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广东省广州市五校联考2014-2015学年高二下学期期末数学试卷(文科)


广东省广州市五校联考 2014-2015 学年高二下学期期末数 学试卷(文科)
一、选择题:本题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题给出的四个选项中,只有一个 选项最符合题目要求. 1.已知集合 A. B. ,函数 y=ln(2x+1)的定义域为集合 B,则 A∩B=( C. D. )

考点:对数函数的定义域. 专题:函数的性质及应用. 分析:由对数的真数大于零求出集合 B,由交集的运算求出 A∩B. 解答: 解:由 2x+1>0 得 x 又集合 ,则集合 B=( ], ) ,

,则 A∩B=(

故选:A. 点评:本题考查对数函数的定义域,以及交集的运算,属于基础题. 2.已知 i 为虚数单位,复数 z1=a+2i,z2=2﹣i,且|z1|=|z2|,则实数 a 的值为( A.1 B.﹣1 C.1 或﹣1 D.±1 或 0 考点:复数求模. 专题:数系的扩充和复数. 分析:利用复数的模的定义得到关于 a 的方程解之. 解答: 解:因为复数 z1=a+2i,z2=2﹣i,且|z1|=|z2|, 2 所以 a +4=4+1,解得 a=±1; 故选:C. 点评:本题考查了复数求模;复数 a+bi(a,b 是实数)的模为 . )

3.已知| |=1,| |=2,且 与 夹角为 60°,则 A.1 B.3 C.2﹣

等于(

)

D.4﹣

考点:数量积表示两个向量的夹角. 专题:平面向量及应用. 分析:将所求展开,利用已知得到数量积,可求.

解答: 解:因为| |=1,| |=2,且 与 夹角为 60°,则 1×2×cos60°=3; 故选 B. 点评:本题考查了平面向量的数量积公式的运用;属于基础题.

=

=4﹣

4.已知椭圆 A. B.

与双曲线 C.4

=1 有相同的焦点,则 a 的值为( D.10

)

考点:双曲线的简单性质. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:利用椭圆、双曲线几何量之间的关系,即可求出 a 的值. 2 解答: 解:由题意,a ﹣4=9+3, ∵a>0, ∴a=4. 故选:C. 点评:本小题考查双曲线与椭圆的关系,考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题,同时双曲 线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查.

5.函数 A.

的图象的一条对称轴的方程是( B.x= C.x=

) D.x=﹣

考点:余弦函数的对称性. 专题:三角函数的图像与性质. 分析: 由条件利用余弦函数的图象的对称性求得函数 方程. 解答: 解:对于函数 故 x=﹣ 是图象的一条对称轴, ,令 x+ =kπ,k∈z,求得 x=kπ﹣ , 的图象的一条对称轴的

故选:D. 点评:本题主要考查余弦函数的图象的对称性,属于基础题. 6.各项都为正数的等比数列{an}中,a1a9=10,则 a5 的值为( A.5 B.± C. ) D.﹣5

考点:等比数列的性质. 专题:计算题;等差数列与等比数列. 2 分析:由等比数列的性质可得 a1?a9=a5 ,结合 an>0 可求 a5,即可得出结论.

解答: 解:由等比数列的性质可得 a1?a9=a5 , ∵an>0,a1a9=10, ∴a5= . 故选:C. 点评:本题主要考查了等比数列的性质的应用,属于基础试题.

2

7.在平面直角坐标系中,若不等式组

表示的平面区域的面积为 1,则实数 t 的

值为( A.0

) B.1 C.3 D.﹣1

考点:二元一次不等式(组)与平面区域. 专题:不等式的解法及应用. 分析:利用二元一次不等式组的定义作出对应的图象,找出对应的平面区域,利用面积是 9, 可以求出 a 的数值. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域,则 t<2, 由 ,解得 ,即 B(2﹣t,t) ,



,解得

,即 A(t﹣2,t) ,

则|AB|=2﹣t﹣(t﹣2)=2(2﹣t) , C 到直线 AB 的距离 d=2﹣t, 则△ 的面积 S=
2

2(2﹣t) (2﹣t)=1,

即(2﹣t) =1, 即 2﹣t=1,解得 t=1, 故选:B

点评: 本题主要考查三角形面积的计算, 根据二元一次不等式组表示平面区域作出对应的图象 是解决本题的关键. 8.阅读如图的程序框图.若输入 n=1,则输出 k 的值为( )

A.3

B.4

C.5

D.6

考点:循环结构. 专题:算法和程序框图. 分析:由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 k 的值,模拟 程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 解答: 解:第一次执行循环体后,n=4,不满足退出循环的条件,k=2; 再次执行循环体后,n=13,不满足退出循环的条件,k=3; 再次执行循环体后,n=40,不满足退出循环的条件,k=4; 再次执行循环体后,n=121,满足退出循环的条件; 故输出的 k 值为 4, 故选:B 点评:本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的方 法解答. 9.如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的全面积为( )

A.12

B.16

C.

