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2011届高考数学复习6年高考4年模拟汇编试题3- 空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积


第八章 立体几何
第一节 空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积 第一部分 六年高考荟萃 2010 年高考题
一、选择题 1.(2010 全国卷 2 理) (9)已知正四棱锥 S ? ABCD 中, SA ? 2 3 ,那么当该棱锥的体 积最大时,它的高为 (A)1 【答案】C 【命题意图】本试题主要考察椎体的体积,考察告辞函数的最值问题. (B) 3 (C)2 (D)3

【解析】设底面边长为 a,则高

所以体积





, 则

, y 取最值时, 当

, 解得 a=0 或 a=4

时,体积最大,此时

,故选 C.

2.(2010 陕西文) 8.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几 何体的体积是 (A)2 (C) [B] (B)1 (D)

2 3

1 3

【答案】 B 解析:本题考查立体图形三视图及体积公式 如图,该立体图形为直三棱柱

2
1

2

1 所以其体积为 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 2

3. (2010 辽宁文) (11) 已知 S , A, B, C 是球 O 表面上的点,SA ? 平面ABC , AB ? BC ,

SA ? AB ? 1 , BC ? 2 ,则球 O 的表面积等于
(A)4 ? 【答案】A 【解析】选 A.由已知,球 O 的直径为 2R ? SC ? 2 ,?表面积为 4? R 2 ? 4? . 4.(2010 安徽文) (9)一个几何体的三视图如图,该几 何体的表面积是 (A)372 (C)292 【答案】B 【解析】该几何体由两个长方体组合而成,其表面积等 于下面长方体的全面积加上面长方体的 4 个侧面积之 和。 (B)360 (D)280 (B)3 ? (C)2 ? (D) ?

S ? 2(10 ? 8 ? 10 ? 2 ? 8 ? 2) ? 2(6 ? 8 ? 8 ? 2) ? 360 .
【方法技巧】 把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体 的组合体, 画出直观图, 得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积 加上面长方体的 4 个侧面积之和。 5.(2010 重庆文) (9)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 (A)只有 1 个 (C)恰有 4 个 【答案】 D 【解析】放在正方体中研究,显然,线段 OO1 、EF、 FG、GH、 HE 的中点到两垂直异面直线 AB、CD 的距离都相等, 所以排除 A、B、C,选 D 亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线 AB、 CD 的距离相等 6.(2010 浙江文) (8)若某几何体的三视图(单位: (B)恰有 3 个 (D)有无穷多个

cm)如图所示,则此几何体的体积是

352 3 cm 3 320 3 (B) cm 3 224 3 (C) cm 3 160 3 (D) cm 3
(A) 【答案】B 【解析】选 B,本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的 计算,属容易题 7.(2010 北京文) (8)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,动点 E、F 在棱 A1B1 上。点 Q 是 CD 的中点,动点 P 在棱 AD 上,若 EF=1,DP=x, A1 E=y(x,y 大于零), 则三棱锥 P-EFQ 的体积: (A)与 x,y 都有关; (C)与 x 有关,与 y 无关; 【答案】 C 8.(2010 北京文) (5)一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的 正(主)视图与侧(左)视图分别如右图所示,则该 集合体的俯视图为: (B)与 x,y 都无关; (D)与 y 有关,与 x 无关;

答案:C 9.(2010 北京理)(8)如图,正方体 ABCD- A1 B1C1 D1 的棱长为

2,动点 E、F 在棱 A1 B1 上,动点 P,Q 分别在棱 AD,CD 上,若 EF=1, A1 E=x,DQ=y,DP =z(x,y,z大于零) ,则四面体 PEFQ的体积 (A)与x,y,z都有关 (B)与x有关,与y,z无关 (C)与y有关,与x,z无关 (D)与z有关,与x,y无关 【答案】D 10.(2010 北京理) (3)一个长方体去掉一个小长方体,所得几 何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如右图所示,则该几何 体的俯视图为

【答案】 C 11. 2010 广东理) ( 6.如图 1, ABC 为三角形, ? // BB? // CC ? , CC ? ⊥平面 ABC 且 △ AA 3 AA? =

3 BB? = CC ? =AB,则多面体△ABC - A?B?C? 的正视图(也称主视图)是 2

【答案】D 12.(2010 广东文)

13.(2010 福建文)3.若一个底面是正三角形的三棱柱 的正视图如图所示,则其侧面积等于 ( ... A. 3 C. 2 3 【答案】D 【解析】由正视图知:三棱柱是以底面边长为 2,高为 1 的正三棱柱,所以底面积为 B.2 D.6 )

2?

3 ? 4 ? 2 3 ,侧面积为 3 ? 2 ?1 ? 6 ,选 D. 4

【命题意图】本题考查立体几何中的三视图,考查同学们识图的能力、空间想象能力等基 本能力。 14.(2010 全国卷 1 文) (12)已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点,若 AB=CD=2, 则四面体 ABCD 的体积的最大值为 (A)

2 3 3

(B)

4 3 3

(C) 2 3

(D)

8 3 3

【答案】B 【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这 个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力. 【解析】过 CD 作平面 PCD,使 AB⊥平面 PCD,交 AB 与 P,设点 P 到 CD 的距离为 h ,则有

1 1 2 V四面体ABCD ? ? 2 ? ? 2 ? h ? h ,当直径通过 AB 与 CD 的中点时, hmax ? 2 22 ? 12 ? 2 3 , 3 2 3

故 Vmax ?

