当前位置:首页 >> 数学 >> 吉林省吉林市2015届高三上学期第一次摸底数学考试(文科)

吉林省吉林市2015届高三上学期第一次摸底数学考试(文科)

吉林省吉林市 2015 届高三上学期第一次摸底数学考试(文科)
一、选择题:本大题共 12 题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 个是符合题目要求. 1. (5 分)计算:i(i+1)=() A.i+1 B.i﹣1 C.﹣i+1 D.﹣i﹣1 2. (5 分)若 A={x|x≤1},B={x|x≥﹣1},则正确的是() A.A?B B.A∩B=? C.(?RA)∩B=B

D.(?RA)∪B=B

3. (5 分)已知条件 p:x>1 或 x<﹣3,条件 q:x>a,且 q 是 p 的充分而不必要条件,则 a 的取值范围是() A.a≥1 B.a≤1 C.a≥﹣3 D.a≤﹣3 4. (5 分)某程序图如图所示,该程序运行后输出的结果是()

A.3

B. 4

C. 5

D.6

5. (5 分)如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 .则该几何 体的俯视图可以是()

A.

B.

C.

D.

6. (5 分)将函数 f(x)=2sin( +

)的图象向左平移

个单位,再向下平移 1 个单位,得

到函数 g(x)的图象,则 g(x)的解析式为() A.g(x)=2sin( + C. g(x)=2sin( ﹣ )﹣1 )+1 B. g(x)=2sin( ﹣ D.g(x)=2sin( ﹣ )+1 )﹣1

7. (5 分)已知曲线 y= 在点 P(1,4)处的切线与直线 l 平行且距离为 程为() A.4x﹣y+9=0 或 4x﹣y+25=0 C. 4x+y+9=0 或 4x+y﹣25=0

,则直线 l 的方

B. 4x﹣y+9=0 D.以上都不对

8. (5 分)已知 () A.﹣2

,则

的值为

B . ﹣1

C. 1

D.2

9. (5 分)已知等差数列{an}的公差为 2,若前 17 项和为 S17=34,则 a12 的值为() A.8 B. 6 C. 4 D.2 10. (5 分) 如图, 平行四边形 ABCD 中, AB=2, AD=1, ∠A=60°, 点 M 在 AB 边上, 且 AM= AB, 则 等于()

A.﹣1

B. 1

C. ﹣

D.

11. (5 分)已知双曲线



=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线 y =2px 的焦点的距离为

2

4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(﹣2,﹣1) ,则双曲线的焦距为() A.2 B. 2 C. 4 D.4

12. (5 分)一个函数 f(x) ,如果对任意一个三角形,只要它的三边长 a,b,c 都在 f(x)的 定义域内,就有 f(a) ,f(b) ,f(c)也是某个三角形的三边长,则称 f(x)为“三角保型函 数”,给出下列函数: 2 ①f(x)= ;②f(x)=x ;③f(x)=2x;④f(x)=lgx, 其中是“三角保型函数”的是() A.①② B.①③ C.②③④ D.③④

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. (5 分)已知 x,y 满足不等式组 ,则目标函数 z=2x+y 的最大值为.

14. (5 分)已知直线 l⊥平面 α,直线 m?平面 β,则下列四个命题: ①α∥β?l⊥m; ②α⊥β?l∥m; ③l∥m?α⊥β; ④l⊥m?α∥β 其中正确命题的序号是.

15. (5 分)已知正项等比数列{an}的公比 q=2,若存在两项 am,an,使得 的最小值为.

=4a1,则 +

16. (5 分)若动直线 x=a 与函数 f(x)=sinxcosx 和 g(x)=cos x 的图象分别交于 M,N 两 点,则|MN|的最大值为.

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (10 分)已知数列{an}是公差大于零的等差数列,数列{bn}为等比数列,且 a1=1,b1=2, b2﹣a2=1,a3+b3=13 (Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式 (Ⅱ)设 cn=anbn+1,求数列{ }前 n 项和 Tn.

18. (12 分)已知△ ABC 中,a,b,c 为角 A,B,C 所对的边,3bcosA=ccosA+acosC. (Ⅰ)求 cosA 的值; (Ⅱ)若△ ABC 的面积为 2 ,a=3,求 b,c 的长. 19. (12 分)在某大学自主招生考试中,所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和 “阅读与表达”两个科目的考试,成绩分为 A,B,C,D,E 五个等级.某考场考生的两科考试 成绩的数据统计如图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为 B 的考生有 10 人.