+4

D.4

+4

考点:由三视图求面积、体积.

专题:空间位置关系与距离. 分析:由三视图可知该几何体为四棱锥,底面四边形 ABCD 边长为 2 的正方形,底边长、高 都为 2 的等腰三角形,即可求出该几何体的全面积. 解答: 解:由三视图可知该几何体为四棱锥,底面四边形 ABCD 边长为 2 的正方形, 侧面是底边长、高都为 2 的等腰三角形, ∴几何体的全面积为 2×2+4× ×2×2=12. 故选:A. 点评:本题考查几何体的全面积,考查学生的计算能力,确定几何体为四棱锥是关键.

10. 定义符号函数 sgnx=

, 设( f x) =

?f( + 1 x)

?f2

(x) , x∈, 若 f1 (x) =2 (1﹣x) , f2 (x) =x+ , 若f (x) =a 有两个解, 则 a 的取值范围是( A. B. C. D.

)

考点:分段函数的应用. 专题:函数的性质及应用. 分析:分三种情况讨论:①x= ② <x≤1③0≤x< ,借助函数单调性分别求出这三种情况 的函数值域,在根据 f(x)=a 有两个解,容易求出 a 的范围. 解答: 解:①x= ,sgn( ﹣x)=0=sgn(x﹣ ) ,则 f(x)= f1(x)+ f2(x) ,∵f1(x) =2(1﹣x) ,f2(x)=x+ ,∴f(x)= ,代入 x= ,得 f(x)=1;

② <x≤1,sgn( ﹣x)=﹣1,sgn(x﹣ )=1,f(x)=f2(x)=x+ ,f(x)在( ,1]上 是增函数,则 1<f(x)≤ ; ③0≤x< ,sgn( ﹣x)=1,sgn(x﹣ )=﹣1,f(x)=f1(x)=2(1﹣x) ,f(x)在上的最 大值是 20. 考点:利用导数求闭区间上函数的最值. 专题:导数的概念及应用. 分析:求导数,确定函数在区间上的单调性,从而可得结论. 2 解答: 解:求导数可得 y′=3x ﹣2x﹣1=(x﹣1) (3x+1) ∴函数在上,y′>0,函数单调递增, ∴函数在 x=1 处取得最小值 4, ∵x=0 时,y=5;x=3 时,y=20 ∴在 x=3 处取得最大值 20,

故答案为:20. 点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的最值,确定函数的单调性是关键. 13.△ ABC 的三个内角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c,已知 的值为 .

,a=2b,则 b

考点:解三角形. 专题:计算题. 分析:由 c,cosC 的值及 a=2b,利用余弦定理即可列出关于 b 的方程,求出方程的解即可得 到 b 的值. 解答: 解:由 c=3,cosC= ,a=2b, 根据余弦定理 c =a +b ﹣2abcosC 得: 2 2 2 5b ﹣2b =9,即 b =3, 所以 b= . 故答案为: 点评:此题考查学生灵活运用余弦定理及特殊角的三角函数值化简求值,是一道基础题. 选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) (几何证明选讲选做题) 14.已知⊙O 的割线 PAB 交⊙OA,B 两点,割线 PCD 经过圆心,若 PA=3,AB=4,PO=5, 则⊙O 的半径为 2.
2 2 2

考点:与圆有关的比例线段. 专题:计算题;压轴题. 分析: 由于 PAB 与 PCD 是圆的两条割线, 且 PA=3, AB=4, PO=5, 我们可以设圆的半径为 R, 然后根据切割线定理构造一个关于 R 的方程,解方程即可求解. 解答: 解:设⊙O 的半径为 R 则 PC=PO﹣OC=5﹣R PD=PO+OD=5+R 又∵PA=3,AB=4, ∴PB=PA+AB=7 由切割线定理易得: PA?PB=PC?PD 即 3×7=(5﹣R)×(5+R) 解得 R=2 故答案:2 点评: 本题考查的知识点是与圆相关的比例线段, 设出未知的线段根据圆幂定理列出满足条件 的方程是解答的关键.

(坐标系与参数方程选做题) 15. 已知直线 l: x﹣y+4=0 与圆 C: , 则 C 上各点到 l 的距离的最小值为 .

考点:圆的参数方程;点到直线的距离公式. 专题:计算题. 分析:先再利用圆的参数方程设出点 C 的坐标,再利用点到直线的距离公式表示出距离,最 后利用三角函数的有界性求出距离的最小值即可. 解答: 解:

, ∴距离最小值为 . 故答案为: . 点评:本小题主要考查圆的参数方程、点到直线的距离公式、三角函数的和角公式及及三角函 数的性质等基础知识,考查运算求解能力、化归与转化思想.属于基础题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,要写出详细的解答过程或证明过程) 16.已知函数 f(x)= +cosx+1. (1)求函数 f(x)的最小正周期和值域; (2)若 a 为第三象限角,且 ,求 的值.

