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福建省厦门市2012~2013学年高一上数学期末质检试卷(含答案)


福建省厦门市 2012~2013 学年(上)高一质量检测

数学试卷
试卷分 A 卷和 B 卷两部分.满分为 150 分,考试时间 120 分钟

A 卷(共 100 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,在答题卷上的相应题目的答题区域内作答. 1.已知全集 U ? {1, 2,3, 4,5} ,集合 A ? {1,3} , B ? {3,5} ,则集合 CU ( A ? B) ? ( A. {3} B. {2, 4} C. {1,3,5} ) D. {1, 2,3, 4,5} )

2.赋值语句 M ? M ? 3 表示的意义是( A、将 M ? 3 的值赋给 M C. M 和 M ? 3 值相等

B.将 M 的值赋给 M ? 3 D.以上说法都不对

3.袋中装有黑、白两种颜色的球各三个,现从中取出两个球,设事件 P :取出的都是黑球; 事件 Q :取出的都是白球;事件 R :取出的球中至少有一个黑球.则下列结论正确的是 ( ) B.任何两个均互斥 ) C. {x | x ? 0或x ? 2} D. {x | 0 ? x ? 2} C. Q 和 R 互斥 D.任何两个均不互斥

A. P 与 R 互斥

4.函数 y ? lg x ? 2 ? x 的定义域为( A. {x | x ? 2} B. {x | x ? 0}

5.已知有图是某 NBA 球员连续 10 场常规赛得分的茎叶图,则该球员这 10 场比赛的场均 得分为( A.17.3 ) B.17.5 C.18.2 ) D. 2 5 ) D.18.4

0 1 2 3

8 0 0 0 2 2 3 4 6 8

6.样本数据 4,2,1,0,-2,标准差是( A.1 B.2 C.3

7.一个算法的程序框图如右图所示,则运行该程序输出的结果为( A.

1 2

B.

2 3

C.

3 4


D.

4 5

8.函数 f ( x) ?

1 ? x 3 的图像关于( x
B. y 轴对称

A. x 轴对称

C.直线 y ? x 对称

D.坐标原点对称

9.某校采用系统抽样方法,从高一 800 多名学生中抽 50 名调查牙齿健康状况.现将 800 名学生从 1 到 800 进行编号,在 1~16 中随机抽取一个数,如果抽到的是 7,则从 33~48 这一组中应取的数是( A.37 B.38 ) C.39 D.40
开始 i=1,m=0,s=0

10.已知函数 f ( x ) 式定义在 R 上的奇函数,且

f ( x ? 3) ? f ( x) ,当 x ? (0,1] 时, f ( x) ? 2x ,
则 f (8) ? ( A.-2 )

i<4? 是 i=i+1



输出s

B.2

C.-4

D.4
m=m+1

结束

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,在答题卷上的相应题目的的答题区 域内作答.

11. 某单位为了解用电量 y 度与 x ?C 之间的关系, 随机统计了某 4 天的用电量与当天气温, 并制作了对照表: 气温( ?C ) 用电量(度) 18 24 13 34 10 38

-1

64

? ? bx ? a 中 b ? ?2 ,并据此预测当气温为 ?4?C 时,用 由表中数据求得线性回归方程 y
电量的度数约为 12.运行右边程序,可求得 f (?3) ? f (2) 的值为 13.已知 2 ? 3,3 ? 8 ,则 ab ?
a b x ?x 14. 已知函数 f ( x) ? 3 ? 3 ,则不等式 f (2 x ? 1) ? f ( x ? 4) ? 0 的解集

s?
INPUT x IF x<=0 THEN y=4*x ELSE y=4^x END IF PRINT y END



三、解答题:本大题共 3 小题,共 34 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,在 答题卷上相应投的答题区域内作答. 15. (本小题满分 10 分) 已知偶函数 f ( x) ? ax ? bx ? 2(a ? 0) 的一个零点为 1.
2

(1)求 a , b 的值; (2)求函数 y ? f ( x ? 1) 在 [0,3] 上的值域. 16.(本小题满分 12 分) 同时抛掷两粒骰子,记事件 A :向上的点数是相邻的两个整数. (1)列出试验的所有基本事件,并求事件 A 发生的概率 P ( A) ; (2)某 人 用 计 算 机 做 随 机 模 拟 实 验 , 用 Excel 软 件 的 随 机 函 数 randbetween(1,6)得到 36 组随机数如下: 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 第6组 第7组 第8组 第9组 第 10 组 第 11 组 第 12 组 2 6 1 5 5 4 3 6 3 6 1 1 2 5 3 3 2 5 4 5 4 4 2 5 第 13 组 第 14 组 第 15 组 第 16 组 第 17 组 第 18 组 第 19 组 第 20 组 第 21 组 第 22 组 第 23 组 第 24 组 5 1 2 5 1 4 3 4 3 4 6 5 6 4 3 2 6 6 1 2 3 4 2 2 第 25 组 第 62 组 第 27 组 第 28 组 第 29 组 第 30 组 第 31 组 第 32 组 第 33 组 第 34 组 第 35 组 第 36 组 2 6 6 1 6 4 3 4 5 1 4 3 6 3 6 2 1 1 6 3 6 6 2 1

试求事件 A 的频率 f n ( A) ,比较 f n ( A) 与 P ( A) ,并用统计的观点解释这一现象. 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? log a ( x ? 1) 的图像过点 ( ?

