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2013届高考数学压轴题练习11


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高考数学压轴题练习 11
14. A﹑B﹑C 是直线 l 上的三点, 向量 OA ﹑ OB ﹑ OC 满足:OA - [y+2 f ?(1) ]·OB +ln(x+1)·OC = 0 ; (Ⅰ)求函数 y=f(x)的表达式; (Ⅲ)当 (Ⅱ)若 x>0, 证明 f(x)>

2x ; x?2

1 2 x ? f ( x 2 ) ? m 2 ? 2bm ? 3 时,x ? ?? 1,1? 及 b ? ?? 1,1? 都恒成立,求实数 m 的取值范围。 2

解 I)由三点共线知识,

? ? ∵ OA ? [ y ? 2 f (1)]OB ? ln( x ? 1)] ? OC ? 0 ,∴ OA ? [ y ? 2 f (1)]OB ? ln( x ? 1)] ? OC ,∵A﹑B﹑C 三点共
线,

? ∴ [ y ? 2 f (1)] ? [? ln( x ? 1)] ? 1 ? ∴ y ? f ( x) ? ln( x ? 1) ? 1 ? 2 f (1) .

? ? ∴ f ( x) ? x ? 1 ∴ f (1) ? 2 , ∴f(x)=ln(x+1)………………4 分
2x
(Ⅱ)令 g(x)=f(x)- x ? 2 ,

1

1

? 由 g ( x) ?

x2 ( x ? 1)( x ? 2) 2 ,
2x

? ∵x>0∴ g ( x) ? 0 ∴g(x)在 (0,+∞)上是增函数,故 g(x)>g(0)=0,即 f(x)> x ? 2 ;………8 分
(III)原不等式等价于 2 x ? f ( x ) ? m ? 2bm ? 3 ,令
2 2 2

1

x3 ? x 1 2 1 , x ? f ( x 2 ) = x 2 ? ln(1 ? x 2 ), 由 h?( x) ? h(x)= 2 2 1? x2
当 x∈[-1,1]时,[h(x)]max=0, ∴m -2bm-3≥0,令 Q(b)= m -2bm-3,则由 Q(1)≥0 及 Q(-1)≥0 解得 m≤-3 或 m≥3. …………12 分
2 2


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