考点:二倍角的余弦;两角和与差的正弦函数. 专题:三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (1)由三角函数恒等变换化简可得函数解析式为 f(x)= 函数的图象和性质即可求得最小正周期和值域; (2)由 根据(1)可得 sinα,结合 a 为第三象限角,可求 cosα 的值,由二 ,由正弦

倍角公式化简所求即可得解. 解答: (本题满分 12 分) 解: (1)∵ = = … …

∴函数 f(x)的周期为 2π,值域为.… (2)∵ ,∴ ,即 …



=

=

… = ,… … …

又∵α 为第三象限角,所以 ∴原式=

点评:本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,正弦函数的图象和性质,同角三角函数的关 系式的应用,属于基本知识的考查. 17.某高校在 2009 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩,按成绩分组, 得到的频率分布表如图所示. 组号 第1组 分组 频数 频率

分析: (1)由频率的意义可知,每小组的频率=

,由此计算填表中空格;

(2)先算出第 3、4、5 组每组学生数,分层抽样得按比例确定每小组抽取个体的个数,求得 第 3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试. (3)根据概率公式计算,事件“六位同学中抽两位同学”有 15 种可能,而且这些事件的可能性 相同,其中事件“第 4 组的 2 位同学为 B1,B2 至少有一位同学入选”可能种数是 9,那么即可 求得事件 A 的概率. 解答: 解: (1)由题可知,第 2 组的频数为 0.35×100=35 人, 第 3 组的频率为 ,

频率分布直方图如图所示: (2)因为第 3、4、5 组共有 60 名学生, 所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生, 每组分别为: 第 3 组: 第 4 组: 第 5 组: 人, 人, 人,

所以第 3、4、5 组分别抽取 3 人、2 人、1 人. (3)设第 3 组的 3 位同学为 A1,A2,A3, 第 4 组的 2 位同学为 B1,B2,第 5 组的 1 位同学为 C1, 则从六位同学中抽两位同学有 15 种可能如下: (A1,A2) , (A1,A3) , (A1,B1) , (A1,B2) ,

(A1,C1) , (A2,A3) , (A2,B1) , (A2,B2) , (A2,C1) , (A3,B1) , (A3,B2) , (A3,C1) , (B1,B2) , (B 1,C1) , (B2,C1) , 其中第 4 组的 2 位同学为 B1,B2 至少有一位同学入选的有: (A1,B1) , (A1,B2) , (A2,B1) , (A2,B2) , (A3,B1) , (B1,B2) , (A3,B2) , (B1,C1) , (B2,C1) ,9 中可能, 所以其中第 4 组的 2 位同学为 B1,B2 至少有一位同学入选的概率为 .

点评:此题考查了对频数分布直方图的掌握情况,考查的是概率的求法.如果一个事件有 n 种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件 A 出现 m 种结果,那么事件 A 的概率 P(A) = .

18. 在四棱锥 P﹣ABCD 中, PD⊥底面 ABCD, 底面 ABCD 是直角梯形, AB∥CD, ∠BAD=90°, AB=AD=1,CD=2. (1)求证:AB∥平面 PCD; (2)求证:BC⊥平面 PBD.

考点:直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题:证明题;空间位置关系与距离. 分析: (1)由 AB∥CD,利用直线与平面平行的判定定理即可得证; (2) 可求 , 由勾股定理的逆定理知, CB⊥BD, 又由 PD⊥底面 ABCD, CB?平面 ABCD, 可证 CB⊥PD,即可证明 BC⊥平面 PBD.

解答: (本小题满分 13 分) 证明: (1)∵AB∥CD,… AB?平面 PCD,CD?平面 PCD… ∴AB∥平面 PCD… (2)在直角梯形 ABCD 中,∠BAD=90°,AB=AD=1, ∴ ,… 2 2 2 ∴BC =(CD﹣AB) +AD =2,在△ CBD 中,由勾股定理的逆定理知,△ CBD 是直角三角形, 且 CB⊥BD,… 又 PD⊥底面 ABCD,CB?平面 ABCD, ∴CB⊥PD,… ∵BD∩PD=D,∴BC⊥平面 PBD.…

点评:本题主要考查了直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定,考查了空间想象能力 和推理论证能力,属于基本知识的考查. 19.已知等差数列{an}的公差 d≠0,它的前 n 项和为 Sn,若 S5=70,且 a1,a7,a37 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列 的前 n 项和为 Tn,求证: .