8 , ?2) . 9

(1)若函数 f ( x) 的定义域为 ( ?1,26] ,求函数 f ( x) 的值域; (2)设函数 g ( x) ?| f ( x ? 2) | ,且有 g (b ? 2) ? g (

10 ? b) ,求实数 b 的值. 3

B 卷(共 50 分)
18.已知集合 A ? {x | 0 ? x ? 2} ,集合 B ? {x | x ? a} ,若 A ? B ,则实数 a 的取值范围 是

19.如图所示,墙上挂有边长为 a 的正方形木板,它的四个角的阴影部分都是以正方形的顶 点为圆心,半径为

a 的圆弧.某人向此板投镖,假设每次都能击中木板,且击中木板 2

上每个点的可能性都相等,此人投镖 4000 此,镖击中空白部分的次数是 854 此.据此 估算:圆周率π 约为 21.已知 f : N * ? N * 是从 N 到 N 的增函数,且 f (1) ? 2 , f [ f (k )] ? 3k ,则 f (5) ?
* *

五、解答题:本大题共 3 小题,共 34 分,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤, 在答题卷上相应题目的答题区域内作答. 22.(本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? a x ? bx ? c(a ? 0, a ? 1, b, c ? R) (1)若 b ? 0 ,且满足 f (2) ? 1 , f (4) ? 73 ,求函数 f ( x) 的解析式; (2)当 a ? 2 时,若对任意 x1 , x2 ?[?1,1] ,恒有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4 ,求非负实数 b 的 取值范围. 23.(本小题满分 12 分) 统计某校 1000 名学生数学某单元水平测试成绩,得到频率分布直方 图如图所示.已知频率分布直方图估计的平均分为 71 分,及格率是
0.030 0.020 0.015 0.010 0.005

80 % (满分 100 分,规定不低于 60 分为及格) .
(1)分别求第三、第四组的频率; (2)若从优秀 ( [80,100] 分) 、 合格 ( [60,80) 分) 、 不合格 ( [ 40,60) 分)钟分层抽取 20 名学生参加座谈会,问合格学生应抽取多少 名?

40 50 60 70 80 90 100

(3)在(2)的条件下,这 20 名参加座谈会的学生对本单元知识个人掌握程度作出估 计(评价区间 0 分~100 分,满分 100 分) ,得到下列一组数据: 65 75 78 81 76 84 81 77 99 82 78 84 75 80 84 85 83 82

请选择适当的一个数字特征来描述这组数据,并据此评价学生该单元知识掌握情况. 24.(本小题满分 12 分)

频 组
分数

79 84

x?2 ?a ? 已知函数 f ( x) ? ? x ,a?R. ?( x ? 1)3 x ? 2 ?
(1)当 a ? 2 时,求方程 f ( x) ? x ? 1 的实数解; (2)若方程 f ( x) ? 3x ? 1 有且只有两个实数解,求实数 a 的取值范围; (3)已知函数 g ( x) ? f ( x) ? 2ax ? 1 ,其定义域为 [2,4] ,求函数的最大值.

厦门市 2012-2013 学年(上)高一质量检测

数学试题参考答案
A 卷(共 100 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1-5: BACDA 6-10: BCDCA 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 11. 68 12. 4 13. 3 14.

? x x ? ?1?

三、解答题:本大题共 3 小题,共 34 分. 15. (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)依题意得:对于任意 x ? R ,均有 f ? x ? ? f ? ?x ? , -------------------------1 分

? ax2 ? bx ? 2 ? ax2 ? bx ? 2 ,? 2bx ? 0 恒成立,? b ? 0
由 f ?1? ? 0 得 a ? b ? 2 ? 0 ,? a ? ?2

---------------------2 分

---------------------------4 分 ---------------------------5 分

? a ? ?2 , b ? 0

(若是由 f ?1? ? f ? ?1? 求得 b ? 0 ,则需说明经检验满足偶函数,否则扣 1 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)得 y ? f ( x ? 1) ? ?2 ? x ? 1? ? 2 ,抛物线开口向下,对称轴 x ? 1 ,---7 分
2

则函数 y ? f ( x ? 1) 在 ?0,1? 上单调递增,在 ?1,3? 上单调递减,---------------------8 分

? f ? 0? ? 0, f ?1? ? 2, f ?3? ? ?6 ,
? 函数 y ? f ( x ? 1) 在 ?0,3? 上的值域为 ? ?6,2? .