(Ⅰ)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为 A 的人数; (Ⅱ)若等级 A,B,C,D,E 分别对应 5 分,4 分,3 分,2 分,1 分,求该考场考生“数学 与逻辑”科目的平均分; (Ⅲ)已知参加本考场测试的考生中,恰有两人的两科成绩均为 A.在至少一科成绩为 A 的 考生中,随机抽取两人进行访谈,求这两人的两科成绩均为 A 的概率. 20. (12 分)如图,多面体 AEDBFC 的直观图及三视图如图所示,M,N 分别为 AF,BC 的 中点. (1)求证:MN∥平面 CDEF; (2)求多面体 A﹣CDEF 的体积.

21. (12 分)已知椭圆 E: (Ⅰ)求椭圆 E 的方程;

+

=1(a>b>0)的离心率 e=

,并且经过定点 P(

, ) .

(Ⅱ)问是否存在直线 y=﹣x+m,使直线与椭圆交于 A、B 两点,满足 m 值,若不存在说明理由.

?

=

,若存在求

22. (12 分)已知函数 f(x)=x +ax ﹣a. (Ⅰ)求函数 f(x)的单调增区间; (Ⅱ)对任意 a≤﹣3,使得 f(1)是函数 f(x)的区间[1,b](b>1)上的最大值,求实数 b 的取值范围.

3

2

吉林省吉林市 2015 届高三上学期第一次摸底数学考试 (文 科)

参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 个是符合题目要求. 1. (5 分)计算:i(i+1)=() A.i+1 B.i﹣1 C.﹣i+1 D.﹣i﹣1 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 直接利用复数代数形式的乘法运算化简求值. 解答: 解:i(i+1)=﹣1+i. 故选:B. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题. 2. (5 分)若 A={x|x≤1},B={x|x≥﹣1},则正确的是() A.A?B B.A∩B=? C.(?RA)∩B=B 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 利用补集、并集的运算即可得出. 解答: 解:∵A={x|x≤1},B={x|x≥﹣1}, ∴?RA={x|x>1}, ∴?RA∪B=B. 故选:D. 点评: 本题考查了集合的运算性质,属于基础题. 3. (5 分)已知条件 p:x>1 或 x<﹣3,条件 q:x>a,且 q 是 p 的充分而不必要条件,则 a 的取值范围是() A.a≥1 B.a≤1 C.a≥﹣3 D.a≤﹣3 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 综合题;简易逻辑. 分析: 把充分性问题,转化为集合的关系求解. 解答: 解:∵条件 p:x>1 或 x<﹣3,条件 q:x>a,且 q 是 p 的充分而不必要条件 ∴集合 q 是集合 p 的真子集,q?P 即 a≥1 故选:A 点评: 本题考察了简易逻辑,知识融合较好. 4. (5 分)某程序图如图所示,该程序运行后输出的结果是()

D.(?RA)∪B=B

A.3

B. 4

C. 5

D.6

考点: 循环结构. 专题: 算法和程序框图. 分析: 由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 k 的值, 模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 解答: 解:当 S=1 时,满足进入循环的条件,执行完循环体后,S=2,k=2; 2 当 S=2 时,满足进入循环的条件,执行完循环体后,S=2 ,k=3; 2 4 当 S=2 时,满足进入循环的条件,执行完循环体后,S=2 ,k=4; 4 16 当 S=2 时,满足进入循环的条件,执行完循环体后,S=2 ,k=5; 16 当 S=2 时,不满足进入循环的条件, 故输出结果为:5, 故选:C 点评: 本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环 的方法解答.

5. (5 分)如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 .则该几何 体的俯视图可以是()

A.

B.

C.

D.

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 压轴题;图表型. 分析: 解法 1:结合选项,正方体的体积否定 A,推出正确选项 C 即可. 解法 2:对四个选项 A 求出体积判断正误;B 求出体积判断正误;C 求出几何体的体积判断正 误;同理判断 D 的正误即可. 解答: 解:解法 1:由题意可知当俯视图是 A 时,即每个视图是变边长为 1 的正方形,那么 此几何体是立方体,显然体积是 1,注意到题目体积是 ,知其是立方体的一半,可知选 C. 解法 2:当俯视图是 A 时,正方体的体积是 1; 当俯视图是 B 时, 该几何体是圆柱, 底面积是 当俯视是 C 时,该几何是直三棱柱, 故体积是 , , 高为 1, 则体积是 ;

当俯视图是 D 时,该几何是圆柱切割而成, 其体积是 .

