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云南省昆明一中2014届高三开学考试 数学理 word版含答案


昆明第一中学 2014 届高三开学考试

数学(理)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 4 页,第Ⅱ卷 5 至 8 页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。满分 150 分,考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题 卡上填写清楚,并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号,在规定 的位置贴好条形码。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答在试卷上的答案无效。

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.若复数 z ? m(m ? 1) ? (m ? 1)i 是纯虚数,其中 m 是实数,则 A. i 2. 已知 sin( x ? A. ? B. ?i C. 2i

1 = z D. ? 2i

?
4

)?

7 25

3 ,则 sin 2x 的值为 5 9 7 B. C. 25 25

D.

16 25

3.公比不为 1 等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 ?3a1 , ? a2 , a3 成等差数列.若 a1 ? 1 , 则 S4 ? A. ?20 B. 0 C. 7 D. 40

4.如图,若一个空间几何体的三视图中,正视图和侧视图都是直 角三角形,其直角边长均为 1,则该几何体的表面积为 A. 1? 2 B. 2 ? 2 2 C.
正视图 侧视图

1 3

D. 2 ?

2

俯视图

5.变量 U 与 V 相对应的一组样本数据为 (11.4) , (2, 2.2) , (3 ,3) , (4,3.8) ,由上述样本 , 数据得到 U 与 V 的线性回归分析, R 表示解释变量对于预报变量变化的贡献率,则
2

R2 =
A.

3 5

B.

4 5
y
2 1

C.1

D.3

6.已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? a cos ax 的图象可能是
y
2 1

y
? 2

2 1

y
2 1

O
-1

? 2

?

x

O
-1

?

x

O
-2

? 2

?

x

O ?
-2

?

x

2

A.

B.

C.

D.

7.某班有 24 名男生和 26 名女生,数据 a1 , a2 ,┅, a50 是 该班 50 名学生在一次数学学业水平模拟考试的成绩,下面的 程序用来同时统计全班成绩的平均分:A,男生平均分:M, 女生平均分:W;为了便于区别性别,输入时,男生的成绩用 正数,女生的成绩用其成绩的相反数.那么 在图中空白的判断框和处理框中, 应分别填入下列四个选项中 的

M ?W 50 M ?W C. T ? 0 ? , A ? 50
A. T ? 0 ? , A ?

M ?W 50 M ?W D. T ? 0 ? , A ? 50
B. T ? 0 ? , A ?

2 8 . 若 曲 线 f ( x) ? a cos x 与 曲 线 g ( x) ? x ? bx? 1在 交 点

(0,m )处有公切线, 则 a ? b ?
A. ?1 C. 1 B. 0 D. 2

9.已知函数 f ( x) ? ?

?? x 2 ? 4 x, x ? 0 ,若 f ?a ? 2? ? f (a) ? 0 ,则实数 a 的取值范围是 2 ? x ? 4 x, x ? 0
B. a ? 1 D. a ? 1

A. a ? ?1 ? 3 或 a ? ?1 ? 3 C. a ? 3 ? 3 或 a ? 3 ? 3

10.已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? an?1 ( n ? 2 ), a1 ? 1 , a2 ? 3 ,记 Sn ? a1 ? a2 ? ?? an , 则下列结论正确的是 A. a100 ? ?1 , S100 ? 5 C. a100 ? ?3 , S100 ? 2 B. a100 ? ?3 , S100 ? 5 D. a100 ? ?1 , S100 ? 2

11. 在平面直角坐标系 xOy 中, 抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,M 是抛物线 C 上 的点,若 ?OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切,且该圆面积为 9? ,则 p ? D. 8 1 x 12. 设函数 f ( x) 满足 f (? x) ? f ( x), 且当 x ? 0 时,f ( x ) ? ( ) , 又函数 g ( x) ? x sin ? x , 4 C. 6 则函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 ? ? A. 3 B. 4 A. 2 B. 4

? 1 ? , 2 上的零点个数为 ? 2 ? ?
C. 5 D. 6

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都 必须做答。第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在答题卡上。

?x ? y ?1 ? 0 ? 13.变量 x , y 满足条件 ? x ? y ? 0 ,求 2x ? y 的最大值为 ?x ? 0 ?
14.已知 F (c, 0) 是双曲线 C : 与圆 E : ( x ? c) ? y ?
2 2



x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0 , b ? 0) 的右焦点,若双曲线 C 的渐近线 a 2 b2

1 2 c 相切,则双曲线 C 的离心率为 . 2 ? ? ? ? 15.已知向量 a, b 的夹角为 120 ? ,且 a ? 1, b ? 2 ,则向量 a ? b 在向量 a ? b 方向上的投
影是 .

