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2014《步步高》高考数学第一轮复习04 两角和与差的正弦、余弦、正切


§ 4.5

两角和与差的正弦、余弦、正切
1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换;2.利用三角

2014 高考会这样考

变换讨论三角函数的图象和性质. 复习备考要这样做 1.牢记和差公式、倍角公式,把握公式特征;2.灵活使用(正用、逆用、

变形用)两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换,三角变换中角的变换技巧是解题 的关键.

1. 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β (Cα-β)

cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β (Cα+β) sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β tan(α-β)= tan(α+β)= tan α-tan β (Tα-β) 1+tan αtan β tan α+tan β (Tα+β) 1-tan αtan β (Sα-β) (Sα+β)

2. 二倍角公式 sin 2α=2sin_αcos_α; cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α; 2tan α tan 2α= . 1-tan2α 3. 在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变 形用等.如 Tα±β 可变形为 tan α± β=tan(α± tan β)(1?tan_αtan_β), tan α+tan β tan α-tan β tan αtan β=1- = -1. tan?α+β? tan?α-β? 4.函数 f(α)=acos α+bsin α(a, 为常数), b 可以化为 f(α)= cos(α-φ),其中 φ 可由 a,b 的值唯一确定. [难点正本 疑点清源] 三角变换中的“三变” (1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”. a2+b2sin(α+φ)或 f(α)= a2+b2

(2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”、“升幂与 降幂”等. (3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通 常有“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方” 等.

2 1 tan α 1. 已知 sin(α+β)= ,sin(α-β)=- ,则 的值为_______. 3 5 tan β 答案 7 13

2 解析 由 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β= , 3 1 sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=- , 5 7 13 得 sin αcos β= ,cos αsin β= , 30 30 sin αcos β tan α 7 所以 = = . cos αsin β tan β 13 2. 函数 f(x)=2sin x(sin x+cos x)的单调增区间为______________________. π 3π 答案 ?-8+kπ, 8 +kπ? (k∈Z) ? ? 解析 f(x)=2sin2x+2sin xcos x

1-cos 2x =2× +sin 2x=sin 2x-cos 2x+1 2 π = 2sin?2x-4?+1, ? ? π π π 由- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ,k∈Z, 2 4 2 π 3π 得- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z. 8 8 π 3π 所以所求区间为?-8+kπ, 8 +kπ? (k∈Z). ? ? π 4 3. (2012· 江苏)设 α 为锐角,若 cos?α+6?= ,则 ? ? 5 π sin?2α+12?的值为________. ? ? 答案 17 2 50

π 4 解析 ∵α 为锐角且 cos?α+6?= , ? ? 5

π 3 ∴sin?α+6?= . ? ? 5 π π π ∴sin?2α+12?=sin?2?α+6?-4? ? ? ? ?

?

?

π π π π =sin 2?α+6?cos -cos 2?α+6?sin ? ? ? ? 4 4 π π π 2 = 2sin?α+6?cos?α+6?- ?2cos2?α+6?-1? ? ? ? ? 2? ? ? ? 4 3 4 2 = 2× × - ?2×?5?2-1? ? 5 5 2? ? ? = 12 2 7 2 17 2 - = . 25 50 50 ( 4 D. 3 )

sin α+cos α 1 4. (2012· 江西)若 = ,则 tan 2α 等于 sin α-cos α 2 3 A.- 4 答案 B 3 B. 4 4 C.- 3

sin α+cos α 1 tan α+1 1 解析 由 = ,等式左边分子、分母同除 cos α 得, = ,解得 tan α sin α-cos α 2 tan α-1 2 2tan α 3 =-3,则 tan 2α= 2 = . 1-tan α 4 π 1 5. (2011· 辽宁)设 sin( +θ)= ,则 sin 2θ 等于 4 3 7 A.- 9 答案 A 解析 π 2 1 sin( +θ)= (sin θ+cos θ)= , 4 2 3 1 B.- 9 1 C. 9 7 D. 9 ( )

1 1 7 将上式两边平方,得 (1+sin 2θ)= ,∴sin 2θ=- . 2 9 9

题型一 三角函数式的化简、求值问题 例1 (1)化简:

? 1 -tan α? α ? 2?·1+tan α· tan ?; ?tan α 2? ? 2 ? ?
(2)求值:[2sin 50° +sin 10° (1+ 3tan 10° 2sin280° )]· . 思维启迪:切化弦;注意角之间的联系及转化.



(1)?