故选 C. 点评: 本题是基础题,考查几何体的三视图的识别能力,作图能力,依据数据计算能力; 注意三视图的投影规则是主视、俯视 长对正;主视、左视高平齐,左视、俯视 宽相等.

6. (5 分)将函数 f(x)=2sin( +

)的图象向左平移

个单位,再向下平移 1 个单位,得

到函数 g(x)的图象,则 g(x)的解析式为() A.g(x)=2sin( + C. g(x)=2sin( ﹣ )﹣1 )+1 B. g(x)=2sin( ﹣ D.g(x)=2sin( ﹣ )+1 )﹣1

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据平移变换的法则﹣﹣“左加右减,上加下减”,我们先求出将函数 y=2sin( + 的图象先向左平移 )

个单位的图象对应的函数的解析式, 再求出再向下平移 1 个单位后得到

图象的解析式即可得到答案. 解答: 解:函数 y=2sin( + 可以得到函数 y=2sin[ (x+ )的图象先向左平移 )+ ]=2sin( + 个单位,

)的图象

再向下平移 1 个单位后可以得到 y=2sin( + 故选:A.

)﹣1 的图象

点评: 本题考查的知识点是函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,其中熟练掌握函数图象的平 移变换的法则﹣﹣“左加右减,上加下减”,是解答此类问题的关键. 7. (5 分)已知曲线 y= 在点 P(1,4)处的切线与直线 l 平行且距离为 程为() A.4x﹣y+9=0 或 4x﹣y+25=0 C. 4x+y+9=0 或 4x+y﹣25=0 ,则直线 l 的方

B. 4x﹣y+9=0 D.以上都不对

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 分析: 先求出曲线 y= 在点 P(1,4)处的切线方程,再求出与直线 l 平行且距离为 直线 l 的方程. 解答: 解:因为曲线 y= ,所以 y′=﹣ , 的

所以在点 P(1,4)处的切线的斜率为﹣4,方程为 4x+y﹣8=0, 与直线 l 平行且距离为 的直线方程为 4x+y+c=0,则 = ,

所以 c=9 或﹣25, 因此直线的方程为 4x+y+9=0 或 4x+y﹣25=0, 故选 C. 点评: 本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程,考查直线方程,考查学生的计算能力, 比较基础.

8. (5 分)已知 () A.﹣2

,则

的值为

B . ﹣1

C. 1

D.2

考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的值. 专题: 计算题. 分析: 欲求 的值,可分别求 f(﹣ )和 f( )的值,前者利用分段函

数的第一个式子求解,后者利用第二个式子后转化为第一个式子求解. 解答: 解:∵f(﹣ )=cos(﹣ π)=﹣cos π=﹣ . 又∵f( )=f( )+1=f(﹣ )+2=cos(﹣ π)+2=﹣cos π+2=﹣ +2. ∴则 故选 C. 的值为 1.

点评: 根据题意,利用函数的解析式,求得分段函数的函数值,本题是利用解析式解决求 值的问题,属于基础题. 9. (5 分)已知等差数列{an}的公差为 2,若前 17 项和为 S17=34,则 a12 的值为() A.8 B. 6 C. 4 D.2 考点: 等差数列的前 n 项和;等差数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: 由等差数列{an}的前 17 项和为 S17=34 可得 的等差中项可求出 a9,再根据 a9 和 a12 的关系即可得解. 解答: 解:∵等差数列{an}的前 17 项和为 S17=34 ∴ =34 =34 再结合 a9 为 a1,a17

∴a1+a17=4 ∵a1+a17=2a9 ∴a9=2, , 等差数列{an}的前 17 项和为 S17=34∴a12=a9+(12﹣9)×2 ∴a12=8 故答案选 A 点评: 本题主要考查了利用 n 项和公式求数列中的项. 求解本题的关键是根据等差数列{an} 的前 17 项和为 S17=34 得出 a9=2 然后再利用 a9 和 a12 的关系即可求解. 10. (5 分) 如图, 平行四边形 ABCD 中, AB=2, AD=1, ∠A=60°, 点 M 在 AB 边上, 且 AM= AB, 则 等于()

A.﹣1

B. 1

C. ﹣

D.