16. 已知 A 、B 、C 、D 四点在半径为

29 的球面上, AC ? BD ? 13, AD ? BC ? 5 , 且 2

. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,角 A , B ,C 的对边分别为 a ,b , c , 若 a cos (Ⅰ) 求证: a 、 b 、 c 成等差数列; (Ⅱ) 若 ?B ? 60? , b ? 4 ,求 ?ABC 的面积. 18. (本小题满分 12 分) 气象部门提供了某地今年六月份(30 天)的日最高气温的统计表如下: 22℃ ? 28 <t 28℃ ? 32 <t 日最高气温 t (单 t ? 22℃ ℃ ℃ 位:℃ ) 天数 6 12
2

AB ? CD ,则三棱锥 D ? ABC 的体积是

C A 3 ? c cos2 ? b . 2 2 2

t ? 32 ℃
Z

Y

由于工作疏忽,统计表被墨水污染,Y 和 Z 数据不清楚,但气象部门提供的资料显示, 六月份的日最高气温不高于 32℃ 的频率为 0.9. 某水果商根据多年的销售经验,六月份的日最高气温 t (单位:℃ )对西瓜的销售影响如 下表: 22℃ ? 28 <t 28℃ ? 32 <t 日最高气温 t (单 t ? 22℃ t ? 32 ℃ ℃ ℃ 位:℃ ) 日销售额 X (千元) 2 5 6 8

(Ⅰ) 求 Y , Z 的值; (Ⅱ) 若视频率为概率,求六月份西瓜日销售额的期望和方差; (Ⅲ) 在日最高气温不高于 32℃ 时,求日销售额不低于 5 千元的概率.

P
19. (本小题满分 12 分) 如 图, 在四 棱锥 P ? ABCD 中 , ABCD 为 平 行四 边形 ,且 BC ? 平 面 PAB ,

PA ? AB , M 为 PB 的中点, PA ? AD ? 2 .
(Ⅰ) 求证: PD ?? 平面AMC ; (Ⅱ) 若 AB ? 1 , 求二面角 B ? AC ? M 的余弦值.

M D A

20. (本小题满分 12 分)

C 1 已知平面内与两定点 A(2, 0) , B(?2, 0) 连线的斜率之积等于 ? 的点 P 的轨迹为曲 4
线 C1 ,

B

椭圆 C2 以坐标原点为中心,焦点在 y 轴上,离心率为 (Ⅰ)求 C1 的方程;

5 . 5

(Ⅱ)若曲线 C1 与 C2 交于 M 、 N 、 P 、 Q 四点,当四边形 MNPQ 面积最大时,求椭 圆 C2 的方程及此四边形的最大面积. 21.(本小题满分 12 分) 设 f ( x) ? ln( x ? 1) ? ax ( a ? R 且 a ? 0 ). (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)若 a ? 1 ,证明: x ? (0,5) 时, f ( x ) ?

9x 成立. x ?1

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时 请写清题号。 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,已知 PA 与圆 O 相切于点 A ,直径 BC ? OP ,连接 AB 交 PO 于点 D . C (Ⅰ)求证: PA ? PD ; A (Ⅱ)求证: AC ? AP ? AD ? OC .

O
D

P

B

23.本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程 已知曲线 C 的参数方程是 ?

? x ? a cos ? ? ( ? 为参数 , a ? 0 )与直线 l 的参数方程是 ? y ? 3 sin ? ?

?x ? 3 ? t ? ? y ? ?1 ? t
( t 为参数)有一个公共点在 x 轴上.以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立坐标 系. (Ⅰ)求曲线 C 普通方程;

B (Ⅱ)若点 A( ?1 , ? ) 、 ( ? 2 , ? ?

2? 4? ) 、 ( ?3 , ? ? C ) 在曲线 C 上,求 3 3

1 OA
2

?

1 OB
2

?

1 OC
2

的值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4 ? 5 :不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 3 ? x ? a (a ? 0) . (Ⅰ)当 a ? 4 时,已知 f ( x) ? 7 ,求 x 的取值范围; (Ⅱ)若 f ( x) ? 6 的解集为 x | x ? ?4或x ? 2 ,求 a 的值.

