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抛物线的焦点弦问题 2


抛物线复习二

执教者:范叔阁

1

试一试:
一动圆和直线x=-1相切,并且经过点F(1,0),

则动圆圆心轨迹方程为

2

抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l (l不经过点F) 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 L
定点F叫做抛物线的焦点。 定直线L叫做抛物线的准线。 N
M

· F ·

3

抛物线的标准方程和几何性质
图形 y 标准 方程 焦点 坐标 准线 方程 范围 对称 轴
x?0 y?R x?0 y?R

顶点 坐标

x o· y

x轴 (0,0)

o
y

x
y?0 x?R

x轴 (0,0)

o o
y

x
y?0

y轴 (0,0)

x

4

x ? R y轴 (0,0)

例1、求过点A(3,2)的抛物线的标准方程. 先定向,再定量。
练习:求抛物线y=4x2的焦点坐标及准线方程

5

小试牛刀
如图:抛物线方程为y 2 ? 4 x, F 为抛物线的焦点, MN 为过焦点的弦。其中M在第一象限

(1)若已知点M(4,y0 ), 求 MF 的值。

(2)若已知 MF ? 5,求 MN 的长。

课堂悟道:抛物线中与焦点弦长相关的问
题,往往应用定义进行转化,以简化计算。 必要时可联立直线与抛物线方程,结合韦达 定理解决问题 6

1 1

思考
若弦AB被焦点分成长为m,n的两部分 求证:1/m+1/n=2/p。
8

6

B
F A
5 10 15 20

4

2

15

10

5

2

4

6

8

10

7

动手实践:(以3人为一小组)
任务一: 在抛物线上任取点M,以焦半径MF为直径作圆。 要求: (1)3人一组,交流、合作, (2)观察所作出的圆的共同特征? 结论一:以焦半径MF为直径的圆与y轴相切。

任务二: 过点F作直线L与抛物线交于M、N,以焦点弦MN为直径作圆。 要求: (1)3人一组,交流、合作, (2)观察所作出的圆的共同特征?
结论二:以焦点弦MN为直径的圆与准线相切。
8

探究:直线y=2x+m与抛物线y2=4x相交于A、B 两点, ,求直线AB的方程。 (1)|AB|=5; (2)AB中点的纵坐标为6; (3)若点O为坐标原点,∠AOB=90°; (4)若点O为坐标原点, ?OB ? 5 ; OA (5)若点O为坐标原点, S△AOB=10 ; ……
9

练一练
解:由y 2 ? 32 x得焦点坐标为(8,0), 设B( x1 , y1 )、C ( x2 , y2 ), y ? A(2,8), 三角形重心是(8,0),
? x1 ? x2 ? 2 ? 8, ? ? x1 ? x2 ? 22, ? 3 ?? 即? y1 ? y2 ? 8 y ? y2 ? ?8. ? ? 0. ? 1 ? 3 ?
2 2

A(2,8)

故BC中点为(11,?4).又y1 ? 32 x1 , y2 ? 32 x2 , B ?( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 32( x1 ? x2 ), ? k BC ? ?4.

o

F .

x

故BC方程为4 x ? y ? 40 ? 0. C ?4 x ? y ? 40 ? 0, 2 又由? 2 得 x ? 22 x ? 100 ? 0, ? ? 84 ? 0. ? y ? 32 x.

故BC所在直线的方程为4 x ? y ? 40 ? 0.
10

课后思考题: 已知直线L与抛物线x2=4y相交于两个不同点A、B,若 满足OA*OB=0,求证:直线AB必过定点
y A

O

F(2,0) B

x

11

小结:
(1)一个定义; (2)两种思想: 转化与化归思想、数形结合思想 (3)三个重要点: 会求出标准方程; 会写出焦点坐标及准线方程; 结合韦达定理解决简单的问题.
12


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