考点: 向量在几何中的应用;平面向量数量积的运算. 专题: 计算题. 分析: 由题意可得, = ,代入 ,整理可求 =( )?( )

解答: 解:∵AM= AB,AB=2,AD=1,∠A=60°,

∴ ∴ = = =1+ ×4 =( ) ?( )

=1 故选 B 点评: 本题主要考查了向量得数量积的基本运算、向量的加法的应用,属于向量知识的简 单应用.

11. (5 分)已知双曲线



=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线 y =2px 的焦点的距离为

2

4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(﹣2,﹣1) ,则双曲线的焦距为() A.2 B. 2 C. 4 D.4 考点: 双曲线的简单性质;直线与圆锥曲线的关系. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据题意,点(﹣2,﹣1)在抛物线的准线上,结合抛物线的性质,可得 p=4,进而 可得抛物线的焦点坐标,依据题意,可得双曲线的左顶点的坐标,即可得 a 的值,由点(﹣2, ﹣1)在双曲线的渐近线上,可得渐近线方程,进而可得 b 的值,由双曲线的性质,可得 c 的 值,进而可得答案. 解答: 解:根据题意,双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(﹣2,﹣1) , 即点(﹣2,﹣1)在抛物线的准线上,又由抛物线 y =2px 的准线方程为 x=﹣ ,则 p=4, 则抛物线的焦点为(2,0) ; 则双曲线的左顶点为(﹣2,0) ,即 a=2; 点(﹣2,﹣1)在双曲线的渐近线上,则其渐近线方程为 y=± x, 由双曲线的性质,可得 b=1; 则 c= ,则焦距为 2c=2 ; 故选 B. 点评: 本题考查双曲线与抛物线的性质,注意题目“双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的 交点坐标为(﹣2,﹣1)”这一条件的运用,另外注意题目中要求的焦距即 2c,容易只计算到 c,就得到结论. 12. (5 分)一个函数 f(x) ,如果对任意一个三角形,只要它的三边长 a,b,c 都在 f(x)的 定义域内,就有 f(a) ,f(b) ,f(c)也是某个三角形的三边长,则称 f(x)为“三角保型函 数”,给出下列函数:
2

①f(x)= ;②f(x)=x ;③f(x)=2x;④f(x)=lgx, 其中是“三角保型函数”的是() A.①② B.①③ C.②③④

2

D.③④

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用“保三角形函数”的概念,对所给的四个函数一一验证,能求出结果. 解答: 解:任给三角形,设它的三边长分别为 a,b,c,则 a+b>c,不妨假设 a≤c,b≤c, 对于①,f(x)= ,由 a+b>c,可得 a+2 +b>c, 两边开方得 + > ,因此函数 f(x)= 是“保三角形函数”. 2 2 2 2 对于②,f(x)=x ,3,3,5 可作为一个三角形的三边长,但 3 +3 <5 , 2 2 2 2 不存在三角形以 3 ,3 ,5 为三边长,故 f(x)=x 不是“保三角形函数”. 对于③,f(x)=2x,由于 f(a)+f(b)=2(a+b)>2c=f(c) , 所以 f(x)=2x 是“保三角形函数”. 对于④,f(x)=lgx,1,2,2 可以作为一个三角形的三边长, 但 lg1=0,不能作三角形边长,故 f(x)=lgx 不是“保三角形函数”. 故选: B. 点评: 本题考查“保三角形函数”的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意函数性质的合 理运用. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. (5 分)已知 x,y 满足不等式组 ,则目标函数 z=2x+y 的最大值为 6.

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,即可求最大值. 解答: 6 解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分) . 由 z=2x+y 得 y=﹣2x+z, 平移直线 y=﹣2x+z, 由图象可知当直线 y=﹣2x+z 经过点 A 时,直线 y=﹣2x+z 的截距最大, 此时 z 最大. 由 ,解得 ,即 A(2,2) ,

代入目标函数 z=2x+y 得 z=2×2+2=6. 即目标函数 z=2x+y 的最大值为 6. 故答案为:6.