?

?

参考答案
一.选择题: 1. A 2. B 7. D 8. C 二、填空题: 13.

3. A 9.D

4. D 10. A

5. C 11. B 16. 8

6.C 12. C

1 2

14. 2

15. ? 3

三、解答题: 17.解:证明: (Ⅰ)证法一:

a cos 2

C A 1 ? cos C 1 ? cos A 3 ? c cos 2 ? a ? ?c? ? b 2 2 2 2 2

即 a(1 ? cos C ) ? c(1 ? cos A) ? 3b 由正弦定理得:

sin A ? sin A cos C ? sin C ? cos A sin C ? 3sin B
即 sin A ? sin C ? sin( A ? C ) ? 3sin B ∴ sin A ? sin C ? 2sin B 由正弦定理得: 整理得: a ? c ? 2b 故 a、b、c 成等差数列. 证法二: ∵ a cos
2

…… 6 分

C A 1 ? cos C 1 ? cos A 3 ? c cos 2 ? a ? ?c? ? b 2 2 2 2 2

∴ a ? c ? (a cos C ? c cos A) ? 3b ∴ a ? c ? (a ?

a 2 ? b2 ? c 2 b2 ? c 2 ? a 2 ?c? ) ? 3b 2ab 2bc

整理得: a ? c ? 2b 故 a 、 b 、 c 成等差数列.
2 2 2 解: (Ⅱ)由 ?B ? 60? , b ? 4 及余弦定理得: 4 ? a ? c ? 2ac cos60?

( ∴ a ? c ) ? 3ac ? 16
2
2 又由(1)知 a ? c ? 2b ,代入上式得 4b ? 3ac ? 16 ,解得 ac ? 16

∴ ?ABC 的面积 S ?

1 1 ac sin B ? ac sin 60o ? 4 3 . 2 2
o

…… 12 分

18.解:(Ⅰ) 由已知得: P(t ? 32 C ) ? 0.9

? P(t ? 32 oC) ? 1 ? P(t ? 32 oC) ? 0.1
? Z ? 30 ? 0.1 ? 3

Y ? 30 ? (6 ? 12 ? 3) ? 9 .
(Ⅱ) P(28 C ? t ? 32 C ) ?
o o

…… 4 分

9 ? 0.3 30
6 0.3 8 0.1

六月份西瓜销售额 X 的分布列为

X

2 0.2

5 0.4

P

? E ( X ) ? 2 ? 0.2 ? 5 ? 0.4 ? 6 ? 0.3 ? 8 ? 0.1 ? 5

D( X ) ? (2 ? 5)2 ? 0.2 ? (5 ? 5)2 ? 0.4 ? (6 ? 5)2 ? 0.3 ? (8 ? 5)2 ? 0.1 ? 3 .…… 9 分
(Ⅲ) ? P(t ? 32 oC) ? 0.9 , P(22 oC ? t ? 32 oC) ? 0.4 ? 0.3 ? 0.7

? 由条件概率得: P( X ? 5 t ? 32 oC ) ? P(22 oC ? t ? 32 oC t ? 32 oC )
=

P(22 oC ? t ? 32 oC ) 0.7 7 ? ? . …… 12 分 P(t ? 32 oC ) 0.9 9

P

19.解: (Ⅰ)证明: 连接 BD ,设 BD 与 AC 相交于点 O ,连接 OM , ∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴ O 为 BD 的中点. 点
OM 为 ?PBD 的中位线, ∵ 为 PB 的中点,∴ M OM ?? PD , ∴

M D G O F A

…… 2 分

OM ? 平面AMC , PD ? 平面AMC , ∵
∴ ?? 平面AMC . PD …… 4 分

C BC (Ⅱ) 解法一 : ∵ ? 平面 PAB , AD ?? BC , 则 AD ? 平面 PAB ,故 PA ?B , AD
又 PA ? AB , 且 AD ? AB ? A , ∴ PA ? 平面ABCD . …… 6 分

取 AB 的中点 F ,连接 MF ,则 MF ?? PA ,且 MF ? ∴ MF ? 平面ABCD .

1 PA ? 1 . 2

作 FG ? AC ,垂足为 G ,连接 MG ,由于 MF ? AC ,且 MF ? FG ? F ,

AC ? 平面MGF ,∴ AC ? MG . ∴
? ∴ MGF 为二面角 B ? AC ? M 的平面角. …… 9 分

1 ?2 AF ? BC 2 5 GF AF Rt 由 Rt ?AGF ∽ ?ABC ,得 ,得 GF ? , ? ? ? AC 5 BC AC 5

GF 在 Rt ?MGF 中, cos ?MGF ? ? MG
∴二面角 B ? AC ? M 的余弦值为

5 5 1? 1 5

?