? 1 -tan α? α ? α 2?·1+tan α· tan ? 2? ? tan 2 ? ?
α α α

?cos 2 sin 2 ? ? sin α sin 2 ? - =? ?1+cos α· α? α α?· sin cos ? ? cos ? ? 2 2 2
α α α α cos2 -sin2 cos αcos +sin αsin 2 2 2 2 = · α α α sin cos cos αcos 2 2 2 α cos 2 2cos α 2 = · = . sin α α sin α cos αcos 2 cos 10° 3sin 10° + ? ?· 2sin 80° (2)原式=?2sin 50° ? +sin 10° × cos 10° ? ? =? 1 3 ? ? cos 10° + sin 10° ?× 2cos 10° 2 2 ?2sin 50° ? +2sin 10° × cos 10° ? ?

=2 2[sin 50°cos 10° · +sin 10°cos(60° · -10° )] =2 2sin(50° +10° )=2 2× 探究提高 与特征. (2)对于给角求值问题,往往所给角都是非特殊角,解决这类问题的基本思路有 ①化为特殊角的三角函数值; ②化为正、负相消的项,消去求值; ③化分子、分母出现公约数进行约分求值. 在△ABC 中,已知三个内角 A,B,C 成等差数列,则 tan A C tan 的值为________. 2 2 答案 3 A C +tan + 3tan 2 2 3 = 6. 2

(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构

2π A+C π 解析 因为三个内角 A,B,C 成等差数列,且 A+B+C=π,所以 A+C= , = , 3 2 3 tan A+C = 3, 2 A C A C +tan + 3tan tan 2 2 2 2

所以 tan

A C A C A C =tan? 2 + 2 ??1-tan 2 tan 2 ?+ 3tan tan ? ?? ? 2 2

A C A C = 3?1-tan 2 tan 2 ?+ 3tan tan = 3. ? ? 2 2

题型二 三角函数的给角求值与给值求角问题 例2 β α π 1 2 (1)已知 0<β< <α<π,且 cos?α-2?=- ,sin?2-β?= ,求 cos(α+β)的值; ? ? ? ? 3 2 9 1 1 (2)已知 α,β∈(0,π),且 tan(α-β)= ,tan β=- ,求 2α-β 的值. 2 7 α+β ? β α 思维启迪:(1)拆分角: =?α-2?-?2-β?,利用平方关系分别求各角的正弦、余弦. ? ? ? 2 (2)2α-β=α+(α-β);α=(α-β)+β. 解 π (1)∵0<β< <α<π, 2

π α π π β ∴- < -β< , <α- <π, 4 2 2 4 2 α ∴cos?2-β?= ? ? β sin?α-2?= ? ? ∴cos α 5 1-sin2?2-β?= , ? ? 3 β 4 5 1-cos2?α-2?= ? ? 9 ,

α+β β α =cos??α-2?-?2-β?? ?? ? ? ?? 2

β α β α =cos?α-2?cos?2-β?+sin?α-2?sin?2-β? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 5 4 5 2 7 5 =?-9?× + × = , ? ? 3 9 3 27 ∴cos(α+β)=2cos2 α+β 49×5 239 -1=2× -1=- . 2 729 729 tan?α-β?+tan β 1-tan?α-β?tan β

(2)∵tan α=tan[(α-β)+β]=

1 1 - 2 7 1 π = = >0,∴0<α< , 1 1 3 2 1+ × 2 7 1 2× 3 2tan α 3 又∵tan 2α= = = >0, 1?2 4 1-tan2α 1-?3? ? π ∴0<2α< , 2

3 1 + 4 7 tan 2α-tan β ∴tan(2α-β)= = =1. 3 1 1+tan 2αtan β 1- × 4 7 1 ∵tan β=- <0, 7 π 3π ∴ <β<π,-π<2α-β<0,∴2α-β=- . 2 4 探究提高 β α α+β α+β α+β (1)注意变角?α-2?-?2-β?= ,可先求 cos 或 sin 的值.(2) ? ? ? ? 2 2 2

先由 tan α=tan[(α-β)+β],求 tan α 的值,再求 tan 2α 的值,这种方法的优点是可确定 2α 的取值范围.(3)通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,遵照以下原则: ①已知正切函数值,选正切函数;②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的 π π π 范围是?0,2?, 余弦皆可; 若角的范围是(0, 选余弦较好; π), 若角的范围为?-2,2?, ? ? 选正、 ? ? 选正弦较好. (4)解这类问题的一般步骤: ①求角的某一个三角函数值; ②确定角的范围; ③根据角的范围写出所求的角. 1 13 π 已知 cos α= ,cos(α-β)= ,且 0<β<α< ,求 β. 7 14 2 解 π π ∵0<β<α< ,∴0<α-β< . 2 2