4 3 3

二、填空题 1.(2010 上海文)6.已知四棱椎 P ? ABCD 的底面是边长为 6 的正方形,侧棱 PA ? 底 面 ABCD ,且 PA ? 8 ,则该四棱椎的体积是 【答案】96 【解析】考查棱锥体积公式 V ? 。

1 ? 36 ? 8 ? 96 3
2

2.(2010 湖南文)13.图 2 中的三个直角三角形是一个体积为 20cm 的几何体的三视图,则 h= cm

【答案】4 3.(2010 浙江理) (12)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积 是___________ cm . 解析: 图为一四棱台和长方体的组合体的三视图, 由卷中 所给公式计算得体积为 144,本题主要考察了对三视图所表达 示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算,属容易题
3

4.(2010 辽宁文) (16)如图,网格纸的小正方形的边长是 1,在其上用 粗线画出了某多面体的三视图,则这个多面体最长的一条棱的 长为 .
P

解析:填 2 3 画出直观图:图中四棱锥 P ? ABCD 即是, 所以最长的一条棱的长为 PB ? 2 3. 5.(2010 辽宁理) (15)如图,网格纸的小正方形的边长是 1, 在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则这个多面体最长的 一条棱的长为______. 【答案】 2 3 【命题立意】 本题考查了三视图视角下多面体棱长的最值问题, 考查了同学们的识图能力以及由三视图还原物体的能力。 【解析】由三视图可知,此多面体是一个底面边长为 2 的正方 形且有一条长为 2 的侧棱垂直于底面的四棱锥,所以最长棱长 为 2 ?2 ?2 ?2 3
2 2 2

A B C

D

6.(2010 天津文) (12)一个几何体的三视图如图所示,则这 个几何体的体积为 【答案】3 【解析】 本题主要考查三视图的基础知识, 和主题体积的计算, 属于容易题。 由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形,则正视图和俯视图 可知该几何体的高为 1,结合三个试图可知该几何体是底面为 直角梯形的直四棱柱,所以该几何题的体积为 。

1 (1+2) 2 ? 1=3 ? 2
【温馨提示】正视图和侧视图的高是几何体的高,由俯视图可 以确定几何体底面的形状,本题也可以将几何体看作是底面是长为 3,宽为 2,高为 1 的长

方体的一半。

7.(2010 天津理) (12)一个几何体的三视图如图所 示,则这个几何体的体积为 【答案】

10 3

【解析】本题主要考查三视图的概念与柱体、椎体体 积的计算,属于容易题。 由三视图可知, 该几何体为一个底面边长为 1, 高为 2 的正四棱柱与一个底面边长为 2,高为 1 的正四棱锥 组成的组合体,因为正巳灵珠的体积为 2,正四棱锥 的体积为

1 4 ? 4 ?1 ? ,所以该几何体的体积 V=2+ 3 3

4 10 = 3 3
【温馨提示】利用俯视图可以看出几何体底面的形状,结合正视图与侧视图便可得到几何 体的形状,求锥体体积时不要丢掉 三、解答题 1.(2010 上海文)20.(本大题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. 如图所示,为了制作一个圆柱形灯笼,先要制作 4 个全等的矩 形骨架,总计耗用 9.6 米铁丝,再用 S 平方米塑料片制成圆柱 的侧面和下底面(不安装上底面). (1)当圆柱底面半径 r 取何值时, S 取得最大值?并求出该 最大值(结果精确到 0.01 平方米); (2)若要制作一个如图放置的, 底面半径为 0.3 米的灯笼, 请作 出 用于灯笼的三视图(作图时,不需考虑骨架等因素). 解析: 设圆柱形灯笼的母线长为 l, l?1.2?2r(0<r<0.6), (1) 则

1 哦。 3

S??3?(r?0.4)2?0.48?,
所以当 r?0.4 时,S 取得最大值约为 1.51 平方米;

(2) 当 r?0.3 时,l?0.6,作三视图略. 2.(2010 陕西文)18.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是矩形 PA⊥平面 ABCD,AP=AB,BP=BC=2,E,F 分 别是 PB,PC 的中点. (Ⅰ)证明:EF∥平面 PAD; (Ⅱ)求三棱锥 E—ABC 的体积 V. 解 (Ⅰ)在△PBC 中,E,F 分别是 PB,PC 的中点,∴EF∥BC. 又 BC∥AD,∴EF∥AD, 又∵AD ? 平面 PAD,EF ? 平面 PAD, ∴EF∥平面 PAD.

(Ⅱ)连接 AE,AC,EC,过 E 作 EG∥PA 交 AB 于点 G, 则 BG⊥平面 ABCD,且 EG=

1 PA. 2
2 . 2

在△PAB 中,AD=AB, ? PAB°,BP=2,∴AP=AB= 2 ,EG= ∴S△ABC=

1 1 AB·BC= × 2 ×2= 2 , 2 2
2 1 1 1 S△ABC·EG= × 2 × = . 2 3 3 3

∴VE-ABC=

3.(2010 安徽文)19.(本小题满分 13 分) 如图, 在多面体 ABCDEF 中, 四边形 ABCD 是正方形, AB=2EF=2, EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°,
E F

BF=FC,H 为 BC 的中点, (Ⅰ)求证:FH∥平面 EDB; (Ⅱ)求证:AC⊥平面 EDB; (Ⅲ)求四面体 B—DEF 的体积;
A B D C

H

【命题意图】 本题考查空间线面平行、 线面垂直、 面面垂直的判断与证明,考查体积的计算等基础

知识,同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力. 【解题指导】 (1)设底面对角线交点为 G,则可以通过证明 EG∥FH,得 FH ∥平面 EDB ; (2)利用线线、线面的平行与垂直关系,证明 FH⊥平面 ABCD,得 FH⊥BC,FH⊥AC,进而 得 EG⊥AC, AC ? 平面 EDB ; (3)证明 BF⊥平面 CDEF,得 BF 为四面体 B-DEF 的高,进 而求体积.

(1)证:设AC与BD交于点G,则G为AC的中点,连EG, GH,由于H 为BC的中点,故 1 AB, 2 1 又EF / / AB,?四边形EFGH 为平行四边形 2 ? EG / / FH,而EG ? 平面EDB, FH / / 平面EDB ? GH / /

【规律总结】本题是典型的空间几何问题,图形不是规则的空间几何体,所求的结论是线 面平行与垂直以及体积, 考查平行关系的判断与性质.解决这类问题, 通常利用线线平行证 明线面平行,利用线线垂直证明线面垂直,通过求高和底面积求四面体体积. 4.(2010 四川理) (18) (本小题满分 12 分)已知正方体 ABCD-A'B'C'D'的棱长为 1,点

D?
M 是棱 AA'的中点,点 O 是对角线 BD'的中点.
(Ⅰ)求证:OM 为异面直线 AA'和 BD'的公垂线; (Ⅱ)求二面角 M-BC'-B'的大小; (Ⅲ)求三棱锥 M-OBC 的体积.

