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大高考2017版高考数学一轮总复习第10章计数原理概率与统计第2节二项式定理及其应用高考AB卷理


【大高考】2017 版高考数学一轮总复习 第 10 章 计数原理、概率与 统计 第 2 节 二项式定理及其应用高考 AB 卷 理

二项展开式中项的系数 1.(2015·全国Ⅰ,10)(x +x+y) 的展开式中,x y 的系数为( A.10 C.30 解析 Tk+1=C5(x +x)
k
2 5-k k 2 5 5 2

)

B.20 D.60
2 3 2 2 r 2(3-r) r 2 y ,∴k=2.∴C2 x y ,∴2(3- 5(x +x) y 的第 r+1 项为 C5C3x

1 r)+r=5,解得 r=1,∴x5y2 的系数为 C2 5C3=30.

答案 C 2.(2013·全国Ⅱ,5)已知(1+ax)(1+x) 的展开式中 x 的系数为 5,则 a=( A.-4 C.-2
5 2 5 2

)

B.-3 D.-1

解析 已知(1+ax)(1+x) 的展开式中 x 的系数为 C5+a·C5=5,解得 a=-1,故选 D. 答案 D 3.(2016·全国Ⅰ,14)(2x+ x) 的展开式中,x 的系数是______________(用数字填写答 案). 解析 (2x+ x) 展开式的通项公式 Tk+1=C5(2x) 5},令 5- =3 解得 k=4,得 T5=C52 2 答案 10 4.(2014·全国Ⅰ, 13)(x-y)(x+y) 的展开式中 x y 的系数为________(用数字填写答案). 解析 由二项展开式公式可知,含 x y 的项可表示为 x·C8xy -y·C8x y ,故(x-y)(x+
6 1 2 y)8 的展开式中 x2y7 的系数为 C7 8-C8=C8-C8=8-28=-20. 2 7 7 7 6 2 6 8 2 7 5 5 3 2 1

k

5-k

( x) =C52

k

k k 5-k 5-

x 2,k∈{0,1,2,3,4,

k

4 4 5-4 5-

x 2=10x3,∴x3 的系数是 10.

答案 -20 5.(2014·全国Ⅱ,13)(x+a) 的展开式中,x 的系数为 15,则 a=________(用数字作答). 解析 Tr+1=C10x
r
10-r r 10 7

a ,令 10-r=7,得 r=3,

10×9×8 3 1 1 3 3 ∴C10a =15,即 a =15,∴a3= ,∴a= . 3×2×1 8 2 答案 1 2

1

二项式定理的综合应用 6.(2014·大纲全国,13)? 解析 Tr+1=C8·?
r

? x - y ?8 2 2 ? 的展开式中 x y 的系数为________(用数字作答). x? ? y

16-3r 3r-8 ? x ?8-r ?- y ?r r r ·? ? ? =(-1) ·C8·x 2 ·y 2 , x? ? y? ?

16-3r ? ? 2 =2, 令? 得 r=4. 3r-8 ? ? 2 =2, 所以展开式中 x y 的系数为(-1) ·C8=70. 答案 70
2 2 4 4

二项展开式中项的系数 1.(2016·四川,2)设 i 为虚数单位,则(x+i) 的展开式中含 x 的项为( A.-15x
4 6 4

)

B.15x
4

4

C.-20ix

D.20ix
4 2 4 2 4

4

解析 由题可知,含 x 的项为 C6x i =-15x .选 A. 答案 A 5 ?1 ? 2 3 2.(2014·湖南,4)? x-2y? 的展开式中 x y 的系数是( 2 ? ? A.-20 C.5 B.-5 D.20 )

k 1 5-k k k 2k-5 k 5-k k 解析 展开式的通项为 Tk+1=C5( x) ·(-2y) =(-1) ·2 C5x ·y ,令 5-k=2, 2

得 k=3.则展开式中 x y 的系数为(-1) ·2 答案 A

2 3

3

2×3-5 3 5

C =-20,故选 A.

3.(2012·湖北,5)设 a∈Z,且 0≤a<13,若 51 A.0 C.11 解析 由于 51=52-1,(52-1)
2 012

2 012

+a 能被 13 整除,则 a=(

)

B.1 D.12 =C2 01252
0 2 012

-C2 01252

1

2 011

+…-C2 01252 +1,所以只需

2 011

1

1+a 能被 13 整除,0≤a<13,所以 a=12,选 D. 答案 D 4.(2016·北京,10)在(1-2x) 的展开式中,x 的系数为________. 解析 展开式的通项 Tr+1=C6·1
r
6-r 6 2

·(-2x) =C6(-2x) .令 r=2 得 T3=C6·4x =60x ,即
2

r

r

r

2

2

2

x2 的系数为 60.
答案 60 5.(2015·北京,9)在(2+x) 的展开式中,x 的系数为________(用数字作答). 解析 展开式通项为:Tr+1=C52 ∴当 r=3 时,系数为 C5·2 答案 40 1 ?6 ? 2 6.(2015·天津,12)在?x- ? 的展开式中,x 的系数为________. ? 4x? 1 ?6 ? 解析 ?x- ? 的展开式的通项 4x
3 5-3 5 3

r 5-r r

x,

=40.

?

?