13 1 π 又∵cos(α-β)= ,cos α= ,0<β<α< , 14 7 2 4 3 ∴sin α= 1-cos2α= , 7 ∴sin(α-β)= 1-cos2?α-β?= ∴cos β=cos[α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) 1 13 4 3 3 3 1 = × + × = . 7 14 7 14 2 π π ∵0<β< ,∴β= . 2 3 题型三 三角变换的简单应用 例3 1 π π 已知 f(x)=?1+tan x?sin2x-2sin?x+4?· ?x-4?. ? ? ? ? sin? ? (1)若 tan α=2,求 f(α)的值; 3 3 , 14

π π (2)若 x∈?12,2?,求 f(x)的取值范围. ? ? 思维启迪:(1)化简 f(x),由 tan α=2 代入求 f(α);(2)化成 f(x)=Asin(ωx+φ)+b 的形式, 求 f(x)的取值范围. 解 π (1)f(x)=(sin2x+sin xcos x)+2sin?x+4?· ? ?

π cos?x+4? ? ? = 1-cos 2x 1 π + sin 2x+sin?2x+2? ? ? 2 2

1 1 = + (sin 2x-cos 2x)+cos 2x 2 2 1 1 = (sin 2x+cos 2x)+ . 2 2 2sin αcos α 2tan α 4 由 tan α=2,得 sin 2α= 2 = . 2 = 2 sin α+cos α tan α+1 5 cos2α-sin2α 1-tan2α 3 cos 2α= 2 2 = 2 =- . 5 sin α+cos α 1+tan α 1 1 3 所以,f(α)= (sin 2α+cos 2α)+ = . 2 2 5 1 1 (2)由(1)得 f(x)= (sin 2x+cos 2x)+ 2 2 = π 1 2 ? sin?2x+4?+ . ? 2 2

π π 5π π 5π 由 x∈?12,2?,得 ≤2x+ ≤ . ? ? 12 4 4 ∴- π 2+1 2 ≤sin?2x+4?≤1,0≤f(x)≤ , ? ? 2 2

所以 f(x)的取值范围是?0, 探究提高

? ?

2+1? ?. 2 ?

(1)将 f(x)化简是解题的关键,本题中巧妙运用“1”的代换技巧,将 sin 2α,

cos 2α 化为正切 tan α,为第(1)问铺平道路. (2)把形如 y=asin x+bcos x 化为 y= a2+b2sin(x+φ),可进一步研究函数的周期、单调 性、最值与对称性. π 已知函数 f(x)= 3sin?2x-6?+ ? ? π 2sin2?x-12? (x∈R). ? ? (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求使函数 f(x)取得最大值时 x 的集合.

解 =2[

π π (1)因为 f(x)= 3sin?2x-6?+1-cos 2?x-12? ? ? ? ? π 1 π 3 ? sin?2x-6?- cos?2x-6?]+1 ? 2 ? ? 2

π π π =2sin??2x-6?-6?+1=2sin?2x-3?+1, ? ? ? ? ? ? 2π 所以 f(x)的最小正周期 T= =π. 2 π (2)当 f(x)取得最大值时,sin?2x-3?=1, ? ? π π 5π 此时 2x- =2kπ+ (k∈Z),即 x=kπ+ (k∈Z), 3 2 12 5π 所以所求 x 的集合为{x|x=kπ+ ,k∈Z}. 12

利用三角变换研究三角函数的性质

典例:(12 分)(2011· 北京)已知函数 f(x)=4cos x· π sin?x+6?-1. ? ? (1)求 f(x)的最小正周期; π π (2)求 f(x)在区间?-6,4?上的最大值和最小值. ? ? 审题视角 (1) 问 首 先 化 为 形 如 y = Asin(ωx + φ)的 形 式 , 由 T = 2π 求 得 ; (2) 问 由 ω

π π x∈?-6,4?求得 ωx+φ 的范围,从而求得最值. ? ? 规范解答 解 π (1)因为 f(x)=4cos xsin?x+6?-1 ? ? 3 1 ?-1 ? 2 sin x+2cos x?

=4cos x?