考点:数列的求和;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式. 专题:点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (1)通过 S5=70 且 a1,a7,a37 成等比数列,计算即得结论; (2)通过(1)可得 Tn= ,分离分母可得 ,进而可得 = ,并项相加得

、数列{Tn}是递增数列,即得结论.

解答: (1)解:∵数列{an}是等差数列, ∴an=a1+(n﹣1)d, ,

依题意,有

,即



解得 a1=6,d=4, * ∴数列{an}的通项公式为 an=4n+2(n∈N ) ; (2)证明:由(1)可得 ,

∴ ∴ = = = ∵ ∵ ∴数列{Tn}是递增数列, ∴ ∴ , . ,

=



,∴ ,



点评:本题考查求数列的通项及判断和的取值范围,注意解题方法的积累,属于中档题.

20.在平面直角坐标系中 xOy,已知椭圆 E:

=1(a>b>0)过点

,且椭

圆 E 的离心率为



(1)求椭圆 E 的方程; (2)是否存在以 A(0,﹣b)为直角顶点且内接于椭圆 E 的等腰直角三角形?若存在,求出 共有几个;若不存在,请说明理由. 考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1) 通过离心率与 a、 b、 c 三者的关系可得椭圆 E 方程为 x +4y =a , 代入点 计算即可; (2)假设存在,可设直线 AB 的方程 AB:y=kx﹣1(k>0) ,并与椭圆方程联立,计算可得 B 点的纵坐标, 进而可得|AB|的表达式, 讨论可得|AC|的表达式, 利用△ BAC 是等腰直角三角形, 计算即得结论. 解答: 解: (1)由 又
2 2 2 2 2 2

得 .



故椭圆 E 方程为 x +4y =a ,

椭圆 E 经过点 所以 a =4,b =1, 所以椭圆 E 的标准方程为
2 2

,则





(2)结论:存在 3 个满足条件的直角三角形. 理由如下: 假设存在这样的等腰直角三角形 BAC,明显直线 AB 的斜率存在, 因为 A 点的坐标为 A(0,﹣1) ,设直线 AB 的方程 AB:y=kx﹣1(k>0) , 则直线 AC 的方程为 .



得: (1+4k )x ﹣8kx=0,

2

2

所以 x=0,或



所以 B 点的纵坐标为



所以



同理



因为△ BAC 是等腰直角三角形, 所以|AB|=|AC|,即 即
3




2 3 2

所以 k +4k=1+4k ,即 k ﹣4k +4k﹣1=0, 3 所以(k ﹣1)﹣4k(k﹣1)=0, 2 即(k﹣1) (k ﹣3k+1)=0, 2 所以 k=1,或 k ﹣3k+1=0, 所以 k=1,或 .

所以这样的直角三角形有三个. 点评: 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题, 考查运算求解能力, 分析问题、 解决问题的能力, 注意解题方法的积累,属于中档题. 21.已知函数 f(x)=e ﹣ax﹣1. (1)当 a=1 时,试判断函数 f(x)的单调性;
x

(2)对于任意的 x∈[0,+∞) ,f(x)≥0 恒成立,求 a 的取值范围. 考点:利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题:综合题;导数的综合应用. 分析: (1)求导函数,利用导数的正负,确定函数的单调性; (2)f(x)≥0 对任意的 x∈[0,+∞) ,恒成立,即在 x∈[0,+∞)上,f(x)min≥0.分类讨论, 构造函数,确定函数的单调性,即可求得实数 a 的值. 解答: 解: (1)a=1 时,f′(x)=e ﹣1, 当 x∈(﹣∞,0)时,f′(x)<0;当 x∈(0,+∞)时,f′(x)>0. ∴f(x)在(﹣∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增; (2)任意的 x∈[0,+∞) ,f(x)≥0 恒成立,即任意的 x∈[0,+∞) ,f(x)min≥0. x f′(x)=e ﹣a, 当 a≤1 时,f′(x)>0,f(x)在[0,+∞)上单调递增,f(x)min=f(0)≥0,满足题意; x∈(﹣∞,lna)时,f′(x)<0;x∈(lna,+∞)时,f′(x)>0; x a>1 时,由 f′(x)=e ﹣a=0 得 x=lna. 当 x∈(0,lna)时,f′(x)<0;当 x∈(lna,+∞)时,f′(x)>0. ∴f(x)在(0,lna)单调递减,在(lna,+∞)单调递增. ∴f(x)min=f(lna)=e ﹣alna﹣1=a﹣alna﹣1≥0, ∴lna+ ≤1, 设 r(x)=lnx+ (x>1) ,
lna x

∵r′(x)=

≥0,

∴r(x)=lnx+ 在(1,+∞)单调递增, ∴r(a)>r(1) , ∴lna+ >1,矛盾,不合题意, 综上,a≤1. 点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与最值,考查恒成立问题,同时考查不等 式的证明,解题的关键是正确求导数,确定函数的单调性.


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