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思 想是解决此类问题的基本方法. 14. (5 分)已知直线 l⊥平面 α,直线 m?平面 β,则下列四个命题: ①α∥β?l⊥m; ②α⊥β?l∥m; ③l∥m?α⊥β; ④l⊥m?α∥β 其中正确命题的序号是①③. 考点: 平面的基本性质及推论. 专题: 计算题. 分析: 直线 l⊥平面 α,直线 m?平面 β,当 α∥β 有 l⊥m,当 α⊥β 有 l∥m 或 l 与 m 异面 或相交,当 l∥m 有 α⊥β,当 l⊥m 有 α∥β 或 α∩β,得到结论 解答: 解:直线 l⊥平面 α,直线 m?平面 β, 当 α∥β 有 l⊥m,故①正确 当 α⊥β 有 l∥m 或 l 与 m 异面或相交,故②不正确 当 l∥m 有 α⊥β,故③正确, 当 l⊥m 有 α∥β 或 α∩β,故④不正确, 综上可知①③正确, 故答案为:①③ 点评: 本题考查平面的基本性质即推论,本题解题的关键是看出在所给的条件下,不要漏 掉其中的某一种位置关系,本题是一个基础题.

15. (5 分)已知正项等比数列{an}的公比 q=2,若存在两项 am,an,使得 的最小值为 .

=4a1,则 +

考点: 基本不等式;等比数列的性质. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 正项等比数列{an}的公比 q=2,由于存在两项 am,an,使得 =4a1,可得

=4a1,化为 m+n=6.再利用“乘 1 法”和基本不等式的性质即可得出.

解答: 解:正项等比数列{an}的公比 q=2, ∵存在两项 am,an,使得 ∴ ∵a1≠0, m+n﹣2 4 ∴2 =2 , ∴m+n=6. 则 + = (m+n) ( 取等号. ∴ + 的最小值为 . 故答案为: . 点评: 本题考查了等比数列的通项公式、“乘 1 法”和基本不等式的性质,考查了推理能力和 计算能力,属于中档题. 16. (5 分)若动直线 x=a 与函数 f(x)=sinxcosx 和 g(x)=cos x 的图象分别交于 M,N 两 点,则|MN|的最大值为 .
2

=4a1, =4a1,

)=

= ,当且仅当 n=2m=4 时

考点: 二倍角的余弦;二倍角的正弦;三角函数的最值. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: 首先化简 f(x) 、g(x) ,然后根据动直线 x=a 与函数 f(x)=sinxcosx 和函数 g(x) =cos x 的图象分别交于 A,B 两点,可得|AB|=|f(x)﹣g(x)|,将两个函数的解析式代入化 简为正弦型函数,再由正弦型函数的性质即可得到结论. 解答: 解:f(x)=sinxcosx= sin2x,g(x)=cos x= cos2x 所以|AB|=|f(x)﹣g(x)| =| sin2x﹣( cos2x = |sin(2x﹣ )﹣ )| |
2 2



则 sin(2x﹣

)=﹣1 时, .

|AB|的最大值为: 故答案为:

点评: 本题主要考查了三角函数的二倍角公式,正弦函数、余弦函数的图象和性质,属于 中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. (10 分)已知数列{an}是公差大于零的等差数列,数列{bn}为等比数列,且 a1=1,b1=2, b2﹣a2=1,a3+b3=13 (Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式 (Ⅱ)设 cn=anbn+1,求数列{ }前 n 项和 Tn.

考点: 数列的求和;等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由已知得: (Ⅱ)利用裂项求和法能求出数列{ ,由此能求出数列{an}和{bn}的通项公式. }前 n 项和 Tn.

解答: (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)设数列{an}的公差为 d(d>0) ,数列{bn}的公比为 q 由已知得: ,

解得:

(3 分)

因为 d>0,所以 d=2,q=2, ∴ 即 (Ⅱ) . (6 分)

=

. (10 分)

点评: 本题考查数列的通项公式的求法,考查数列的前 n 项和的求法,解题时要认真审题, 注意向量法的合理运用. 18. (12 分)已知△ ABC 中,a,b,c 为角 A,B,C 所对的边,3bcosA=ccosA+acosC. (Ⅰ)求 cosA 的值; (Ⅱ)若△ ABC 的面积为 2 ,a=3,求 b,c 的长. 考点: 正弦定理. 专题: 解三角形.

