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高中人教A版数学选修2-2答案


高中人教 A 版数学选修 2-2 测试题答案
一、选择题 1.A 2.C 3.A 4.D 5.A 6.B 7.B 8.D 9.B 10.C 11.B 12.D 二、填空题 2 13.(-∞,-1) 14.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1) 1 15. 16.-1-3i 3 三、解答题 1+y 1+x 17.证明 反证法.假设 ≥2, ≥2,即 1+y≥2x,1+x≥2y.

1 ∴g(x)>g(1)= >0, 6 1 2 2 3 ∴当 x>1 时, x +ln x< x . 2 3 21.解 设桶的底面半径为 r,桶高为 h,材料费用为 W,每平方米的木板价钱为 a (a>0, V 2? ? 2V r>0),则 V=πr2h,所以 h= 2.所以 W=2πr·h·a+πr2·5a=a·? +5πr ?,又 W′r πr ?r ? 3 2V 2V =a(10πr- 2 ), W′r=0, 10πr- 2 =0, 由 得 解得 r=

V


3 , r= 当

V


r

r

附近左侧时, ′r<0, W

x y ∴2+x+y≥2x+2y.即 x+y≤2. 这与 x+y>2 矛盾. 1+y 1+x ∴ 和 中至少有一个小于 2. x y 18.解 设方程有实根 x0, 2 则 x0+(a+bi)x0+1+ai=0, 2 即(x0+ax0+1)+(bx0+a)i=0.
?x0+ax0+1=0, ? ∵a,b,x0∈R,∴? ? ?bx0+a=0.
2

3 右侧时,W′r>0.所以在 r= 3 =

V


时,W 取极小值,又此函数只有一个极值点,所以当 r

① ②
2 2 2

∵b>0,∴x0=- .
4

a b

将其代入①得 b -a b+a =0.③
2 2 2

∵b>0,∴Δ≥0,即 a -4a ≥0,a ≠0, ∴a ≥4,又 a>0,∴a≥2. 故 a 的最小值为 2,所以 b=2. ∴x0=-1. 原方程的解集为{-1}. 2 3 2 19.解 f(x)=ax(x-2) =a(x -4x +4x). 2 ∴f′(x)=a(3x -8x+4)=a(3x-2)(x-2). 2 由 f′(x)=0,得 x= 或 x=2; 3 2 ?2? 当 a>0 时,f(x)在 x= 处,取极大值; 由 f? ?=32,得 a=27, 3 ?3? 当 a<0 时,f(x)在 x=2 时,取极大值, 由 f(2)=32,得 a 不存在,∴a=27. 20.(1)解 依题意知函数的定义域为 x>0, 1 ∵f′(x)=x+ ,故 f′(x)>0,

x

∴f(x)的单调增区间为(0,+∞). 2 3 1 2 (2)证明 设 g(x)= x - x -ln x, 3 2 1 2 ∴g′(x)=2x -x- ,

3 25V ,此时所用材料费用最少. 5π π 2 ? 2n+1? -1 * 22.解 推测 Sn= (n∈N ). 2 ? 2n+1? 用数学归纳法证明如下: 2 ? 2+1? -1 8 (1)当 n=1 时,S1= 2 = ,等式成立; ? 2+1? 9 (2)假设当 n=k 时等式成立, 2 ? 2k+1? -1 即 S k= 2 ,那么当 n=k+1 时, ? 2k+1? 8? k+1? Sk+1=Sk+ 2 2 ? 2k+1? ? 2k+3? 2 ? 2k+1? -1 8? k+1? = 2 + 2 2 ? 2k+1? ? 2k+1? ? 2k+3? 2 2 [? 2k+1? -1]? 2k+3? +8? k+1? = 2 2 ? 2k+1? ? 2k+3? 2 2 2 ? 2k+1? ? 2k+3? -? 2k+3? +8? k+1? = 2 2 ? 2k+1? ? 2k+3? 2 2 2 ? 2k+1? ? 2k+3? -? 2k+1? = 2 2 ? 2k+1? ? 2k+3? 2 2 ? 2k+3? -1 [2? k+1? +1] -1 = 2 = 2 . ? 2k+3? [2? k+1? +1] 也就是说,当 n=k+1 时,等式成立. * 根据(1)和(2),可知对一切 n∈N ,等式均成立.

V

时,h=

x

? x-1? ∵当 x>1 时,g′(x)=

? 2x +x+1?

2

x

>0,

∴g(x)在(1,+∞)上为增函数,


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