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2014届高三数学一轮复习精讲精练:8.3圆的方程-教学文档

第 3 课 圆的方程
【考点导读】 1.掌握圆的标准方程与一般方程,能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程;理 解圆的标准方程与一般方程之间的关系,会进行互化。 2.本节内容主要考查利用待定系数法求圆的方程,利用三角换元或数形结合求最值问 题,题型难度以容易题和中档题为主. 【基础练习】 1.已知点 A(3,-2),B(-5,4),以线段 AB 为直径的圆的方程为(x + 1)2 + (y-1)2 = 25 2.过点 A(1,-1)、B(-1,1)且圆心在直线 x+y-2=0 上的圆的方程是(x-1)2+(y -1)2=4
3.已知圆 C 的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 与圆 C 相切,则圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 4x ? 0

4.圆 x2 ? y2 ? 4x ? 2 y ? c ? 0 与 y 轴交于 A、B 两点,圆心为 P,若∠APB=120°,则实数 c 值为_-11__

? ? 5.如果方程 x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 D2 ? E2 ? 4F ? 0 所表示的曲线关于直线 y ? x
对称,那么必有__D=E__

【范例导析】

【例1】 设方程 x2 ? y2 ? 2(m ? 3)x ? 2(1? 4m2 ) y ?16m4 ? 9 ? 0 ,若该方程表示一个圆,

求 m 的取值范围及这时圆心的轨迹方程。 分析:配成圆的标准方程再求解
解 : 配 方 得 : ? x ? (m ? 3)?2 ? ?? y ? (1? 4m2 )??2 ? 1? 6m ? 7m2

该方程表示圆,则有

1? 6m ? 7m2

?

0

,得

m

?

(?

1 7

,1)

,此时圆心的轨迹方程为

? ? ?

x y

? ?

m?3 4m2 ?

1

,消去

m,得

y ? 4(x ? 3)2 ?1 , 由 m ? (? 1 ,1) 得 7

x=m+3

?

? ??

20 7

,

4

? ??

?

所求的

轨迹

方程



y

?

4(

x

?

3)2

?1,

x

?

? ??

20 7

,

4

? ??

注意:方程表示圆的充要条件,求轨迹方程时,一定要讨论变量的取值范围,如题中

x

?

? ??

20 7

,

4 ???

变式 1:方程 ax2 ? ay2 ? 4(a ?1)x ? 4 y ? 0 表示圆,求实数 a 的取值范围,并求出其中半
径最小的圆的方程。

第1页

解:原方程可化为

? ??

x

?

2(a ?1) ?2 a ??

?

(y

?

2 )2 a

?

4(a2

? 2a a2

?

2)

a2 ? 2a ? 2 ? 0,?当 a ? 0 时,原方程表示圆。

又r ?

4(a2 ? 2a ? 2) ?

2a2 ? 2(a2 ? 4a ? 4) ?

2?a ? 2?2

2?

?

2

a2

a2

a2

当 a ? 2, rmin ? 2 ,所以半径最小的圆方程为 ? x ?1?2 ? ? y ?1?2 ? 2

例 2 求半径为 4,与圆 x2 ? y2 ? 4x ? 2 y ? 4 ? 0 相切,且和直线 y ? 0 相切的圆的方程.
分析:根据问题的特征,宜用圆的标准方程求解.
解:则题意,设所求圆的方程为圆 C:(x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 .

圆 C 与直线 y ? 0 相切,且半径为 4,则圆心 C 的坐标为 C1(a , 4) 或 C2 (a , ? 4) . 又已知圆 x2 ? y2 ? 4x ? 2 y ? 4 ? 0 的圆心 A 的坐标为 (2 , 1) ,半径为 3.

若两圆相切,则 CA ? 4 ? 3 ? 7 或 CA ? 4 ? 3 ? 1.

(1) 当 C1(a , 4) 时 , (a ? 2)2 ? (4 ?1)2 ? 72 , 或 (a ? 2)2 ? (4 ?1)2 ? 12 ( 无 解 ) , 故 可 得 a ? 2 ? 2 10 .

∴所求圆方程为 (x ? 2 ? 2 10)2 ? ( y ? 4)2 ? 42 ,或 (x ? 2 ? 2 10)2 ? ( y ? 4)2 ? 42 .

(2) 当 C2 (a , ? 4) 时 , (a ? 2)2 ? (?4 ?1)2 ? 72 , 或 (a ? 2)2 ? (?4 ?1)2 ? 12 ( 无 解 ) , 故 a?2?2 6.

∴所求圆的方程为 (x ? 2 ? 2 6)2 ? ( y ? 4)2 ? 42 ,或 (x ? 2 ? 2 6)2 ? ( y ? 4)2 ? 42 .
【反馈练习】 1.关于 x,y 的方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示一个圆的充要条件是 B=0 且 A=C≠ 0,D2+E2-4AF>0 2.过点 P(-8,-1),Q(5,12),R(17,4)三点的圆的圆心坐标是(5,-1)
3.若两直线 y=x+2k 与 y=2x+k+1 的交点 P 在圆 x2+y2=4 的内部,则 k 的范围是 ? 1 ? k ? 1 5
4.已知圆心为点(2,-3),一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上,则这个圆的方程是
x2 ? y2 ? 4x ? 6y ? 0

第2页

5.直线

y=3x+1

与曲线

x2+y2=4

相交于

A、B

两点,则

AB

的中点坐标是

? ??

?

3 10

,

1 10

? ??

6.方程 x ?1 ? 1? ( y ?1)2 表示的曲线是_两个半圆

7.圆 (x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 2 关于直线 x ? y ? 0 的对称圆的方程是 (x ? 4)2 ? ( y ? 3)2 ? 2

8.如果实数 x、y 满足等式 ? x ? 2?2 ? y2 ? 3 ,那么 y 的最大值是 3
x

9.已知点 A(?1,1) 和圆 C : (x ? 5)2 ? ( y ? 7)2 ? 4 ,求一束光线从点 A 经 x 轴反射到圆周 C

的最短路程为___8___ 10.求经过点 A(5,2),B(3,2),圆心在直线 2x─y─3=0 上的圆的方程;

解:设圆心

P(x0,y0),则有

?2x0 ? ?( x0

? y0 ? 5)2

?3 ? 0 ? (y0 ?

2) 2

?

(x0

? 3)2

?

( y0

?

2) 2

,

解得 x0=4, y0=5,

∴半径 r= 10 ,

∴所求圆的方程为(x─4)2+(y─5)2=10

11. 一圆与 y 轴相切,圆心在直线 x-3y=0 上,且直线 y=x 截圆所得弦长为 2 7 ,求此圆的 方程 解:因圆与 y 轴相切,且圆心在直线 x-3y=0 上, 故设圆方程为 (x ? 3b)2 ? ( y ? b)2 ? 9b2

又因为直线 y=x 截圆得弦长为 2 7 ,

则有 (| 3b ? b |)2 + ( 7 )2 =9b2, 2
解得 b=±1 故所求圆方程为 (x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 9 或 (x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 9 点拨:(1)确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程;(2)待定系数法;(3)尽量 利用几何关系求 a、b、r 或 D、E、F.

第3页


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