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2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(上海卷)

2013 年上海市秋季高考理科数学 一、填空题 1.计算: lim n ?? n ? 20 ? ______ 3n ? 13 2.设 m ? R , m2 ? m ? 2 ? (m2 ? 1)i 是纯虚数,其中 i 是虚数单位,则 m ? ________ 3.若 x2 ?1 y2 1 ? x x y ?y ,则 x ? y ? ______ 4.已知△ABC 的内角 A、B、C 所对应边分别为 a、b、c,若 3a ? 2ab ? 3b ? 3c ? 0 ,则角 C 的 2 2 2 大小是_______________(结果用反三角函数值表示) a? ? 7 5.设常数 a ? R ,若 ? x 2 ? ? 的二项展开式中 x 项的系数为 ?10 ,则 a ? ______ x? ? 6.方程 5 3 1 ? ? 3x ?1 的实数解为________ 3 ?1 3 x 7.在极坐标系中,曲线 ? ? cos ? ? 1与 ? cos ? ? 1的公共点到极点的距离为__________ 8.盒子中装有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编 号之积为偶数的概率是___________(结果用最简分数表示) 9.设 AB 是椭圆 ? 的长轴,点 C 在 ? 上,且 ?CBA ? 之间的距离为________ 10.设非零常数 d 是等差数列 x1 , x2 , x3 , 则方差 D? ? _______ 11.若 cos x cos y ? sin x sin y ? ? 4 ,若 AB=4, BC ? 2 ,则 ? 的两个焦点 , x19 的公差,随机变量 ? 等可能地取值 x1 , x2 , x3 , , x19 , 1 2 ,sin 2 x ? sin 2 y ? ,则 sin( x ? y) ? ________ 2 3 12 .设 a 为实常数, y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 9 x ? a2 ? 7 ,若 x f ( x) ? a ? 1对一切 x ? 0 成立,则 a 的取值范围为________ 13.在 xOy 平面上,将两个半圆弧 ( x ?1) ? y ? 1( x ? 1) 和 ( x ? 3) ? y ? 1( x ? 3) 、两条直线 y ? 1 2 2 2 2 和 y ? ?1 围成的封闭图形记为 D,如图中阴影部分.记 D 绕 y 轴旋转一周而成的几何体为 ? , 2 过 (0, y)(| y |? 1) 作 ? 的水平截面,所得截面面积为 4? 1 ? y ? 8? ,试利用祖暅原理、一个平 放的圆柱和一个长方体,得出 ? 的体积值为__________ 1 14 .对区间 I 上有定义的函数 g ( x) ,记 g ( I ) ? { y | y ? g ( x), x? I } ,已知定义域为 [0,3] 的函数 y ? f ( x) 有反函数 y ? f ?1 ( x) ,且 f ?1 ([0,1)) ? [1, 2), f ?1 ((2, 4]) ? [0,1) ,若方程 f ( x) ? x ? 0 有解 x0 ,则 x0 ? _____ 二、选择题 15.设常数 a ? R ,集合 A ? {x | ( x ? 1)( x ? a) ? 0}, B ? {x | x ? a ?1} ,若 A ? B ? R ,则 a 的取值 范围为( (A) (??, 2) ) (B) (??, 2] (C) (2, ??) (D) [2, ??) 16.钱大姐常说“便宜没好货” ,她这句话的意思是: “不便宜”是“好货”的() (A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件 17. 在数列 {an } 中, 若一个 7 行 12 列的矩阵的第 i 行第 j 列的元素 ai , j ? ai ? a j ? ai ? a j , an ? 2n ?1, ( i ? 1, 2, ,7; j ? 1, 2, ,12 )则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为( ) (A)18 (B)28 (C)48 (D)63 18 . 在 边长 为 1 的 正 六边 形 ABCDEF 中 , 记以 A 为 起 点, 其 余顶点 为 终 点的 向 量分 别 为 a1, a2 , a3 , a4 , a5 ;以 D 为起点,其余顶点为终点的向量分别为 d1, d2 , d3 , d4 , d5 .若 m, M 分别为 (ai ? a j ? ak ) ? (dr ? ds ? dt ) {i , j? , k } 的 最 小 值 、 最 大 值 , 其 中 , s, t} 1? {1, , 2,3, 24,5} , ,则 m 3, M ,满足( 4 , )5 , {r{ . (B) m ? 0, M ? 0 (C) m ? 0, M ? 0 } (D) m ? 0, M ? 0 (A) m ? 0, M ? 0 三、解答题 19.(本题满分 12 分)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,AD=1,A1A=1,证明直线 BC1 平行 于平面 DA1C,并求直线 BC1 到平面 D1AC 的距离. D A D1 B C C1 B1 2 A1 20. (6 分+8 分)甲厂以 x 千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求 1 ? x ? 10 ) ,每小时 可获得利润是 100(5 x ? 1 ? ) 元. (1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元,求 x 的取值范围; (2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润. 21. (6 分+8 分)已知函数 f ( x) ?

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