C?

A?
M? D A

B?

?O
C

B

本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识,

并考查空间想象能力和逻辑推理能力,考查应用向量知识解决数学问题的能力。 解法一: (1)连结 AC,取 AC 中点 K,则 K 为 BD 的中点,连结 OK 因为 M 是棱 AA’的中点,点 O 是 BD’的中点 所以 AM //

1 DD ' //OK 2

所以 MO //AK 由 AA’⊥AK,得 MO⊥AA’ 因为 AK⊥BD,AK⊥BB’,所以 AK⊥平面 BDD’B’ 所以 AK⊥BD’ 所以 MO⊥BD’ 又因为 OM 是异面直线 AA’和 BD’都相交故 OM 为异面直线 AA'和 BD'的公垂线 (2)取 BB’中点 N,连结 MN,则 MN⊥平面 BCC’B’ 过点 N 作 NH⊥BC’于 H,连结 MH 则由三垂线定理得 BC’⊥MH 从而,∠MHN 为二面角 M-BC’-B’的平面角

MN=1,NH=Bnsin45°= ?

1 2 2 ? 2 2 4

在 Rt△MNH 中,tan∠MHN=

MN 1 ? ? 2 2 故二面角 M-BC’-B’的大小为 arctan2 2 NH 2 4

(3)易知,S△OBC=S△OA’D’,且△OBC 和△OA’D’都在平面 BCD’A’内 点 O 到平面 MA’D’距离 h=

1 2 1 24

VM-OBC=VM-OA’D’=VO-MA’D’= S△MA’D’h=
解法二:

1 3

以点 D 为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系 D-xyz 则 A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A’(1,0,1),C’(0,1,1),D’(0,0,1) (1)因为点 M 是棱 AA’的中点,点 O 是 BD’的中点 所以 M(1,0,

1 1 1 1 ),O( , , ) 2 2 2 2 ???? ? 1 1 ???? ???? ? OM ? ( , ? , 0) , AA ' =(0,0,1), BD ' =(-1,-1,1) 2 2

???? ???? ? ???? ???? ? ? 1 1 OM ?AA ' =0, OM ?BD ' ? ? ? +0=0 所以 OM⊥AA’,OM⊥BD’ 2 2
又因为 OM 与异面直线 AA’和 BD’都相交 故 OM 为异面直线 AA'和 BD'的公垂线.????????????4 分 (2)设平面 BMC'的一个法向量为 n1 =(x,y,z)

??

???? ? ???? ? 1 BM =(0,-1, ), BC ' =(-1,0,1) 2 ?? ???? ? 1 ? ?n1 ?BM ? 0 ?? y ? z ? 0 ? 即? 2 ? ? ?? ???? ?n1 ?BC ' ? 0 ?? x ? z ? 0 ? ?
取 z=2,则 x=2,y=1,从而 n1 =(2,1,2) 取平面 BC'B'的一个法向量为 n2 =(0,1,0)

??

?? ?

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ?n2 1 1 ? ? cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? | n1 |? n2 | | 9? 3 1
由图可知,二面角 M-BC'-B'的平面角为锐角 故二面角 M-BC'-B'的大小为 arccos

1 ??????????????????9 分 3

1 2 1 1 S△BCD'A'= ? ? 2 ? 4 4 4 ?? ? 设平面 OBC 的一个法向量为 n3 =(x1,y1,z1)
(3)易知,S△OBC=

??? ? ???? ? BD ' =(-1,-1,1), BC =(-1,0,0) ?? ???? ? ? ?n3 ?BD ' ? 0 ? ? x1 ? y1 ? z1 ? 0 ? 即? ? ? ?? ??? ? ? x1 ? 0 ?n1 ?BC ? 0 ? ?? ? 取 z1=1,得 y1=1,从而 n3 =(0,1,1)



M

到 平 面

OBC

的 距 离

1 ???? ? | BM ? 2 | 2 ?? ? ? ? d = 4 | n3 | 2

VM



OBC



1 1 2 2 1 S?OBC ?d ? ? ? ? ????????????????12 分 3 3 4 4 24

2009 年高考题
一、选择题 1. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 2? ? 2 3 B. 4? ? 2 3 C. 2? ? ).

2 3 3
2

D. 4? ? 2

2 3 3

【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的, 圆柱的底面半径为 1,高为 2,体积为 2? ,四棱锥的底面 边长为 2 ,高为 3 , 所以体积为 ?

1 3

? ?

2 ? 3?

2

2 3 3

2

所以该几何体的体积为 2? ? 答案:C

2 3 . 3

2 正(主)视图

2 侧(左)视图

【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力, 由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地 计算出.几何体的体积. 俯视图

2.一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位:c m )为 (A)48+12 2 (B)48+24 2 (C)36+12 2 (D)36+24 2

2

3.正六棱锥 P-ABCDEF 中,G 为 PB 的中点,则三棱锥 D-GAC 与三棱锥 P-GAC 体积之比 为 (A)1:1 (B) 1:2 (C) 2:1 (D) 3:2

4.在区间[-1,1]上随机取一个数 x, cos A.

?x

1 3

B.

2 ?

C.

1 2

2 2 D. 3

的值介于 0 到

1 之间的概率为( 2

).

【 解 析 】 : 在 区 间 [-1 , 1] 上 随 机 取 一 个 数 x, 即 x ?[?1,1] 时 , ?

?
2

?

?x
2

?

?
2

, ∴

0 ? cos

?x
2

?1

区间长度为 1, 而 cos 答案 C

?x
2

的值介于 0 到

1 1 1 之间的区间长度为 ,所以概率为 .故选 C 2 2 2

【命题立意】 :本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量 x 的取值范围,得到函 数值 cos

?x
2

的范围,再由长度型几何概型求得.