---------------------------9 分 --------------------------10 分

16. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)用(m,n)表示同时抛掷两粒骰子的点数, 试验所有的结果为: (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) …………………………….. (6,1) (2,2) (3,3) (6,4) (6,5) (6,6) 共有 36 种, ---------------------------2 分 其中满足事件 A 的结果为: (1,2) , (2,1) , (2,3) , (3,2)(3,4),(4,3),(4,5),(5,4),(5,6), (6,5)共 10 种。 ---------------------------4 分

? P ( A) ?

10 5 ? 36 18

---------------------------6 分 ---------------------------8 分

(Ⅱ)由表可得 n ? 36, nA ? 11

f n ( A) ?

11 36 1 ,相差不大, 36

---------------------------9 分 ---------------------------10 分

比较 f n ( A) 与 P(A) ,相差 差异的原因:

随机事件 A 的频率 f n ( A) 会随随机实验的变化而变化,随实验的次数的增加,

fn ( A) 越来越趋近稳定值 P(A).
17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由已知可得, log a ? ?

---------------------------12 分

? 8 ? ? 1? ? ?2 ,? a ? 3 , ? 9 ?

---------------------------2 分

则函数 f ? x ? ? log3 ? x ?1? 在区间 ? ?1,26? 上单调递增,-------------------------3 分 因为 f ? 26? ? 3 , 所以函数 f ( x ) 的值域为 ? ??,3? . ---------------------------4 分 ---------------------------5 分

(Ⅱ)由已知 g ? x ? ? f ? x ? 2 ? 得: g ? x ? ? log 3 ? x ? 1? , 化简即 g ? x ? ? ?

? ? log3 ? x ? 1?   x ? 2 ? ?? log3 ? x ? 1?   1 ? x ? 2

,

---------------------------6 分

则函数 g ? x ? 在区间 ?1, 2 ? 上单调递减;在区间 ? 2, ??? 上单调递增,------------7 分

? 10 ? ? g ?b ? 2? ? g ? ? b ? , ?3 ?
10 ? b 同属一个单调区间。 3 2 10 ? b ,得 b ? . 则 b ? 2= ---------------9 分 3 3 10 ⑵自变量 b ? 2与 ? b 分属两个单调区间, 3
⑴自变量 b ? 2与

y

O

2

x

?7 ? ? log3 ? b ? 1? ? log3 ? ? b ? ?3 ?
? 10 ? ? log 3 ? b ? 2 ? 1? ? ? log 3 ? ? b ? 1? , ?3 ? ?7 ? ? log 3 ? b ? 1? + log 3 ? ? b ?=0 , ?3 ?
-------------------------------10 分

2 ?7 ? ? ? ? b ? ? b ? 1? ? 1 ,解得 b ? 2 或 b ? ? 3 ?3 ?
经检验 b ?

---------------------------11 分

2 2 , b ? 2 与 b ? ? 均合题意,即为所求. --------------------------12 分 3 3

B 卷(共 50 分)
四、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. (18) a ? 2 (19)3.146 (20)2 (21)8 五、解答题:本大题共 3 小题,共 34 分, 22. (本小题满分 10 分)

?a 2 ? c ? 1 ? 22. 解: (Ⅰ)依题意得: ? 4 , ? ? a ? c ? 73
? a 4 ? a 2 ? 72 ? 0 , ? ? a 2 ? 9 ?? a 2 ? 8 ? ? 0 , ? a2 ? 9 ? a ? 3 , ? c ? ?8 , f ? x ? ? 3x ? 8 .
(Ⅱ)任取 ?1 ? x1 ? x2 ? 1 ,

----------------------------1 分 ----------------------------2 分 ----------------------------3 分 ---------------------------4 分 ----------------------------5 分

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 2 x1 ? bx1 ? c ? ? 2 x2 ? bx2 ? c ?
? ? 2 x1 ? 2 x2 ? ? b ? x1 ? x2 ?
----------------------------6 分 ----------------------------7 分
x x

? ? 2 x1 ? 2 x2 ? ? b ? x1 ? x2 ? ? 0 ,即 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0
-------------------8 分 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,函数 f ? x ? 在 ??1,1? 上单调递增, 1 则函数的最大值 f ?1? ? 2 ? b ? c ,最小值 f ? ?1? ? ? b ? c ,---------------9 分 2 若对任意 x1 , x2 ?[?1,1] ,恒有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 4 ,则需满足 f ?1? ? f ? ?1? ? 4 ------------------------10 分

又? 2 1 ? 2 2 , b ? 0, x1 ? x2 ? 0

? 2b ?