= 3sin 2x+2cos2x-1= 3sin 2x+cos 2x π =2sin?2x+6?,[4 分] ? ? 所以 f(x)的最小正周期为 π.[6 分] π π (2)因为- ≤x≤ , 6 4 π π 2π 所以- ≤2x+ ≤ .[8 分] 6 6 3

π π 于是,当 2x+ = , 6 2 π 即 x= 时,f(x)取得最大值 2;[10 分] 6 π π π 当 2x+ =- ,即 x=- 时,f(x)取得最小值-1.[12 分] 6 6 6

答题模板
第一步:将 f(x)化为 asin x+bcos x 的形式. 第二步:构造 f(x)= a2+b2(sin x· cos x· b ). a2+b2 a + a +b2
2

第三步:和角公式逆用 f(x)= a2+b2sin(x+φ) (其中 φ 为辅助角). 第四步:利用 f(x)= a2+b2sin(x+φ)研究三角函数的性质. 第五步:反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范. 温馨提醒 (1)在本题的解法中,运用了二倍角的正、余弦公式,还引入了辅助角,技巧

b 性较强.值得强调的是辅助角公式 asin α+bcos α= a2+b2sin(α+φ)(其中 tan φ= ),或 a a asin α+bcos α= a2+b2 cos(α-φ) (其中 tan φ= ), 在历年高考中使用频率是相当高的, b 几乎年年使用到、考查到,应特别加以关注. (2)本题的易错点是想不到引入辅助角或引入错误.

方法与技巧 1. 巧用公式变形: 和差角公式变形:tan x± y=tan(x± (1?tan xtan y); tan y)· 1+cos 2α 1-cos 2α 倍角公式变形:降幂公式 cos2α= ,sin2α= ; 2 2 α α α α cos 配方变形:1± α=?sin2± 2?2,1+cos α=2cos2 ,1-cos α=2sin2 . sin ? ? 2 2 2. 利用辅助角公式求最值、单调区间、周期.由 y=asin α+bcos α= a2+b2sin(α+φ)(其中 b tan φ= )有 a2+b2≥|y|. a 3. 重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”;变角:对角的分拆要 尽可能化成同名、同角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称;变式:对式子变形一般

要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察 角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等 变形. 4. 已知和角函数值,求单角或和角的三角函数值的技巧:把已知条件的和角进行加减或二 倍角后再加减,观察是不是常数角,只要是常数角,就可以从此入手,给这个等式两边 求某一函数值,可使所求的复杂问题简单化. 5. 熟悉三角公式的整体结构,灵活变换.本节要重视公式的推导,既要熟悉三角公式的代 数结构,更要掌握公式中角和函数名称的特征,要体会公式间的联系,掌握常见的公式 变形,倍角公式应用是重点,涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形. 失误与防范 1.运用公式时要注意审查公式成立的条件,要注意和、差、倍角的相对性,要注意升次、降 次的灵活运用,要注意“1”的各种变通. 2.在(0,π)范围内,sin(α+β)= 2 所对应的角 α+β 不是唯一的. 2

3.在三角求值时,往往要估计角的范围后再求值.

A 组 专项基础训练

(时间:35 分钟,满分:57 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1 1. (2012· 江西)若 tan θ+ =4,则 sin 2θ 等于 tan θ 1 A. 5 答案 D 1 sin θ cos θ 1 解析 由 tan θ+ = + = =4, tan θ cos θ sin θ sin θcos θ 1 得 sin θcos θ= , 4 1 1 则 sin 2θ=2sin θcos θ=2× = . 4 2 2. (2012· 大纲全国)已知 α 为第二象限角,sin α+cos α= A.- 5 3 B.- 5 9 C. 5 9 3 ,则 cos 2α 等于 3 D. 5 3 ( ) 1 B. 4 1 C. 3 1 D. 2 ( )

答案 A 解析 方法一 ∵sin α+cos α= 2 =- . 3 又∵α 为第二象限角且 sin α+cos α= π 3 ∴2kπ+ <α<2kπ+ π(k∈Z), 2 4 3 ∴4kπ+π<2α<4kπ+ π(k∈Z), 2 ∴2α 为第三象限角, ∴cos 2α=- 1-sin22α=- 方法二 由 sin α+cos α= 5 . 3 3 >0, 3 3 1 2 ,∴(sin α+cos α)2= ,∴2sin αcos α=- ,即 sin 2α 3 3 3

3 , 3

1 两边平方得 1+2sin αcos α= , 3 2 ∴2sin αcos α=- . 3 ∵α 为第二象限角,∴sin α>0,cos α<0, ∴sin α-cos α= ?sin α-cos α?2 = 1-2sin αcos α= 15 . 3