5. 如右图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 的俯视图可以是

1 。则该集合体 2

答案: C 6.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方 体 的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平,得到右侧的平面图形,则标“ ? ”的面的方位 是 A. 南 C. 西 B. 北 D. 下

解:展、折问题。易判断选 B

7. 如 图 , 在 半 径 为

3

的 球 面 上 有 A, B, C 三 点 ,

?ABC ? 90? , BA ? BC ,
球心 O 到平面 ABC 的距离是

3 2 ,则 B、C 两点的球面距离是 2
C.

A.

? 3

B. ?

4? 3

D. 2?

答案 B 8.若正方体的棱长为 2 ,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为

A.

2 6

B.

2 3

C.

3 3

D.

2 3

答案 C 9,如图,已知三棱锥的底面是直角三角形,直角边长分别为 3 和 4,过直角顶点的侧棱长

为 4,且垂直于底面,该三棱锥的主视图是( 答案 B



二、填空题 10..图是一个几何体的三视图,若它的体积是 3 3 ,则 a=_______ 答案
3

11.如图是一个几何体的三视图,若它的体积是 3 3 ,则 a ? __________

12.若某几何体的三视图(单位: cm )如图所示,则此几何体的体积是 答案 18

cm3 .

【解析】该几何体是由二个长方体组成,下面体积为 1? 3 ? 3 ? 9 ,上面的长方体体积为

3 ? 3 ?1 ? 9 ,因此其几何体的体积为 18
13.设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为 m) 。

则该几何体的体积为
答案

m3

答案 4

14. 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的各顶点都在同一球面上,若

AB ? AC ? AA1 ? 2 , ?BAC ? 120? ,则此球的表面积等于



解:在 ?ABC 中 AB ? AC ? 2 , ?BAC ? 120? ,可得 BC ? 2 3 ,由正弦定理,可得 ?ABC 外接圆半径 r=2,设此圆圆心为 O? ,球心为 O ,在 RT ?OBO? 中,易得球半径 R ? 故此球的表面积为 4? R ? 20? .
2

5,

15.正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 内接于半径为 2 的球,若 A, B 两点的球面距离为 ? ,则正三 棱 柱的体积为 答案 8 .

16 . 体 积 为 8 的 一 个 正 方 体 , 其 全 面 积 与 球 O 的 表 面 积 相 等 , 则 球 O 的 体 积 等 于 答案 .

8 6?

?
2 ,A、B

17.如图球 O 的半径为 2,圆 O1 是一小圆, O1O ? 是圆 O1 上两点,若 A,B 两点间的球面距离为 答案
? 2

2? ,则 ?AO1 B = 3

.

18.已知三个球的半径 R1 , R2 , R3 满足 R1 ? 2 R2 ? 3R3 ,则它们的表面积 S 1 , S 2 , S 3 , 满足的等量关系是___________. 答案
S1 ? 2 S 2 ? 3 S 3

19.若球 O1、O2 表示面积之比 答案 2 三、解答题 20. (本小题满分 13 分)

S1 R ? 4 ,则它们的半径之比 1 =_____________. S2 R2

某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 4 所示。墩的上半部分是正四棱锥

P ? EFGH ,下半部分是长方体 ABCD ? EFGH 。图 5、图 6 分别是该标识墩的正
(主)视图和俯视图。 (1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图; (2)求该安全标识墩的体积; (3)证明:直线 BD ? 平面 PEG .

【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.

(2)该安全标识墩的体积为: V ? VP ? EFGH ? VABCD ? EFGH

1 ? ? 402 ? 60 ? 402 ? 20 ? 32000 ? 32000 ? 64000 3
由正四棱锥的性质可知, PO ? 平面 EFGH , 又 EG ? HF 又 BD P HF

? cm ?
2

(3)如图,连结 EG,HF 及 BD,EG 与 HF 相交于 O,连结 PO.

? P O? H F

? HF ? 平面 PEG ? BD ? 平面 PEG;

2005—2008 年高考题
一、选择题 1.(2008 广东)将正三棱柱截去三个角(如图 1 所示 A B,C 分别是 △GHI 三边的中点) , 得到几何体如图 2,则该几何体按图 2 所示方向的侧视图(或称左视图)为( H B A I C G 侧视 B A C B B B B )

E F 图1 答案 A

D

E F 图2

D

E A.

E B.

E C.

E D.

2.(2008 海南、宁夏理)某几何体的一条棱长为 7 ,在该几何体的正视图中,这条棱的 投影是长为 6 的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段,则 a+b 的最大值为( A. 2 2 答案 C B. 2 3 ) C. 4 D. 2 5

【解析】结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图 设长方体的高宽高分别为 m, n, k ,由题意得

k n m

m ? n ? k ? 7 , m ? k ? 6 ? n ?1
2 2 2 2 2

1 ? k 2 ? a , 1 ? m 2 ? b ,所以 (a 2 ? 1) ? (b2 ? 1) ? 6

? a 2 ? b2 ? 8 ,∴(a ? b)2 ? a 2 ? 2ab ? b2 ? 8 ? 2ab ? 8 ? a 2 ? b2 ? 16

? a ? b ? 4 当且仅当 a ? b ? 2 时取等号。
3.(2008 山东)下图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 A.9π C.11π B.10π D.12π

答案

D

【解析】考查三视图与几何体的表面积。从三视图可以看出该几何体是由一个球和一 个圆柱组合而成的,其表面及为

S ? 4? ?12 ? ? ?12 ? 2 ? 2? ?1? 3 ? 12? .
3. (2007 宁夏理?8) 已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm) , 可得这个几何体的体积是( )

10 20 10

20 正视图

20 侧视图

20 俯视图

A.

4000 3 cm 3

B.

8000 3 cm 3

C. 2000cm

3

D. 4000cm

3

答案 B 4. (2007 陕西理?6)一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上,其中底面的三 个顶点在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是( )

A.