3 11 5 3 ? 4 , ? ?4 ? 2b ? ? 4 , ? ? ? b ? ,-----------------------11 分 2 4 4 2 5 又 b ? 0 ,则 0 ? b ? . ----------------------------12 分 4

23. (本小题满分 12 分) 解: (1)用 x , y 分别表示第三、第四组的频率,则

? x ? y ? 1 ? 10(0.005 ? 0.015 ? 0.01? 2) --------------------2 分 ? ?45 ? 0.05 ? 55 ? 0.15 ? 65 x ? 75 y ? 85 ? 0.1 ? 95 ? 0.1 ? 71
解得 x ? 0.25, y ? 0.35 ---------------------------4 分

答:第三、第四组的 频率 分别为 0.25,0.35; (2) 20 ? (0.25 ? 0.35) ? 12 (名)

----------------------------5 分 ----------------------------7 分

答:合格(60 分 ~ 80 分)学生应抽取 12 名; ----------------------------8 分 (3) (下面两种表述都可以,只需一种表述即可) A:根据数据计算得平均数 80.6,高出实测数据的频率分布直方图估计的平均分 71 分。 B:将数据制作成样本频率分布直方图,可估计众数 85,高出实测数据的频率分布直方 图估计的众数 75. --------------------------------------------------------------------------------11 分 评价:说明学生对本单元知识个人认为掌握较好,但事实上在某些方面还存在缺漏,学 生的学习水平有望进一步提高。 ----------------------------------12 分 24. (本小题满分 12 分)

2 3 ? ? ? x ? 1 ? ? x ? 1? ?x ?1 ? 解(Ⅰ)依题意得: ? 或 , ----------------------------2 分 x ?   x ? 2 ? ? ? ?  x ? 2 解得 x ? 2 或 x ? 1 ,或 x ? 0 . ----------------------------3 分 a 3 ? ? ?3x ? 1 ? ? x ? 1? ?3x ? 1 ? ....(2) --------------------4 分 (Ⅱ)依题意得: ? x ......(1) 或 ?   x ? 2 ? ? ? ?  x ? 2 ? x3 ? 3x 2 ? 0 由(2)得, ? ,解得 x ? 0 , ----------------------------5 分 x ? 2 ? 方程 f ? x ? ? 3x ?1 有且只有有两个实数解,则(1)有且只有一个实数根, ?
即 3x ? x ? a ? 0 在 ? 2, ??? 上 有 且 只 有 一 个 实数
2

----------------------------6 分
y

2 根, 构造函数 h ? x ? ? 3x ? x ? a , (亦可分析 a ?x3 x ?
2


O

抛物线开口向上,对称轴为 x ? 则有 h ? 2? ? 0 ,即 10 ? a ? 0 ,

1 , 如图 6

2

x

? a ? 10 .

----------------------------7 分

?a ? ? 2ax ? 1, x ? ? 2, 4? ( Ⅲ ) 依 题 意 得 : g ? x? ? ? x , ? ?4a   x ? 2  
-------------------------------------------------------8 分 则有 g ? x ? ? a ?

?1 ? ? 2 x ? ? 1,任取 2 ? x1 ? x2 ? 4 , ?x ? ?1 ? ? 2x x ?1 ? 1 g ? x1 ? ? g ? x2 ? ? a ? ? 2 x1 ? ? 2 x2 ? ? a ? x1 ? x2 ? ? 1 2 ? x2 ? x1 ? ? x1 x2 ?

? x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? 4 , 2 x1 x2 ? 1 ? 0

(i)若 a ? 0 , g ? x1 ? ? g ? x2 ? ? 0 ,函数 g ? x ? 在 ? 2, 4? 单调递增,

33 33 4 a ? 1 ,令 4a ? a ? 1 , ? a ? , 4 4 17 4 33 a ?1 ; 则当 a ? 时,函数 g ? x ? 的最大值为 17 4 4 则当 0 ? a ? 时,函数 g ? x ? 的最大值为 4 a ; ----------------------------9 分 17 ?? ? 1, x ? ? 2, 4? (ii) 当 a ? 0 时, g ? x ? ? ? 函数 g ? x ? 的最大值为 0;----------10 分 0   x ? 2    ? ? 9 (iii)当 a ? 0 时, g ? x1 ? ? g ? x2 ? ? 0 ,函数 g ? x ? 单调递减, g ? x ? ? a ? 1 2 1 ?9 ? 又 ? a ? 1 ? ? 4a ? a ? 1 ? 0 , 2 ?2 ? 则当 a ? 0 时,则函数 g ? x ? 的最大值为 4 a ; ----------------------------11 分
又 g ? 4? ? 综上可得:当 a ?

4 33 4 a ?1 ; a ? 时,函数 g ? x ? 的最大值为 时,函数 g ? x ? 的最 17 4 17

大值为 4 a .---------------------------------------------------------------------------------------12 分


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