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广东省普宁市华侨中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题 文


普宁华侨中学 2015-2016 学年度第一学期期中考 高二文科数学试卷
注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、考生号、班级、 班级座号等填写在答题卡上。 2.选择题用黑色字迹的钢笔或签字笔填在答题卷相应的表格上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题纸上各题目指定区 域内相应位置上,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂 改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试卷带回,将答题卡缴交。 一、选择题:(每小题 5 分, 共 50 分) 1、若 a ? b ? c ,则下列不等式成立的是 ( A. )

1 1 ? a?c b?c

B.

1 1 ? a?c b?c

C. ac ? bc 2、1 和 4 的等比中项是( A.2
2

D. ac ? bc ) C. )

B. ?2

5 2

D. 5

3、不等式 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集为(

A、 {x | x ? ?1或x ? 3} B、 {x | ?1 ? x ? 3} C、 {x | x ? ?3或x ? 1} D、 {x | ?3 ? x ? 1} 4、 等比数列 {an }中,a2012 ? 8a2009,则公比q的值为( A. ?2 B. 2 C. ? 2 ) D. 8 ) D.-8

5、等差数列{ a n }中,a 1+3 a 8+a15=120,则 2 a 9-a 10 =( A.24 B.22 C.20 )

6、在△ABC 中,若 b ? 2a sin B ,则 A 等于(
0 0 A. 30 或60 0 0 B. 45 或60

0 0 C. 120 或60

0 0 D. 30 或150

? 2a ? ? n 7、已知数列 ?an ? 满足 a n?1 ? ? ?2 a ? 1 n ? ?

1 (0 ? a n ? ) 6 2 若a1 ? , 则a4的值为( 1 7 ( ? an ? 1) 2



-1-

A.

6 7

B.

3 7

C.

5 7


D.

1 7

8、四个不相等的正数 a,b,c,d 成等差数列,则(

A.

a?d ? bc 2

B.

a?d ? bc 2

C.

a?d ? bc 2

D.

a?d ? bc 2
1 为第三 3

9、 在 ?ABC 中, tan A 是以 ?4 为第三项, 4 为第七项的等差数列的公差, tan B 是以 项, 9 为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是( A.钝角三角形 B.等腰直角三角形 ) C.锐角三角形

D.以上都不对

? x ? 2 ? 0, ? 10、已知点 P(x,y)在不等式组 ? y ? 1 ? 0, 表示的平面区域上运动,则 z=x-y 的取值 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
范围是( A. ) B. C. D.

二、填空题(每题 5 分,共 20 分。) 11、若数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? n 2 ,则该数列的通项公式为 12、用篱笆围一个面积为 100m 的矩形菜园,则所用篱笆长度最短为
2

? y?x ? 13、设变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值为 ? y ? 3x ? 6 ?
14、一蜘蛛沿东北方向爬 行xcm捕捉到一只小虫,然后 向右转 105?,爬行 10cm捕捉

到另一只小虫,这时它 向右转 135?爬行回它的出发点,那 么x ?
三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程。 15. (本小题满分 12 分) 等比数列 {an } 中,已知 a1 ? 2, a4 ? 16 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 a3 , a5 分别为等差数列 {bn } 的第 3 项和第 5 项,试求数列 {bn } 的通项公式及前 n 项 和 Sn 。
-2-

16(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,已知 a ? 2, c ? 3, cos B ? (1)求 b 的值; (2)求 sinC 的值.
1 , 4

17. (本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=x ,g(x)=x-1. (1) 若x ? 2, 求g ( x) ?
2

1 的最大值,并求相应的 x值 ; g ( x ? 1)

(2) 若存在 x∈R 使 f(x)<b·g(x),求实数 b 的取值范围。

-3-

18. (本小题满分 14 分) 已 知 a 、 b 、 c 分 别 是 ?ABC 的 三 个 内 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 ; ( 1 ) 若 ?ABC 面 积

S ?ABC ?
的形状.