3 3 4

B.

3 3

C.

3 4

D.

3 12

答案 B 5.(2006 安徽)表面积为 2 3 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体 积为 A.

2 ? 3

B. ?

1 3

C. ?

2 3

D.

2 2 ? 3

答案 A 【解析】此正八面体是每个面的边长均为 a 的正三角形,所以由 8 ?

3a 2 ? 2 3 知, 4

a ? 1 ,则此球的直径为 2 ,故选 A。
6.(2006 福建)已知正方体外接球的体积是

32 ? ,那么正方体的棱长等于( 3
C.



A.2 2 答案 D

B.

2 3 3

4 2 3

D.

4 3 3

【解析】正方体外接球的体积是

32 ? ,则外接球的半径 R=2,正方体的对角线的长为 4, 3

棱长等于

4 3 ,选 D. 3

7.( 2006 湖南卷)过半径为 2 的球 O 表面上一点 A 作球 O 的截面,若 OA 与该截面所成 的角是 60°则该截面的面积是 A.π 答案 A 【解析】 过半径为 2 的球 O 表面上一点 A 作球 O 的截面, OA 与该截面所成的角是 60° 若 , 则截面圆的半径是 B.2π ( ) C.3π D. 2 3?

1 R=1,该截面的面积是 π,选 A. 2
) D. 1∶9

8.(2006 山东卷)正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( A. 1∶ 3 答案 C B. 1∶3 C. 1∶3 3

【解析】设正方体的棱长为 a,则它的内切球的半径为

3 1 a, a ,它的外接球的半径为 2 2

故所求的比为 1∶3 3 ,选 C. 9.(2005 全国卷Ⅰ)一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为 ? ,则球的表面积 为 ( ) B. 8? C. 4 2? D. 4?

A. 8 2? 答案 B

10.(2005 全国卷Ⅰ)如图,在多面体 ABCDEF 中,已知 ABCD 是边长为 1 的正方形,且

?ADE、?BCF 均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为 (
A.

)

2 3

B.

3 3

C.

4 3

D.

3 2

二、填空题 11.(2008 海南、宁夏理科)一个六棱柱的底面是正六边 形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为 底面周长为 3,则这个球的体积为 答案 .

9 , 8

4? 3
2

【解析】令球的半径为 R ,六棱柱的底面边长为 a ,高为 h ,显然有 a ? ( ) ? R ,
2

h 2

1 ? ? 3 2 9 4 4 a ?h ? ?V ? 6 ? ?a ? 2 ? R ? 1 ? V ? ? R3 ? ? . 且? 4 8?? 3 3 ?6 a ? 3 ?h ? 3 ? ?

12.(2008 海南、宁夏文)一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面。已知该六棱 柱 的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的高为 3 ,底面周长为 3,那么这个球的体积 为_________ 答案

4 ? 3
1 ,故其主对 角线为1,从而球的直 径 2

【解 析 】∵正六边形周长为3 ,得边长为

2R ?

? 3?

2

? 12 ? 2
4 ?. 3

∴ R ?1

∴球的体积 V ?

13. (2007 天津理?12)一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条 棱 的长分别为 1,2,3,则此球的表面积为 答案 .

14π

14. 2007 全国Ⅱ理?15) ( 一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2 cm 的球面上。 如果正四 棱柱的底面边长为 1 cm,那么该棱柱的表面积为 答案 cm2.

2? 4 2

15.(2006 辽宁)如图,半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥 P ? ABCDEF ,则此正六棱 锥的侧面积是________. P

C B A F

D E

答案

6 7

【解析】显然正六棱锥 P ? ABCDEF 的底面的外接圆是球的一个大圆,于是可求得底 面边长为 2,又正六棱锥 P ? ABCDEF 的高依题意可得为 2,依此可求得 6 7 .

第二部分

四年联考汇编

2010 年联考题 题组二(5 月份更新)
1. (池州市七校元旦调研)在三棱柱 点 D 是侧面 A. 30
?

ABC ? A1 B1C1 BB1C1C
?

中,各棱长相等,侧掕垂直于底面, 所成角的大小是 ( )

BB1C1C
B. 45
?

的中心,则 AD 与平面 C. 60
?

D. 90

答案 C 解析:取 BC 的中点 E,则 AE ? 面

BB1C1C

,? AE ? DE ,因此 AD 与平面

BB1C1C



成角即为 ?ADE ,设

AE ?

3 a a DE ? 0 2 , 2 ,即有 tan ?ADE ? 3,??ADE ? 60 .

2. (安徽六校联考)如图是一个简单的组合体的 直观图与三视图.下面是一个 棱长为 4 的正方体,正上面放
正视图 侧视图

一个球,且球的一部分嵌入正 方体中,则球的半径是( ) A.
1 2

直观图
1

B. 1

C.

3 2

D. 2

俯视图

答案 B 3.如图,动点 P 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的对角线 BD1 上.过点 P 作垂直于平面

BB1 D1 D 的直线,与正方体表面相交于 M,N .设 BP ? x , MN ? y ,则函数 y ? f ( x)
的图象大致是( )

D1 A1 D A M B1 P N B

C1

y

y

y

y

C

O A.

x

O B.

x

O C.

x

O D.

x

答案:B

4. (三明市三校联考) 已知某几何体的三视图如右图所 示,则该几何体的体积为 答案 2/3

5.(昆明一中三次月考理)四面体 ABCD 中,共顶点 A 的三条棱两两相互垂直,且其长分

3 别为 1、 6、 ,若四面体的四个顶点同在一个球面上,则这个球的表面积为
答案: 16?



6. (池州市七校元旦调研)若某几何体的三视图(单位: cm )如图 所示,则此几何体的体积是 答案 18 【解析】该几何体是由二个长方体组成,下面体积为 1? 3 ? 3 ? 9 ,上 面的长方体体积为 3 ? 3 ?1 ? 9 ,因此其几何体的体积为 18

cm3 .