分析: (Ⅰ)已知等式利用正弦定理化简,再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式 变形,由 sinB 不为 0 求出 cosA 的值即可; (Ⅱ)由 cosA 的值求出 sinA 的值,利用三角形面积公式列出关系式,把已知面积与 sinA 的 值代入求出 bc=6,再利用余弦定理列出关系式,把 a,cosA 的值代入,利用完全平方公式变 形,把 bc 的值代入求出 b+c=5,联立求出 b 与 c 的值即可. 解答: 解: (Ⅰ)由正弦定理化简 3bcosA=ccosA+acosC 化简得: 3sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC, 整理得:3sinBcosA=sin(A+C)=sinB, ∵sinB≠0, ∴cosA= ; (Ⅱ)∵cosA= ,A 为三角形内角, ∴sinA= ∴S△ ABC= bcsinA=
2 2

=

, bc=2
2

,即 bc=6①,
2 2 2

由余弦定理得:a =b +c ﹣2bccosA=b +c ﹣ bc,即 9=(b+c) ﹣2bc﹣ bc, 把 bc=6 代入得:b+c=5②, 联立①②,解得:b=2,c=3 或 b=3,c=2. 点评: 此题考查了正弦定理,三角形面积公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦 定理是解本题的关键. 19. (12 分)在某大学自主招生考试中,所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和 “阅读与表达”两个科目的考试,成绩分为 A,B,C,D,E 五个等级.某考场考生的两科考试 成绩的数据统计如图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为 B 的考生有 10 人.

(Ⅰ)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为 A 的人数; (Ⅱ)若等级 A,B,C,D,E 分别对应 5 分,4 分,3 分,2 分,1 分,求该考场考生“数学 与逻辑”科目的平均分; (Ⅲ)已知参加本考场测试的考生中,恰有两人的两科成绩均为 A.在至少一科成绩为 A 的 考生中,随机抽取两人进行访谈,求这两人的两科成绩均为 A 的概率. 考点: 众数、中位数、平均数;古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计.

分析: (Ⅰ)根据“数学与逻辑”科目中成绩等级为 B 的考生人数,结合样本容量=频数÷频 率得出该考场考生人数,再利用频率和为 1 求出等级为 A 的频率,从而得到该考场考生中“阅 读与表达”科目中成绩等级为 A 的人数. (Ⅱ)利用平均数公式即可计算该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分. (Ⅲ)通过列举的方法计算出选出的 2 人所有可能的情况及这两人的两科成绩等级均为 A 的 情况;利用古典概型概率公式求出随机抽取两人进行访谈,这两人的两科成绩等级均为 A 的 概率. 解答: 解: (Ⅰ)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为 B 的考生有 10 人, 所以该考场有 10÷0.25=40 人, 所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为 A 的人数为: 40×(1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025)=40×0.075=3 人; (Ⅱ)该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为: ×[1×(40×0.2)+2×(40×0.1)+3×(40×0.375)+4×(40×0.25)+5×(40×0.075)]=2.9;

(Ⅲ)因为两科考试中,共有 6 人得分等级为 A,又恰有两人的两科成绩等级均为 A, 所以还有 2 人只有一个科目得分为 A, 设这四人为甲,乙,丙,丁,其中甲,乙是两科成绩都是 A 的同学, 则在至少一科成绩等级为 A 的考生中,随机抽取两人进行访谈,基本事件空间为: Ω={{甲,乙},{甲,丙},{甲,丁},{乙,丙},{乙,丁},{丙,丁}},一共有 6 个基本事件. 设“随机抽取两人进行访谈,这两人的两科成绩等级均为 A”为事件 B, 所以事件 B 中包含的基 本事件有 1 个, 则 P(B)= . 点评: 本小题主要考查统计与概率的相关知识,具体涉及到频率分布直方图、平均数及古 典概型等内容. 20. (12 分)如图,多面体 AEDBFC 的直观图及三视图如图所示,M,N 分别为 AF,BC 的 中点. (1)求证:MN∥平面 CDEF; (2)求多面体 A﹣CDEF 的体积.

考点: 直线与平面平行的判定;由三视图还原实物图;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1)通过三视图说明几何体的特征,证明 MN 平行平面 CDEF 内的直线 BC,即可 证明 MN∥平面 CDEF; (2)说明四边形 CDEF 是矩形,AH⊥平面 CDEF,然后就是求多面体 A﹣CDEF 的体积.