?sin α+cos α= 33, 由? 15 ?sin α-cos α= 3 ,
∴cos 2α=2cos2α-1=-

?sin α= ? 得? ? ?cos α=
5 . 3

3+ 15 , 6 3- 15 . 6

3. 已知 α,β 都是锐角,若 sin α= π A. 4 π 3π C. 和 4 4 答案 A

5 10 ,sin β= , 则 α+β 等于 5 10 3π B. 4 π 3π D.- 和- 4 4

(

)

解析 由于 α,β 都为锐角,所以 cos α= 1-sin2α= 3 10 cos β= 1-sin2β= . 10

2 5 , 5

所以 cos(α+β)=cos α· β-sin α· β= cos sin π 所以 α+β= . 4

2 , 2

π 1 4. (2011· 福建)若 α∈?0,2?,且 sin2α+cos 2α= ,则 tan α 的值等于 ? ? 4 A. 2 2 B. 3 3 C. 2 D. 3

(

)

答案 D π 1 解析 ∵α∈?0,2?,且 sin2α+cos 2α= , ? ? 4 1 1 ∴sin2α+cos2α-sin2α= ,∴cos2α= , 4 4 1 1 ∴cos α= 或- (舍去), 2 2 π ∴α= ,∴tan α= 3. 3 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5. cos275° +cos215° +cos 75° 15° cos 的值为________. 答案 5 4

解析 由诱导公式及倍角公式, 得 cos275° +cos215° +cos 75° 15° cos =sin215° +cos215° +sin 15° 15° cos 1 5 =1+ sin 30° . = 2 4 6. 3tan 12° -3 =________. ?4cos212° -2?sin 12° 答案 -4 3 3sin 12° -3 cos 12° 解析 原式= 2?2cos212° -1?sin 12° 1 3 ? 2 3? sin 12° - cos 12° 2 ?2 ? cos 12° = 2cos 24° 12° sin = = 2 3sin?-48° ? -2 3sin 48° = 2cos 24° 12° 12° sin 24° 24° sin cos cos -2 3sin 48° =-4 3. 1 sin 48° 2

π 3 3 7. sin α= ,cos β= ,其中 α,β∈?0,2?,则 α+β=____________. ? ? 5 5 答案 π 2

π 解析 ∵α、β∈?0,2?,∴α+β∈(0,π), ? ? 4 4 ∴cos α= ,sin β= , 5 5 4 3 3 4 π ∴cos(α+β)= × - × =0,∴α+β= . 5 5 5 5 2 三、解答题(共 22 分) 8. (10 分)已知 解 = = = = 因为 1+sin α - 1-sin α 1+sin α - 1-sin α 1-sin α =-2tan α,试确定使等式成立的 α 的取值集合. 1+sin α 1-sin α 1+sin α

?1+sin α?2 - cos2α

?1-sin α?2 cos2α

|1+sin α| |1-sin α| - |cos α| |cos α| 1+sin α-1+sin α |cos α| 2sin α , |cos α|

2sin α 2sin α 所以 =-2tan α=- . |cos α| cos α 所以 sin α=0 或|cos α|=-cos α>0. π 3π 故 α 的取值集合为{α|α=kπ 或 2kπ+ <α<2kπ+π 或 2kπ+π<α<2kπ+ ,k∈Z}. 2 2 π α α 6 9. (12 分)已知 α∈?2,π?,且 sin +cos = . ? ? 2 2 2 (1)求 cos α 的值; π 3 (2)若 sin(α-β)=- ,β∈?2,π?,求 cos β 的值. ? ? 5 解 (1)因为 sin α α 6 +cos = , 2 2 2

1 两边同时平方,得 sin α= . 2 π 3 又 <α<π,所以 cos α=- . 2 2 π π (2)因为 <α<π, <β<π, 2 2

π π π 所以-π<-β<- ,故- <α-β< . 2 2 2 3 4 又 sin(α-β)=- ,得 cos(α-β)= . 5 5 cos β=cos[α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) =- 4 3+3 3 4 1 ? 3? × + × - =- . 2 5 2 ? 5? 10