7.(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)一个几何体的三 视图如图所示:其中,主视图中大三角形的边长是 2 的正三角形,俯视图为正六边形,那 么该几何体几的体积为 . 答案

3 2

俯视图

主视图

左视图

8. (安庆市四校元旦联考) (本题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,ABCD 是矩 形, PA ? 平面ABCD ,

P
PA ? AD ? 1, AB ? 3 ,点 F 是 PD 的中点,点 E 在 CD 上移动。
⑴求三棱锥 E ? PAB 体积; ⑵当点 E 为 CD 的中点时,试判断 EF 与平面 PAC 的关系,并说明理由; ⑶求证: PE ? AF 。 解: (1)? PA ? 平面ABCD ,

F

A D E

B

C

?VE ? PAB ? VP ? ABE ?

1 1 1 3 S ?ABE ? PA ? ? ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 3 2 6

(2)当点 E 为 BC 的中点时, EF || 平面PAC 。 理由如下:?点 E, F 分别为 CD 、PD 的中点,? EF || PC 。

? PC ? 平面PAC , EF ? 平面PAC ? EF || 平面PAC
(3)? PA ? 平面ABCD , CD ? 平面ABCD

? CD ? PA

? ABCD是矩矩形 ,?CD ? AD

? PA ? AD ? A ,? CD ? 平面PAD
? AF ? 平面PAD

? AF ? DC

? PA ? AD ,点 F 是 PD 的中点 ? AF ? PD
又 CD ? PD ? D

? AF ? 平面PDC

? PE ? 平面PDC,

? PE ? AF

9. (哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,已 知 BC ? 1, BB1 ? 2, ?BCC1 ?

? AB ? 侧面 BB1C1C , 3
学,,,网 , ,,

A

A1

B C

B1 E C1

(1)求直线 C1B 与底面 ABC 所成角正切值; (2)在棱 CC1 (不包含端点 C , C1 ) 上确定一点 E 的位置, 使得 EA ? EB1 (要求说明理由). (3)在(2)的条件下,若 AB ? 2 ,求二面角 A ? EB1 ? A1 的大小. 解: (1)在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, C1C ? 平面ABC ? C1 B 在平面 ABC 上的射影 为 CB .

??C1BC 为直线 C1B 与底面 ABC 所成角.
? CC1 ? BB1 ? 2, BC ? 1,? tan ?C1 BC ? 2
即直线 C1 B 与底面 ABC 所成角正切值为 2. ( 2 ) 当 E 为 中 点 时 , EA ? EB1 .

???? 2?

???? 4?

? CE ? EC1 ? 1, BC ? B1C1 ? 1

??BEC ? ?B1EC1 ? 45?

??BEB1 ? 90? ,即 B1E ? BE
又? AB ? 平面BB1C1C ,? EB1 ? 平面BB1C1C ? AB ? EB1

???? 6?

? B E? A B ?
EA ? EB1

B

? EB1 ? 平面ABE
???? 8?



EA ? 平面ABE



( 3 ) 取 EB1 的 中 点 G , A1 E 的 中 点 F , 则 FG ∥ A1 B1 , 且 FG ?

? A1B1 ? EB1 ? FG ? EB1
连结 A1 B, AB1 ,设 A1 B ? AB1 ? O ,连结 OF , OG, FG ,

A

1 A1 B1 , 2

A1

O B E F G C1 B1

1 则 OG ∥ AE ,且 OG ? AE ? AE ? EB1 ? OG ? EB1 2

??OGF 为二面角 A ? EB1 ? A1 的平面角.
? OG ?

C ???? 10?

1 1 2 1 2 ? AE ? 1, FG ? A1 B1 ? , OF ? BE ? , ??OGF ? 45 2 2 2 2 2
???? 12?

∴二面角 A ? EB1 ? A1 的大小为 45°

题组一(1 月份更新)
一、选择题 1.(2009 滨州一模)设 ? 、 ? 是两个不同的平面, l、m 为两条不同的直线,命题 p:若 平面 ? // ? ,l ? ? ,m ? ? , l // m ; 则 命题 q:l // ? ,m ? l ,m ? ? , ? ? ? , 则 则下列命题为真命题的是 A.p 或 q C.┐p 或 q 答案 C 2. 2009 玉溪市民族中学第四次月考) ( 若球 O 的半径为 1, 点 A、 C 在球面上, B、 它们任意两点的球面距离都等于 则过 A、B、C 的小圆面积与球表面积之比为 ( B.p 且 q D.p 且┐q ( )

?
2

,



1 A. 12 1 C. 6
答案 C

1 B. 8
D.

1 4

3. ( 2009 聊 城 一 模 ) 某 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 , 则 该 几 何 体 的 体 积 是 ( A. 2 3 ) B. 3

C. 答案 B

3 3 4

D.

3 3 2

4.(2009 临沂一模)一个几何体的三视图及长度数据如图, 则该几何体的表面 积与体积分别为 A、 7 ? 2,3 答案 C 5. 2009 青岛一模) ( 如右图, 一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为 2 的正三角形,其俯视图轮廓为正方形,则其体积是
主视图

B、 8 ? 2,3

C、 7 ? 2,

3 2

D、 8 ? 2,

3 2

左视图

A.

3 6

B. 4 2

3

C.

4 3 3

D. 8

3

答案 C 6.(2009 上海闸北区)右图是一个几何体的三视图,根据图中数据, 可得该几何体的表面积是……………………………………… ( ) B. 11π D. 13? 2 3 2 2 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图

A. 10π C. 12π 答案 C

7.(2009 泰安一模)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的 体积等于 (A) 4 (C) 8 答案 A 8.(2009 枣庄一模)一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体外接球的表面积为 ( A. 3? C. 答案 C ) B. 2? D.以上都不对 (B) 6 (D)12

16? 3

9.(2009 番禺一模)一个几何体的三视图如右图所示, 其中正视图中△ABC 是边长为 2 的正三角形, 俯视图为 正六边形,那么该几何体的侧视图的面积为( ) .

A.12

B.