1 ?r ? 1?r 6-2r; 6-r? Tr+1=Cr 6x ?-4x? =Cr 6? - ? x ? ? ? 4? 1?2 15 2 2? 当 6-2r=2 时,r=2,所以 x 的系数为 C6?- ? = . ? 4? 16 答案 15 16
5 2

7.(2012·浙江,14)若将函数 f(x)=x 表示为 f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x) +…+a5(1+

x)5,其中 a0,a1,a2,…,a5 为实数,则 a3=________.
解析 由等式两边对应项系数相等,即

a5=1, ? ? 4 ?C5a5+a4=0, ? a3=10. 3 ? ?C3 5a5+C4a4+a3=0
答案 10 二项展开式中的常数项

? 8.(2015·湖南,6)已知? x- ?
A. 3 C.6

3 a ?5 ? 的展开式中含 x2的项的系数为 30,则 a=( x?

)

B.- 3 D.-6
5-r r 5 a ?5 5 3 r r r - r r r -r ? 的展开式通项 Tr+1=C5x 2 (-1) a ·x 2=(-1) a C5x2 ,令2-r=2, x?

? 解析 ? x- ?
则 r=1,

∴T2=-aC5x2,∴-aC5=30, ∴a=-6,故选 D. 答案 D
3

1

3

1

9.(2013·辽宁,7)使得?3x+ A.4 C.6

? ?

x x?

1 ?n

? (n∈N+)的展开式中含有常数项的最小的 n 为(
B.5 D.7
k n-k

)

解析 展开式的通项公式为 Tk+1=Cn(3x) 当 k=2 时,n 有最小值 5,选 B. 答案 B

5k 5k ? 1 ?k k n-k n-5k - ? ? =Cn3 x 2 .由 n 2 =0 得 n= 2 ,所以 x x ? ?

1 ?8 ? 10.(2012·重庆,4)? x+ ? 的展开式中常数项为( 2 x? ? 35 A. 16 C. 35 4
k
8-k

)

B.

35 8

D.105

解析 二项展开式的通项为 Tk+1=C8( x) 4 ?1? 4 35 所以 T5=? ? C8= ,故选 B. 8 ?2? 答案 B 二项式定理的综合应用

? 1 ?k ?1?k k 4-k ? ? =? ? C8x ,令 4-k=0,解得 k=4, ?2 x? ?2?

11.(2015·陕西,4)二项式(x+1) (n∈N+)的展开式中 x 的系数为 15,则 n=( A.4 B.5
n-2

n

2

)

C.6
n-2
2

D.7

解析 由题意易得:Cn =15,Cn =Cn=15,即 答案 C

n(n-1)
2

=15,解得 n=6.

a?7 1 ? 12.(2014·湖北,2)若二项式?2x+ ? 的展开式中 3的系数是 84,则实数 a=(

?

x?

x

)

A.2 C.1

5 B. 4 D. 2 4

解析 Tr+1=C7·(2x)
2 5 5

r

7-r

·? ? =2

?a? ?x?

r

7-r r r 7

Ca·

1

x

2r-7

.令 2r-7=3,则 r=5.

由 2 ·C7a =84 得 a=1,故选 C. 答案 C

4

13.(2014·浙江,5)在(1+x) (1+y) 的展开式中,记 x y 项的系数 f(m,n),则 f(3,0) +f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=( A.45 C.120
6

6

4

m n

) B.60 D.210

解析 在(1+x) 的展开式中,x 的系数为 C6,在(1+y) 的展开式中,y 的系数为 C4,故
n 3 2 1 1 2 f(m,n)=Cm 6·C4.从而 f(3,0)=C6=20,f(2,1)=C6·C4=60,f(1,2)=C6·C4=36,

m

m

4

n

n

f(0,3)=C3 4=4,故选 C.
答案 C 14.(2016·山东,12)若?ax +

? ?

2

1 ?5

x?

5 ? 的展开式中 x 的系数-80,则实数 a=________.

解析 ∵Tr+1=C5(ax ) 得 a=-2. 答案 -2

r

2 5-r

5 ? 1 ?r 5-r r 10-5r 3 3 ? ? =a C5x 2 ,∴10-2r=5,解得 r=2,∴a C5=-80,解 ? x?

15.(2014·安徽,13)设 a≠0,n 是大于 1 的自然数,?1+ ? 的展开式为 a0+a1x+a2x +…
2

? ?

x?n a?

+anx .若点 Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,则 a=________.

n

解析 根据题意知 a0=1,a1=3,a2=4, 1 C · =3, ? ? a 结合二项式定理得? 1 C · =4, ? ? a
1

n

2

n

2

8 ? ?n-1= a, 3 解得 a=3. 即? ?n=3a, ? 答案 3 6 ? 2 b? 3 2 2 16.(2014·山东, 14) 若 ?ax + ? 的展开式中 x 项的系数为 20 ,则 a + b 的最小值为 x

?

?

________. 解析 Tr+1=C6(ax )
2 2

r

2 6-r

?b? =Cra6-rbrx12-3r,令 12-3r=3,则 r=3.∴C3a3b3=20,即 ab= ?x? 6 6 ? ?
2 2

r

1.∴a +b ≥2ab=2,即 a +b 的最小值为 2.
5

答案 2

6


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