3 o s B, i n A, (2) 若a ? cc 且b ? cs 试判断 ?ABC , c ? 2, A ? 60?, 求 a 、b 的值; 2

19. (本小题满分 14 分) 某移动公司计划 2016 年在 A 电视台,B 电视台两家媒体做总时间不超过 300 分钟的广告, 广告总费用不超过 9 万元,A 电视台、B 电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/ 分钟,若 A 电视台 B 电视台两家媒体为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别 为 0.3 万元和 0.2 万元.问该公司如何分配在两家媒体的广告时间,才能使公司的收益最大, 最大收益是多少万元?

-4-

20. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 满足 an ? 2an?1 ? 2n ?1 (n ? N? ,且 n ? 2) , a4 ? 81 . ⑴求数列的前三项 a1 , a2 , a3 ; ⑵数列 ?

? an ? p ? ? 为等差数列,求实数 p 的值; n ? 2 ?

⑶求数列 {an } 的前 n 项和 Sn .

-5-

普宁华侨中学 2015-2016 学年度第一学期期中考 高二文科数学试卷答题卷 评分栏: 题号 一 二 15 16 17 18 19 20

得分

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分)

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

11、______________;12、_________

___;13、___________________

14、________________; 三、解答题(共 80 分) 15、 (本小题满分 12 分)

-6-

16、 (本小题满分 12 分)

17、 (本小题满分 14 分)
-7-

-8-

18、 (本小题满分 14 分)

19、 (本小题满分 14 分)

-9-

20、 (本小题满分 14 分)

- 10 -

- 11 -

普宁华侨中学 2015-2016 学年度第一学期期中考 高二文科数学试卷参考答案 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 B 1 B 2 C 3 B 4 A 5 D 6 A 7 A 8 A 9 C 10

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11. an ? 2n ? 1 三、解答题 15. (本小题满分 12 分) 解: (1)设 {an } 的公比为 q ……………1 分 由已知得 16 ? 2q3 ,……………3 分 解得 q ? 2 ……………4 分 12. 40m 13. 3 14.

10 6 3

(2)由(I)得 a3 ? 8 , a5 ? 32 ,……………6 分 则 b3 ? 8 , b5 ? 32 ……………8 分 设 {bn } 的公差为 d ,则有 ?

?b1 ? 2d ? 8 ?b1 ? ?16 解得 ? ……………10 分 ?d ? 12 ?b1 ? 4d ? 32

从而 bn ? ?16 ? 12(n ? 1) ? 12n ? 28 ……………11 分 所以数列 {bn } 的前 n 项和 S n ? 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)由余弦定理, b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B ,…………………………………2 分
2 2 2 得 b ? 2 ? 3 ? 2 ? 2 ? 3?

n(?16 ? 12n ? 28) ? 6n 2 ? 22n ……………12 分 2

1 ? 10 ,…………………………………………………4 分 4

? b ? 10 .……………………………………………………………………………6 分
(2)方法 1:由余弦定理,得 cos C ?

a 2 ? b2 ? c 2 ,………………………………8 分 2ab

?

4 ? 10 ? 9 10 ,……………………10 分 ? 8 2 ? 2 ? 10
- 12 -

∵ C 是 ?ABC 的内角, ∴ sin C ? 1 ? cos C ?
2

3 6 .………………………………………………………12 分 8

方法 2:∵ cos B ?

1 ,且 B 是 ?ABC 的内角, 4
2

∴ sin B ? 1 ? cos B ? 根据正弦定理,

15 .………………………………………………………8 分 4

b c ? ,……………………………………………………10 分 sin B sin C

得 sin C ?

c sin B ? b

3?

15 4 ? 3 6 . ……………………………………………12 分 8 10

17. (本小题满分 14 分) 解 (1)由x ? 2,可得2 ? x ? 0 ………………1 分

? g ( x) ?

1 1 ? x ?1? ………………2 分 g ( x ? 1) x?2
1 ] ? 1 ………………3 分 2? x

? ?[( 2 ? x) ?

? ?2 (2 ? x)

1 ? 1 ? ?1 ………………5 分 2? x
1 ,即 x ? 1时取等号。 ………………7 分 2? x

当且仅当 2 ? x ?

? g ( x) ?

