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高中数学第四讲用数学归纳法证明不等式章末小结与测评创新应用教学案新人教A版选修4 5(数学教案)

第四讲 用数学归纳法证明不等式 不完全归纳的作用在于发现规律,探求结论,但结论是否为真有待证明,因而数学中我 们常用归纳——猜想——证明的方法来解决与正整数有关的归纳型和存在型问题. 设数列{an}满足 an+1=an-nan+1,n=1,2,3,? (1)当 a1=2 时,求 a2,a3,a4,并由此猜想出数列{an}的一个通项公式. (2)当 a1≥3 时,证明对所有的 n≥1,有①an≥n+2; 2 1 ② 1 1 1 1 + +?+ ≤ . 1+a1 1+a2 1+an 2 2 [解] (1)由 a1=2,得 a2=a1-a1+1=3; 由 a2=3,得 a3=a2-2a2+1=4; 由 a3=4,得 a4=a3-3a3+1=5. 由此猜想:an=n+1(n∈N+). (2)①用数学归纳法证明: 当 n=1 时,a1≥3=1+2,不等式成立; 假设当 n=k 时,不等式成立,即 ak≥k+2, 那么当 n=k+1 时,ak+1=ak-kak+1=ak(ak-k)+1 ≥(k+2)(k+2-k)+1=2(k+2)+1≥k+3=(k+1)+2, 也就是说,当 n=k+1 时,ak+1≥(k+1)+2. 综上可得,对于所有 n≥1,有 an≥n+2. ②由 an+1=an(an-n)+1 及①,对 k≥2,有 2 2 2 ak=ak-1(ak-1-k+1)+1≥ak-1(k-1+2-k+1)+1 =2ak-1+1≥2·(2ak-2+1)+1=2 ak-2+2+1 ≥2 ak-3+2 +2+1≥?∴ak≥2 =2 k-1 3 2 2 k-1 a1+2k-2+?+2+1=2k-1a1+2k-1-1 (a1+1)-1, k-1 于是 1+ak≥2 ∴ ≤ = = (a1+1), 1 1 1 ≤ · k-1,k≥2. 1+ak 1+a1 2 1 1 1 + +?+ 1+a1 1+a2 1+an 1 1 1 ?1 1 + 2+?+ n-1? + ? ? 2 2 2 1+a1 1+a1? ? 1 ? 1 ? 1 1 ?1+2+22+?+2n-1? 1+a1? ? 2 ? 1 ? 2 ≤ 2 =1. ·?1- n?< 1+a1 ? 2 ? 1+a1 1+3 2 因此,原不等式成立. \ 2 在 使用数学归纳法证明时, 一般说来, 第一步验证比较简明, 而第二步归纳步骤情况较复杂. 因 此, 熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的, 其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题, 归纳假设“P(k)成立”是问题的条件, 而“命题 P(k+1)成立”就是所要证明的结论, 因此, 合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键,下面简要分析一些常用技巧. 1.分析综合法 用数学归纳法证明关于正整数 n 的不等式,从“P(k)”到“P(k+1)”,常常可用分析 综合法. 1 1 + +?+ < n,n∈N+. 1×2 2×3 n(n+1) 1 1 [证明] (1)当 n=1 时,因为 = <1,所以原不等式成立. 1×2 2 1 1 1 (2)假设 n=k(k≥1, k∈N+)时,原不等式成立, 即有 + +?+ 1×2 2×3 k(k+1) 求证: < k, 当 n=k+1 时, 1 1 1 +?+ + < 2×3 k(k+1) (k+1)(k+2) 1 k+ . (k+1)(k+2) 1×2 + 因此,欲证明当 n=k+1 时,原不等式成立, 只需证明 k+ < k+1成立. (k+1)(k+2) 1 即证明 k+1- k> . (k+1)(k+2) 1 1 从而转化为证明 > 2 , k+1+ k k +3k+2 也就是证明 k +3k+2> k+1+ k, 即( k +3k+2) -( k+1+ k) =k +k+1-2 k(k+1) =[ k(k+1)-1] >0, 从而 k +3k+2> k+1+ k. 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 于是当 n=k+1 时,原不等式也成立. 由(1)、(2)可知,对于任意的正整数 n,原不等式都成立. 2.放缩法 涉及关于正整数 n 的不等式,从“k”过渡到“k+1”,有时也考虑用放缩法. 1 1 1 n 求证:1+ + +?+ n-1> (n∈N+). 2 3 2 2 1 [证明] (1)当 n=1 时,左边=1,右边= . 2 左边>右边,∴不等式成立. (2)假设 n=k(k≥1,k∈N+)时不等式成立, 1 1 1 k 即 1+ + +?+ k-1> . 2 3 2 2 当 n=k+1 时, 1 1 1 1 1 k k-1 1 k+1 1+ + +?+ k-1+ k-1 +?+ k,\s\do4(2k-1 项))> +2 · k= .∴n=k+1 时, 2 3 2 2 +1 2 2 2 2 不等式成立. 1 1 1 n 由(1)、(2)可知,1+ + +?+ n-1> (n∈N+). 2 3 2 2 3.递推法 用数学归纳法证明与数列有关的问题时,有时要利用 an 与 an+1 的关系,实现从“k”到 “k+1”的过渡. 1 设 0<a<1,定义 a1=1+a,an+1= +a, an 1 求证:对一切 n∈N+,有 1<an< . 1-a [证明] 用数学归纳法. 1 (1)当 n=1 时,a1>1,又 a1=1+a< ,显然命题成立. 1-a (2)假设 n=k(k≥1,k∈N+)时,命题成立, 1 即 1<ak< . 1-a 当 n=k+1 时,由递推公式,知 ak+1= +a>(1-a)+a=1, ak 1 4 1 1-a 1 同时,ak+1= +a<1+a= < , ak 1-a 1-a 当 n=k+1 时,命题也成立.即 1<ak+1< 1 . 1-a 2 1 综合(1)、(2)可知,对一切正整数 n,有 1<an< . 1-a 4.学会借用同一题中已证明过的结论 在从 k 到 k+1 的过

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