B 组 专项能力提升

(时间:25 分钟,满分:43 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) π π 3 7 1. (2012· 山东)若 θ∈?4,2?,sin 2θ= ,则 sin θ 等于 ? ? 8 3 A. 5 答案 D π π π 解析 ∵θ∈?4,2?,∴2θ∈?2,π?. ? ? ? ? 1 ∴cos 2θ=- 1-sin22θ=- , 8 ∴sin θ= 1-cos 2θ 3 = . 2 4 ( 1 D. 6 ) 4 B. 5 C. 7 4 3 D. 4 ( )

π 1 π 2 2. 已知 tan(α+β)= ,tan?β-4?= ,那么 tan?α+4?等于 ? ? 4 ? ? 5 13 A. 18 答案 C π π 解析 因为 α+ +β- =α+β, 4 4 π π 所以 α+ =(α+β)-?β-4?,所以 ? ? 4 π π tan?α+4?=tan??α+β?-?β-4?? ? ? ? ? ?? 3 = . π? 22 1+tan?α+β?tan?β-4? ? π tan?α+β?-tan?β-4? ? ? 13 B. 22 3 C. 22



π π 3. 当- ≤x≤ 时,函数 f(x)=sin x+ 3cos x 的 2 2 A.最大值是 1,最小值是-1 B.最大值是 1,最小值是- 1 2

(

)

C.最大值是 2,最小值是-2 D.最大值是 2,最小值是-1 答案 D 解析 f(x)=sin x+ 3cos x

π 1 3 =2? sin x+ cos x?=2sin?x+3?, ? ? 2 ?2 ? π π π π 5π 由- ≤x≤ ,得- ≤x+ ≤ . 2 2 6 3 6 π π 所以当 x+ = 时,f(x)有最大值 2, 3 2 π π 当 x+ =- 时,f(x)有最小值-1. 3 6 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) π 4. 已知锐角 α 满足 cos 2α=cos?4-α?,则 sin 2α=________. ? ? 答案 1 2

π π π π 解析 ∵α∈?0,2?,∴2α∈(0,π), -α∈?-4,4?. ? ? ? ? 4 π 又 cos 2α=cos?4-α?, ? ? π π ∴2α= -α 或 2α+ -α=0, 4 4 π π π 1 ∴α= 或 α=- (舍),∴sin 2α=sin = . 12 4 6 2 π π 12 cos 2α 5. 已知 cos?4-α?= ,α∈?0,4?,则 =________. ? ? 13 ? ? π sin?4+α? ? ? 答案 10 13

π 2 12 解析 ∵cos?4-α?= (cos α+sin α)= , ? ? 2 13 12 2 ∴sin α+cos α= , 13 288 119 1+2sin αcos α= ,2sin αcos α= , 169 169

50 5 2 1-2sin αcos α= ,cos α-sin α= , 169 13 cos2α-sin2α cos 2α = π 2 2 sin?4+α? ? ? 2 sin α+ 2 cos α 10 = 2(cos α-sin α)= . 13 π 2sin x+1 6. 设 x∈?0,2?,则函数 y= 的最小值为________. ? ? sin 2x 答案 3
2

2sin2x+1 2-cos 2x 解析 因为 y= = , sin 2x sin 2x 2-cos 2x π 所以令 k= .又 x∈?0,2?, ? ? sin 2x 所以 k 就是单位圆 x2+y2=1 的左半圆上的动点 P(-sin 2x,cos 2x)与定点 Q(0,2)所成直 2sin2x+1 线的斜率.又 kmin=tan 60° 3,所以函数 y= = 的最小值为 3. sin 2x 三、解答题 π 7. (13 分)(2012· 广东)已知函数 f(x)=2cos?ωx+6?(其中 ω>0,x∈R)的最小正周期为 10π. ? ? (1)求 ω 的值; π 5 5 6 (2)设 α,β∈?0,2?,f?5α+3π?=- ,f?5β-6π? ? ? ? ? ? 5 ? = 解 16 ,求 cos(α+β)的值. 17 2π 1 (1)由 T= =10π 得 ω= . ω 5 5 6

?f?5α+3π?=-5, ? ? (2)由? 5 16 ?f?5β-6π?=17 ? ? ?sin α=5, 整理得? 8 ?cos β=17.
3

?2cos?5?5α+3π?+6?=-6, ? ? ? ? 5 得? 5 1 π 16 ?2cos?5?5β-6π?+6?=17, ? ? ? ?
1 5

π

π ∵α,β∈?0,2?, ? ?

4 15 ∴cos α= 1-sin2α= ,sin β= 1-cos2β= . 5 17 ∴cos(α+β)=cos αcosβ -sin αsin β 4 8 3 15 13 = × - × =- . 5 17 5 17 85


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