1 的最大值为? 1,此时x的值为 1. ………………8 分 g ( x ? 2)
2

(2)? x∈R,f(x)<bg(x)? ? x∈R,x -bx+b<0…………………8 分 ? (-b) -4b>0…………………10 分 ? b<0 或 b>4. …………………14 分 18. (本小题满分 14 分) (1)? S ?ABC ? 1 bc sin A ? 3 ,……………2 分 2 2
1 3 ,得 b ? 1 ? b ? 2 sin 60? ? 2 2
2 2 2 2
2

……………4 分
2

由 a ? b ? c ? 2bc cos A ? 1 ? 2 ? 2 ?1? 2 ? cos60? ? 3 ,……………5 分 ∴a ?

3

……………7 分

- 13 -

(2)由 a ? c ? 所以 ?C ? 90?

a2 ? c2 ? b2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ,……………9 分 2ac
……………10 分

在 Rt ?ABC 中, sin A ?

a a ,……………11 分,所以 b ? c ? ? a c c

……………13 分

所以 ?ABC 是等腰直角三角形……………14 分 19. (本小题满分 14 分) 解:设公司在 A 电视台和 B 电视台做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟,总收益为 z 元,由题

? x ? y ≤ 300, ? 意得 ?500 x ? 200 y ≤ 90000, …………………………………4 分 ? x ≥ 0,y ≥ 0. ?
目标函数为 z ? 3000 x ? 2000 y .…………………5 分

y
500

400

? x ? y ≤ 300, ? 二元一次不等式组等价于 ?5 x ? 2 y ≤ 900, …………6 分 ? x ≥ 0,y ≥ 0. ?
作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域. 如图:…………………9 分 作直线 l : 3000 x ? 2000 y ? 0 , 即 3x ? 2 y ? 0 .

300 l 200 100 M

0

100

200 300

x

平移直线 l ,从图中可知,当直线 l 过 M 点时,目标函数取得最大值. 联立 ?

? x ? y ? 300, 解得 x ? 100,y ? 200 。 ?5 x ? 2 y ? 900.

200) .…………………12 分 ? 点 M 的坐标为 (100,

? zmax ? 3000x ? 2000 y ? 700000 (元)…………………13 分
答:该公司在 A 电视台做 100 分钟广告,在 B 电视台做 200 分钟广告,公司的收益最大,最 大收益是 70 万元.…………………14 分 20. (本小题满分 14 分) 解⑴由 an ? 2an?1 ? 2 ?1 (n ? N? ,且 n ? 2) 得
n

a4 ? 2a3 ? 24 ?1 ? 81 ,得 a3 ? 33
- 14 -

同理,得 a2 ? 13 , a1 ? 5 ………………………………………………………………4 分 ⑵对于 n ? N ,且 n ? 2 , ∵

an ? p an ?1 ? p an ? 2an ?1 ? p 2n ? 1 ? p 1? p ? ? ? ? 1? n n n ?1 n n 2 2 2 2 2

又数列 ? ∴

? an ? p ? ? 为等差数列, n ? 2 ?

an ? p an ?1 ? p ? 是与 n 无关的常数, 2n 2n ?1
………………………………………………………………8 分

∴ 1 ? p ? 0 , p ? ?1

⑶由⑵知,等差数列 ? ∴ ∴

? an ? p ? ? 的公差为 1, n ? 2 ?

an ? 1 a1 ? 1 ? ? (n ? 1) ? n ? 1 ,得 an ? (n ? 1)? 2n ? 1 .…………………9 分 n 2 2

Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 2 ? 2 ? 3? 22 ? 4 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ? n ,

记 Tn ? 2 ? 2 ? 3? 22 ? 4 ? 23 ? ?? (n ? 1) ? 2n ,则有

2Tn ? ?2 ? 22 ? 3? 23 ? 4 ? 24 ? ?? n ? 2n ? (n ? 1) ? 2n?1 ,
两式相减,得 Tn ? n ? 2n?1 , 故

Sn ? n ? 2n?1 ? n ? n(2n?1 ? 1) .……………………………………………14 分

- 15 -


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