2 3

C. 答案 C

3 2

D.6

二、填空题 1.(2009 上海八校联考)已知一个球的球心 O 到过球面上 A、B、C 三点的截面的距离等 于此球半径的一半,若 AB ? BC ? CA ? 3 ,则球的体积为________________。 答案

32 ? 3
cm3.
理第 11 题

2.(2009 上海青浦区)如图,用一平面去截球所得截面的面积为 2? cm2,已知 球心到该截面的距离为 1 cm,则该球的体积是 答案 4 3? 三、解答题 1. ( 2009 上 海 普 陀 区 ) 已 知 复 数 z1 ? c o sx? i,
A

z2 ? 1 ? sin x ? i ( i 是虚数单位) ,且 z1 ? z2 ? 5 .当实数
x ? ? ?2? , 2? ? 时,试用列举法表示满足条件的 x 的取值集
合P. 解:如图,设 BC 中点为 D ,联结 AD 、 OD . 由题意, OB ? OC ? 2 , ?BOC ? 60? ,所以 △OBC 为 等边三角形, 故 BC ? 2 ,且 OD ? 3 . 又 S△ ABC ? 所以 AO ?
第 19 题图 O B

C

1 BC ? AD ? 3 ? AD ? 3 , 2
AD 2 ? OD 2 ? 6 .
2

A

而圆锥体的底面圆面积为 S ? ? ? OC ? 4? ,
O 第 19 题图 B D

C

所以圆锥体体积 V ?

1 4 6 ? S△ ABC ? AO ? ?. 3 3

2.(2009 上海奉贤区模拟考)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ABC=90°, AB=BC=1. (1)求异面直线 B1C1 与 AC 所成角的大小; (2)若直线 A1C 与平面 ABC 所成角为 45°, 求三棱锥 A1-ABC 的体积. ( 1 ) 因 为 BC ? B1C1 , 所 以 ∠ BCA ( 或 其 补 角 ) 即 为 异 面 直 线 B1C1 与 AC 所 成 角 -------(3 分) ∠ABC=90°, AB=BC=1,所以 ?BCA ?

?

4 ? 即异面直线 B1C1 与 AC 所成角大小为 。 4



-------(2 分) -------(1 分)

(2)直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, A1 A ? 平面ABC ,所以 ?ACA 即为直线 A1C 与平面 ABC 所 1 成角,所以 ?A1CA ?

?
4



-------(2 分) ------(2

Rt? ABC 中,AB=BC=1 得到 AC ? 2 , Rt? AA1C 中,得到 AA1 ? AC ? 2 ,
分) 所以 VA1 ? ABC ?

1 2 S? ABC AA1 ? 3 6

-------(2 分)

3.(2009 冠龙高级中学 3 月月考)在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, (如图)

E 是棱 C1 D1 的中点, F 是侧面 AA1 D1 D 的中心.
(1) 求三棱锥 A1 ? D1 EF 的体积; 求 EF 与底面 A1 B1C1 D1 所成的角的大小. (结果用反三角 函数表示) (1) V A1 ? D1EF ? VE ? A1D1F ? A1 F

D1

E B1

C1

D

C B

1 1 ?1?1 ? . 3 3

A

(2)取 A1 D1 的中点 G ,所求的角的大小等于 ?GEF 的大小,

2 ,所以 EF 与底面 A1 B1C1 D1 所成的角的大 Rt?GEF 中 tan ?GEF ? 2

D1 A1 B1

C1

E D C B

A

小是 arctan

2 . 2

4. (2009 闸北区) 如图,在四棱锥 O ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,

OA ? 底面ABCD , OA ? 2 , M 为 OA 的中点.
(Ⅰ)求四棱锥 O ? ABCD 的体积; (Ⅱ)求异面直线 OB 与 MD 所成角的大小.
M O

A B C

D

解: (Ⅰ)由已知可求得,正方形 ABCD 的面积 S ? 4 ,……………………………2 分 所以,求棱锥 O ? ABCD的体积 V ? 分 (Ⅱ)方法一(综合法) 设线段 AC 的中点为 E ,连接 ME , 则 ?EMD 为异面直线 OC 与 MD 所成的角(或其补角) ………………………………..1 分 由已知,可得 DE ?

1 8 ? 4 ? 2 ? ………………………………………4 3 3

2 , EM ? 3, MD ? 5 ,

? ( 2 ) 2 ? ( 3) 2 ? ( 5 ) 2

? ?DEM 为直角三角形
? tan ?EMD ? DE ? EM 2 3

…………………………………………………………….2 分 , …………………………………………………………….4 分

? ?EMD ? arctan

3 2 . 3 3 2 . 3
…………………..1 分

所以,异面直线 OC 与 MD 所成角的大小 arctan 方法二(向量法)

以 AB,AD,AO 所在直线为 x, y, z 轴建立坐标系, 则 O(0,0,2), C (2,2,0), M (0,0,1), D(0,2,0) , ………………………………………………2 分

OC ? (2,2,?2)



MD ? (0,2,?1) , …………………………………………………………………………..2 分
设异面直线 OC 与 MD 所成角为 ? ,

cos? ?

| OC ? MD | | OC | ? | MD |

?

15 .……………………………………3 分 5

∴OC 与 MD 所成角的大小为 arccos

15 .……………………………………………1 分 5

5、 (2009 东莞一模)如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1中, AD ? AA1 ? 1, AB ? 1 ,点 E 在棱 AB 上移动,小蚂蚁从点 A 沿长方体的表面爬到点 C1,所爬的最短路程为 2 2 . (1)求证:D1E⊥A1D; (2)求 AB 的长度; (3)在线段 AB 上是否存在点 E,使得二面角

D1 ? EC ? D的大小为 。若存在,确定 4
点 E 的位置;若不存在,请说明理由.

?

