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专题二 三角函数、解三角形、平面向量与数列(文理)第2讲 解三角形

专题二 三角函数、解三角形、平面向量与数列 第2讲 解三角形 考向预测 正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容,主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题. 知识与技 巧 的 梳 理 正弦定理、余弦定理、三角形面积公式. (1)正弦定理 a b c 在△ABC 中, = = =2R(R 为△ABC 的外接圆半径); sin A sin B sin C a 变形:a=2Rsin A,sin A= , 2R a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C 等. (2)余弦定理 在△ABC 中,a2=b2+c2-2bccos A; b2+c2-a2 变形:b2+c2-a2=2bccos A,cos A= . 2bc (3)三角形面积公式 1 1 1 S△ABC= absin C= bcsin A= acsin B. 2 2 2 热点题型 热点一 利用正(余)弦定理进行边角计算 【例 1】 (2017· 武汉二模)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 2cos Acos C(tan Atan C-1)=1. (1)求 B 的大小; 3 3 (2)若 a+c= ,b= 3,求△ABC 的面积. 2 解 (1)由 2cos Acos C(tan Atan C-1)=1, 1 得 2(sin Asin C-cos Acos C)=1,即 cos(A+C)=- , 2 1 ∴cos B=-cos(A+C)= , 2 π 又 0<B<π,∴B= . 3 第 1 页 共 11 页 a2+c2-b2 1 (2)由余弦定理得 cos B= = , 2ac 2 (a+c)2-2ac-b2 1 3 3 ∴ = ,又 a+c= ,b= 3, 2ac 2 2 27 5 ∴ -2ac-3=ac,即 ac= , 4 4 1 1 5 3 5 3 ∴S△ABC= acsin B= × × = . 2 2 4 2 16 探究提高 1.高考中主要涉及利用正弦、余弦定理求三角形的边长、角、面积等基本计算,或将两个定理与 三角恒等变换相结合综合解三角形. 2.关于解三角形问题,一般要用到三角形的内角和定理,正、余弦定理及有关三角形的性质,常见的三角变 换方法和原则都适用,同时要注意“三统一”,即“统一角、统一函数、统一结构”,这是使问题获得解决的 突破口. B 【训练 1】 (2017· 全国Ⅱ卷)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sin(A+C)=8sin2 . 2 (1)求 cos B; (2)若 a+c=6,△ABC 面积为 2,求 b. 解 B (1)由题设及 A+B+C=π,得 sin B=8sin2 , 2 故 sin B=4(1-cos B). 上式两边平方,整理得 17cos2B-32cos B+15=0, 15 解得 cos B=1(舍去),cos B= . 17 15 8 (2)由 cos B= 得 sin B= , 17 17 1 4 故 S△ABC= acsin B= ac. 2 17 17 又 S△ABC=2,则 ac= . 2 由余弦定理及 a+c=6 得 17 ? 15? 1+ =4. b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2× × 17? 2 ? 所以 b=2. 热点二 应用正、余弦定理解决实际问题 【例 2】 (2017· 衡水质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度: 在 C 处(点 C 在水平地面下方,O 为 CH 与水平地面 ABO 的交点)进行该仪器的垂直弹射,水平地面上两个观 察点 A,B 两地相距 100 米,∠BAC=60° ,其中 A 到 C 的距离比 B 到 C 的距离远 40 米.A 地测得该仪器在 C 处的俯角为∠OAC=15° ,A 地测得最高点 H 的仰角为∠HAO=30° ,则该仪器的垂直弹射高度 CH 为( ) 第 2 页 共 11 页 A.210( 6+ 2)米 C.210 2米 B.140 6米 D.20( 6- 2)米 解析 由题意,设 AC=x 米,则 BC=(x-40)米,在△ABC 内,由余弦定理:BC2=BA2+CA2-2BA· CA· cos ∠BAC, 即(x-40)2=x2+10 000-100x,解得 x=420 米. 在△ACH 中,AC=420 米,∠CAH=30° +15° =45° ,∠CHA=90° -30° =60° , CH AC 由正弦定理: = . sin∠CAH sin∠AHC sin∠CAH 可得 CH=AC· =140 6(米). sin∠AHC 答案 B 探究提高 1.实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理 求解. 2.实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够 条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得 出所要求的解. 【训练 2】 如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30° 的方向上,行驶 600 m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 75° 的方向上,仰角为 30° ,则此山的高度 CD= ________m. 解析 由题意,在△ABC 中,∠BAC=30° ,∠ABC=180° -75° =105° ,故∠ACB=45° . 600 BC 又 AB=600 m,故由正弦定理得 = , sin 45° sin 30° 解得 BC=300 2(m). 3 在 Rt△BCD 中,CD=BC· tan 30° =300 2× =100 6(m). 3 答案 100 6 热点三 解三角形与三角函数的交汇问题 【例 3】 (2017· 长沙质检)已知函数 f(x)=2 3s

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