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专题二 三角函数、解三角形、平面向量与数列(文理)第1讲 三角函数

专题二 三角函数、解三角形、平面向量与数列 第1讲 三角函数 考向预测 1.三角函数的图象,主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题,主要以选择题、填空题的形式考查; 2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等,主要以解答题的形式考查; 3.三角函数的化简与求值是高考的命题热点,其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工 具,三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换,“角”的变换 是三角恒等变换的核心. 知识与技 巧 的 梳 理 1.常用三种函数的图象性质(下表中 k∈Z) 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 图象 递增 区间 递减 区间 奇偶性 对称 中心 对称轴 周期性 ? ?? ? 2k ? ? ? ? 2k ? ? 2 , 2? ? ? ?? ? ? 2k ? ? ? ? 2k ? ? 2 , 2? ? 2k ?? ? 2k ? ? ?, 2k ? ? ?? ? 2k ?, 偶函数 ? ? ? 0? ? k? ? , 2 ? ? ? ?? ? ? k ? ? ,k ? ? ? 2 2? ? 奇函数 (kπ,0) x=kπ+ 2π ? 2 奇函数 ? k? ? 0? ? , ? 2 ? x=kπ 2π π 2.三角函数的常用结论 (1)y=Asin(ωx+φ),当 φ=kπ(k∈Z)时为奇函数;当 φ=kπ+ + ? (k∈Z)求得. 2 ? (k∈Z)时为偶函数;对称轴方程可由 ωx+φ=kπ 2 (2)y=Acos(ωx+φ), 当 φ=kπ+ ? (k∈Z)时为奇函数; 当 φ=kπ(k∈Z)时为偶函数; 对称轴方程可由 ωx+φ=kπ(k 2 第 1 页 共 16 页 ∈Z)求得. (3)y=Atan(ωx+φ),当 φ=kπ(k∈Z)时为奇函数. 3.三角函数的两种常见变换 向左?? ?0 ?或向右?? ?0 ? (1)y=sin x ??????????? ? 平移 ? 个单位 纵坐标变为原来的A倍 y=sin(ωx+φ) ??????????? ? 横坐标不变 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0). y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0). 4.三角函数公式 (1)同角关系:sin2α+cos2α=1, (2)诱导公式:对于“ sin ? ? tan ? . cos ? k? ? ? ,k∈Z 的三角函数值”与“α 角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆:奇变 2 偶不变,符号看象限. (3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式: sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? tan ?? ? ? ? ? sin ? sin ? ; tan ? ? tan ? . 1 tan ? tan ? (4)二倍角公式: sin 2? ? 2sin ? cos ? , cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 2cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? . (5)辅助角公式:asin x+bcos x= a2+b2sin(x+φ),其中 tan ? ? b . a 热点题型 热点一 三角函数的图象 ?? ? 【例 1】(1)某同学用“五点法”画函数 f(x)=Asin(ωx+φ) ? ? ? 0, ? ? ? 在某一个周期内的图象时,列表并填 2? ? 第 2 页 共 16 页 入了部分数据,如下表: ωx+φ x Asin(ωx+φ) 0 0 ? 2 π ?? 2 2π ? ? ?? ? 5 -5 0 (1)请将上表数据补充完整,填写在相应位置,并直接写出函数 f(x)的解析式; (2)将 y=f(x)图象上所有点向左平行移动 θ(θ>0)个单位长度,得到 y=g(x)的图象.若 y=g(x)图象的一个对称中 ? 5? ? 心为 ? , 0 ? ,求 θ 的最小值. ? 12 ? ?? ? (2)函数 f(x)=Asin(ωx+φ) ? A ? 0, ? ? 0, ? ? ? 的部分图象如图所示,则函数 f(x)的解析式为( 2? ? ) ?? ? A. f ( x) ? 2sin ? x ? ? 6? ? ?? ? C. f ( x) ? 2sin ? 2 x ? ? 12 ? ? ?? ? B. f ( x) ? 2sin ? 2 x ? ? 3? ? ?? ? D. f ( x) ? 2sin ? 2 x ? ? 6? ? (1)解 ? (1)根据表中已知数据,解得 A=5,ω=2, ? ? ? .数据补全如下表: 6 ωx+φ x Asin(ωx+φ) ?? ? 且函数表达式为 f ( x) ? 5sin ? 2 x ? ? . 6? ? 0 ? 12 ? 2 π ?? 12 ?? 2 2π 13 π 12 0 ? 3 ?? 6 0 5 0 -5 ?? ?? ? ? (2)由(1)知 f ( x) ? 5sin ? 2 x ? ? ,根据图象平移变换,得 g ( x) ? 5sin ? 2 x ? 2? ? ? . 6? 6? ? ? 因为 y=sin x 的对称中心为(kπ,0),k∈Z. 令 2x+2θ- 解得 x ? ? =kπ,k∈Z, 6 k? ? ? ? ? ,k∈Z. 2 12 k? ? 5? k? ? ? ?? ? 由于函数 y=g(x)的图象关于点 ? , 0 ? 成中心对称,令 ,k∈Z,解得 ? ? ? ?? ? ? ,k∈Z. 2 12 12 2 3 ? 12 ? 第 3 页 共 16 页 由 θ>0 可知,当 k=1 时,θ 取得最小值 (2)解析 ? . 6 ? 5? ? ? (1)由题意知 A=2, T ? 4 ?

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