解一: (1)证明:连结 AD1,由长方体的性质可知: AE⊥平面 AD1,∴AD1 是 ED1 在 平面 AD1 内的射影。又∵AD=AA1=1, ∴AD1⊥A1D ∴D1E⊥A1D1(三垂线定理) 4分

(2)设 AB=x,∵四边形 ADD1A 是正方形, ∴小蚂蚁从点 A 沿长方体的表面爬到 点 C1 可能有两种途径,如图甲的最短路程为

| AC1 |? x 2 ? 4
如图乙的最短路程为

| AC1 ? ( x ? 1) 2 ? 1 ?

x 2 ? 2x ? 2

?x ?1
? x 2 ? 2x ? 2 ? x 2 ? 2 ? 2 ? x 2 ? 4
? x 2 ? 4 ? 2 2 ? x ? 2 ??????9 分
(3)假设存在,平面 DEC 的法向量 n1 ? (0,0,1) , D1C ? (0,2,?1) 设平面 D1EC 的法向量 n2 ? ( x, y, z ) ,则 ? x ? ( 2 ? a ) y ?

?z ? 2 y

? n2 ? (2 ? a,1,2) ???????12 分
由题意得: cos ? n1 , n 2 ??

2 (2 ? a ) 2 ? 12 ? 2 2

?

2 2

解得: a ? 2 ? 3或a ? 2 ? 3 (舍去)

即当点E离B为 3时, 二面角D1 ? ED ? D的大小为 . ???14 分 4

?

2009 年联考题
一、选择题 1.(2009 枣庄市二模)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积等于( )

A.

1 3 a 6

B.

1 3 a 2

C.

2 3 a 3
D

D.

5 3 a 6

答案

2. (2009 天津重点学校二模) 如图, 直三棱柱的主视图面积为 2a2,则左视图的面积为 ( A.2a2 C. 3a 答案
2



B.a2 D.

a

a a

3 2 a 4

C

3. (2009 青岛二模)如下图为长方体木块堆成的几何体的三视图, 则组成此几何体的长方体木块块数共有( )

A.3 块 答案 B

B.4 块

C.5 块

D.6 块

4. (2009 台州二模)如图,一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为 角为 60? 的菱形, 俯视图为正方形, 那么这个几何体的表面积为 ( A. 2 3 C.4 答案 C ) B. 4 3 D. 8 )

3 ,且一个内 2

正视图

侧视图

5.(2009 宁德二模) 右图是一个多面体的三视图, 则其全面积为( A. 3 C. 3 ? 6 答案 C B.

俯视图

3 ?6 2

D. 3 ? 4 r

6. (2009 天津河西区二模)如图所示,一个空间几何体的正 视图和侧视图都是底为 1,高为 2 的矩形,俯视图是一个圆,

那么这个几何体的表面积为( A.Z 2? C. 4? 答案 B

) B.

5? 2

D. 5?

7. (2009 湛江一模)用单位立方块搭一个几何体,使它的主视图和俯视图如右 图所示,则它的体积的最小值与最大值分别为( A. 9 与 13 C. 10 与 16 答案 C B. 7 与 10 D. 10 与 15
主视图 俯视图

)

8. (2009 厦门大同中学)如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何体 的表面积是( )

2 1 2 主视图 2 俯视图 左视图

A. (20 ? 4 2)cm C. (24 ? 4 2)cm 答案 A

2

B.21 cm D. 24 cm

2

9.(抚州一中 2009 届高三第四次同步考试)下图是一个几何体的三视图,根据图中数据, 可得几何体的表面积是( )

2 3

俯视图

2 主视图

2 左视图

A.22 ? 答案 D 二、填空题

B.12 ?

C.4 ? +24

D.4 ? +32

10.(辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考) 棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个 球面上,若过该球球心的一个截面如图,则图中 三角形(正四面体的截面)的面积是 答案 .

2

11.(2009 南京一模)如图,在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,D 为棱 AA1 的中点,若截
A1 C1

面 ?BC1 D 是面积为 6 的直角三角形,则此三棱柱的体积为 答案

.
D

B1

8 3

A

C B 第(11)题

12.(2009 广州一模)一个几何体的三视图及其尺寸(单位:cm) 如图所示,则该几何体的侧面积为_______cm2. 5 5

5

5

8 正(主)视图

8 侧(左)视图

8 俯视图

答案 80 13.(2009 珠海二模)一个五面体的三视图如下,正视图与侧视图是等腰直角三角形,俯视 图为直角梯形,部分边长如图所示,则此五面体的体积为___________.

答案 2

2007—2008 年联考题

一、选择题 1.(2008江苏省启东中学高三综合测试二)如图在正三棱锥A-BCD中, E、F分别是AB、BC的中点,EF⊥DE,且BC=1,则正三棱锥A-BCD 的体积是 ( )

A.

2 12
B

B.

2 24

C.

3 12

D.

3 24

答案

2.(2008 江苏省启东中学高三综合测试四)一个与球心距离为 1 的平面截球体所得的圆面面 积为 ? ,则球的体积为 A. ( ) D. 8 ?

8 2? 3
A

B.

8? 3

C.

32? 3

答案

3. (福建省南靖一中 2008 年第四次月考) 球面上有三点 A、B、C,任意两点之间的球面距离 都等于球大圆周长的四分之一,且过这三点的截面圆的面积为 4? ,则此球的体积为

( A. 4 6? 答案 D B. 4 3? C. 8 3? D. 8 6?



4.(湖北省黄冈中学 2008 届高三第一次模拟考试)已知 ?ABC 中, AB=2, BC=1, ABC ? 120? , ? 平面 ABC 外一点 P 满足 PA=PB=PC=2,则三棱锥 P—ABC 的体积是( )

A. 答案

5 2

B.

5 3

C.

5 4

D.

5 6

D )

2 3 5.(吉林省吉林市 2008 届上期末)设正方体的棱长为 ,则它的外接球的表面积为( 3 A. ? 答案 C

8 3

B.2π

C.4π

D. ?

4 3

6.(江西省鹰潭市 2008 届高三第一次模拟) 三棱锥 P—ABC 的侧棱 PA、PB、PC 两两垂直, 侧面面积分别是 6,4,3,则三棱锥的体积是 A. 4 答案 A B. 6 C. 8 ( D. 10 )


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