6 . 6

6 . 6

…… 12 分

BC (Ⅱ) 解法二: ∵ ? 平面 PAB , AD / / BC , 则 AD ? 平面 PAB ,故 PA ? AD ,

又 PA ? AB , 且 AD ? AB ? A ,

PA ∴ ? 平面ABCD .

…… 6 分

以点 A 为坐标原点,分别以 AD, AB, AP 所在直线为 x 轴, y 轴和 z 轴,建立空间 直角坐标系 A ? xyz . 则 A(0,0,0) , C (2,1,0) , P(0,0, 2) , B(0,1,0) , M (0, ,1) , ∴ ? (2,1,0) , AM ? (0, ,1) , AC
z P

1 2

1 2 ? 求得平面 AMC 的法向量为 n ? (1, ?2,1) ,
??? ? 又平面 ABC 的一个法向量为 AP ? (0,0,2) ,
C

??? ?

???? ?

M x D A

O B y

? ??? ? ? ??? ? n ? AP 2 1 6 ? ? ? ? ∴ cos ? n, AP ?? ?? ???? ? . 6 1? 4 ?1 ? 2 6 n ? AP
∴二面角 C ? BC1 ? D 的余弦值为 20.解: (Ⅰ)设 P( x, y) ,则 k PA ? k PB ? ?

y

6 . …… 12 分 6

M B Q O

N A P x

1 , 4

y y 1 ? ?? , 则 x?2 x?2 4
∴ C1 方程为

x2 ? y 2 ? 1 ( x ? ?2) .………4 分 4 y 2 x2 ? ? 1(m ? n ? 0) , m2 n2

(Ⅱ)如图,设椭圆 C2 的方程为

设 N ( x1 , y1 ) ,由对称性得四边形 MNPQ 的面积为 S ? 4x1 y1 ,

?

x12 ? y12 ? 1 , 4

x1 2 ? y1 x1 ? 4 ………8 分 ∴ S ? 4 ? 2 ? ? y1 ? 8 ? 4 2 2

2

? x1 ? x1 ? 2 ? 2 ? y1 ? ? 当且仅当 ? 2 ,解得 ? 2 ………10 分 ? y1 ? ? x1 ? y 2 ? 1 1 ? 2 ?4 ?

? 1 ? 2 2 ?m 2 ? 3 ? 2 ? 2 ?1 ? ,解得 ? 2 12 , ?则 ? m n ? ?n ? n2 5 5 ? ?e ? 1 ? 2 ? m 5 ?
∴椭圆 C2 的方程为

y 2 x2 ? ? 1 ,四边形 MNPQ 的最大面积为 4. 3 12 5
1 ?a, x ?1

………12 分

21.解: (Ⅰ)函数 f ( x ) 的定义域为 (?1, ??) , f ?( x) ?

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,∴函数 f ( x ) 在 (?1, ??) 上是增函数;

ax ? a ? 1 a ?1 ? ?1 ; ,又 ? x ?1 a a ?1 a ?1 由 f ?( x) ? 0 得, ?1 ? x ? ? ;由 f ?( x) ? 0 得, x ? ? a a a ?1 a ?1 ) 上是增函数;在 (? , ??) 上是减函数.………4 分 ∴函数 f ( x ) 在 ( ?1, ? a a
当 a ? 0 时, f ?( x ) ? (Ⅱ)当 a ? 1 时, f ( x) ? ln( x ? 1) ? x , 要证 x ? (0,5) 时 f ( x ) ?

9x 成立,由于 x ? 1 ? 0 , x ?1
2

∴只需证 ( x ? 1)ln( x ? 1) ? x ? 8x ? 0 在 x ? (0,5) 时恒成立, 令 g ( x) ? ( x ? 1)ln( x ? 1) ? x ? 8x ,则 g ?( x) ? ln( x ? 1) ? 2 x ? 7
2

设 h( x) ? ln( x ? 1) ? 2 x ? 7 , h?( x ) ?