解答: 解: (1)证明:由多面体 AEDBFC 的三视图知,三棱柱 AED﹣BFC 中,底面 DAE 是等腰 直角三角形,DA=AE=2,DA⊥平面 ABEF,侧面 ABFE,ABCD 都是边长为 2 的正方形. 连接 EB,则 M 是 EB 的中点, 在△ EBC 中,MN∥EC, 且 EC?平面 CDEF,MN?平面 CDEF, ∴MN∥平面 CDEF. (2)因为 DA⊥平面 ABEF,EF?平面 ABEF,∴EF⊥AD, 又 EF⊥AE,所以,EF⊥平面 ADE, ∴四边形 CDEF 是矩形, 且侧面 CDEF⊥平面 DAE 取 DE 的中点 H,∵DA⊥AE,DA=AE=2,∴ , 且 AH⊥平面 CDEF. 所以多面体 A﹣CDEF 的体积 .

点评: 本题是中档题,考查直线与平面平行的证明方法,几何体的体积的求法,考查计算 能力.

21. (12 分)已知椭圆 E: (Ⅰ)求椭圆 E 的方程;

+

=1(a>b>0)的离心率 e=

,并且经过定点 P(

, ) .

(Ⅱ)问是否存在直线 y=﹣x+m,使直线与椭圆交于 A、B 两点,满足 m 值,若不存在说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)由已知条件推导出 且

?

=

,若存在求

,由此能求出椭圆 E 的方程.

(Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由 系数的关系求解即可得出 m 的值. 解答: 解(Ⅰ)由题意: 且

?

=

得,x1x2+y1y2=

,联立方程组利用根与

,又 c =a ﹣b

2

2

2

解得:a =4,b =1,即:椭圆 E 的方程为 (Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)

2

2

(1)

(*)

所以

=

由 得



又方程 (*) 要有两个不等实根, 所以 m=±2. 点评: 本题主要考查椭圆方程及性质的应用,考查学生直线与椭圆位置关系的判断及运算 求解能力,注意运用根与系数的关系简化运算,属于中档题. 22. (12 分)已知函数 f(x)=x +ax ﹣a. (Ⅰ)求函数 f(x)的单调增区间; (Ⅱ)对任意 a≤﹣3,使得 f(1)是函数 f(x)的区间[1,b](b>1)上的最大值,求实数 b 的取值范围. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)求导数,利用导数大于 0,求函数 f(x)的单调增区间; (Ⅱ)无论 ,还是 ,只需 f(1)≥f(b)就能使得 f(1)是函数 f(x)在
3 2

区间[1,b](b>1)上的最大值,即可求实数 b 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ) ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2 分) 当 a=0,f'(x)≥0,函数递增区间是(﹣∞,+∞) ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

当 a>0,递增区间是 当 a<0,递增区间是 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) (Ⅱ) 因为 a≤﹣3,所以 所以无论 ,还是 ,只需 f(1)≥f(b)就能使得 f(1)是函数 f(x)在区

间[1,b](b>1)上的最大值,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣(8 分) 化简得 b +ab ﹣a﹣1≤0 2 3 2 3 令 g(a)=(b ﹣1)a+b ﹣1,∵b>1,∴g(﹣3)=﹣3(b ﹣1)+b ﹣ 1≤0 所以 b 的取值范围是 .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分) 点评: 本题考查利用导数求闭区间上函数的最值,考查利用导数研究函数的单调性,属于 中档题.
3 2


友情链接:学习资料共享网 | 兰溪范文 | 伤城文章网 | 酷我资料网 | 省心范文网 | 海文库
| 夏兰阅读之家 | 湛芳阅读吧 | 芸芸聚合阅读网 | 小雨中文吧 | 采莲中文阅读平台 | 晏然中文看书网 | 浩慨阅读小屋网 | 碧菡阅读平台 | 采南中文网 | 星星小说阅读网 | 子怀平台 | 霞姝中文阅读之家 | 妞妞阅读吧 | 密思阅读家 | 希月阅读吧 | 海女中文阅读吧 | 俊迈中文阅读网 | 婉秀中文网 | 湘君看书网 | 隽雅阅读网 | 希彤阅读之家 | 阳煦阅读吧323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 644
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:3088529994@qq.com