力,培养其思维的灵活性、 、 创造性都有着独到的作用。本节课就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。 孤立参数法 一、例题讲解 1、 孤立参数法(首选方法) 在给出的不等式中,如果能通过恒等变形分离出参数,即:若 a ? f ? x ? 恒成立,只须 求出 f ? x ? m a x ,则 a ? f ? x ? m a x ;若 a ? f ? x ? 恒成立,只须求出 f ? x ? m in ,则 a ? f ? x ? m in , 转化为函数求最值。 例1、 已知函数 f ? x ? ? lg ? x ?
? ? a ? ? 2?, 若对任意 x ? ? 2 , ? ? ? 恒有 f x ?

试确定 a 的 ?x? ? 0 ,

取值范围。

2、 转化为一次函数或二次函数恒成立的情况 例 2、若 x ? ? ? 2 , 2 ? 时,不等式 x ? a x ? 3 ? a 恒成立,求 a 的取值范围。
2

例 3、若不等式 2 x ? 1 ? m ? x 2 ? 1 ? 对满足 m ? 2 的所有 m 都成立,求 x 的取值范围。

3、 分类讨论思想 在给出的不等式中,如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边,则可利用 分类讨论的思想来解决。 例 4、已知函数 f(x)= a x ?
3

3 2

x ? 1( x ? R )
2

,其中 a>0. 若在区间 ? ?
?

?

1

1? 2 2? ? ,

上,

f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围.

4、 数形结合思想 数学家华罗庚曾说过: “数缺形时少直观,形缺数时难入微” ,这充分说明了数形结合 思想的妙处,在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道,函数图象和不等式 有着密切的联系: 1) f ( x ) ? g ( x ) ? 函数 f ( x ) 图象恒在函数 g ( x ) 图象上方; 2) f ( x ) ? g ( x ) ? 函数 f ( x ) 图象恒在函数 g ( x ) 图象下上方。 例 4.设 f ( x ) ?
a

? x

2

? 4x

, g (x) ?

4 3

x ? 1 ? a ,若恒有 f ( x ) ? g ( x ) 成立,求实数

的取值范围.

5、 利用集合与集合间的关系 在给出的不等式中,若能解出已知取值范围的变量,就可利用集合与集合之间的包含 关系来求解,即: ? m , n ? ? ? f ? a ? , g ? a ? ? ,则 f ? a ? ? m 且 g ? a ? ? n ,不等式的解即为实 ? ? 数 a 的取值范围。 例 5、当 x ? ?
?1 ? , 3 ? 时, lo g a x ? 1 恒成立,求实数 a 的取值范围。 ?3 ?

二、小结 上面介绍了含参不等式中恒成立问题几种解法,在解题过程中,要灵活运用题设条件 综合分析,选择适当方法准确而快速地解题。由上可见,含参不等式恒成立问题因其覆盖 知识点多,方法也多种多样,但其核心思想还是等价转化,抓住了这点,才能以“不变应 万变” ,当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结。 三、课后练习 1、已知 x ? ? ? ? ,1 ? 时,不等式 1 ? 2 x ? ? a ? a 2 ? ? 4 x ? 0 恒成立,求 a 的取值范围。

2、对任意 a ? [ ? 1,1 ] ,不等式 x ? ( a ? 4 ) x ? 4 ? 2 a ? 0 恒成立,求 x 的取值范围。
2

3、已知函数 y ? lg[ x ? ( a ? 1 ) x ? a ] 的定义域为 R,求实数 a 的取值范围。
2 2

函数 f ( x ) ? 取值范围。

x

2

? 2x ? a x

, x ? [1 , ?? ) , 若对任意 x ? [1, ?? ) , f ( x ) ? 0 恒成立, 求实数 a 的

4、已知 f ( x ) ? 7 x ? 28 x ? a , g ( x ) ? 2 x ? 4 x ? 40 x ,当 x ? [ ? 3 , 3 ] 时, f ( x ) ? g ( x ) 恒
2 3 2

成立,求实数 a 的取值范围。


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