1 ? 2 ? 0 , x ? (0,5) x ?1

∴ g ?( x ) 在 (0,5) 上单调递增,∴ g ?(0) ? g ?( x) ? g ?(5) ,即 ?7 ? g ?( x) ? ln 6 ? 3 ; 即 ?x0 ? (0,5) ,使 g ( x) 在 (0, x0 ) 上单调递减,在 ( x0 ,5) 上单调递增, 而 g (0) ? 0, g (5) ? 6ln 6 ?15 ? 6ln e ?15 ? 6 ? 2 ?15 ? 0 ,
2

∴当 x ? (0,5) 时, ( x ? 1)ln( x ? 1) ? x2 ? 8x ? 0 恒成立,即原命题得证.………12 分 22.解: (Ⅰ)证明: 解法一:? PA 与圆 O 相切于点 A ,??PAB ? ?ACB ,

C

? BC 是圆 O 的直径,??BAC ? 90

?

A

??ACB ? 90? ? ?B ,
? OB ? OP ,??BDO ? 90 ? ?B
?

O
D

P

又? ?BDO ? ?PDA ,??PAD ? ?PDA ? 90 ? ?B
?

B

? PA ? PD . …………4 分 解法二:连接 OA , ? OA ? OB ,??OAB ? ?OBA , ? PA 与圆 O 相切于点 A ,??OAP ? 90? ,

??PAD ? 90? ? ?OAB ,
? OB ? OP ,??BDO ? 90? ? ?OBA
又? ?BDO ? ?PDA ,??PAD ? ?PDA ? PA ? PD . D D A ? C (Ⅱ)据(1) ?P ? P , A ?A ?O , 又 ?OAC ? ?OCA ? ?PAD ∽ ?OCA ,

?
23.解:

PA AD ? ,? PA ? AC ? AD ? OC . OC AC

…………10 分

(Ⅰ) 直线 l 的的普通方程为: x ? y ? 2 ,与 x 轴的交点为 (2, 0) ,

又曲线 C 的普通方程为:

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1, ? 1. 所以,a ? 2 , 故所求曲线 C 普通方程是: ? a2 3 4 3
…………4 分

(Ⅱ)因点 A( ?1 , ? ), B( ? 2 , ? ?

2? 4? ), C ( ?3 , ? ? ) 在曲线 C 上,即点 3 3 2? 2? A( ?1 cos ? , ?1 sin ? ) 、 ( ? 2 cos(? ? ), ? 2 sin(? ? B )) 3 3 4? 4? 、 ( ?3 cos(? ? C ), ?3 sin(? ? )) 在曲线上. 3 3 1 1 1 1 1 1 ? 2? 2? 2 ? ? ? 2 2 2 ?1 ?2 ?3 OA OB OC

1? 2 2? 4? ? 2 2 ?cos ? ? cos (? ? 3 ) ? cos (? ? 3 ) ? 4? ? 1? 2? 4? ? 2 + ?sin 2 ? +sin(? + ) (? + ) +sin 2 3? 3 3 ? ? 4? 8? 1 ? cos(2? ? ) 1 ? cos(2? ? ) 1 1 ? cos 2? 3 ? 3 ) ? ( ? 4 2 2 2 4? 8? 1 ? cos(2? ? ) 1 ? cos(2? ? ) 1 1 ? cos 2? 3 ? 3 ) ? ( ? 3 2 2 2 1 3 1 3 7 = ? + ? = .…………10 分 4 2 3 2 8 ?
24.解: (Ⅰ)因为 x ? 3 ? x ? 4 ? x ? 3 ? x ? 4 ? 7 ,等号成立当且仅当 ( x ? 3)( x ? 4) ? 0 , 即 ?3 ? x ? 4 ,故 x 的取值范围为 ? ?3, 4? .…………4 分

?a ? 3 ? 2 x( x ? ?3) ? (?3 ? x ? a ) (Ⅱ)因为 f ( x) ? ?a ? 3 ?2 x ? 3 ? a( x ? a) ?
当 a ? 3 ? 6 时,不等式 f ( x) ? 6 解集为 R ,不合题意; 当 a ? 3 ? 6 时,不等式 f ( x) ? 6 的解为 ?

? x ? ?3 ?x ? a 或? ?a ? 3 ? 2 x ? 6 ?2 x ? 3 ? a ? 6

? x ? ?3 ?x ? a ? ? 即? a ?9 或? a ? 3 ,又因为解集 ?x | x ? ?4或x ? 2? ,解得 a ? 1 .…………10 分 ?x ? 2 ?x ? 2 ? ?


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