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【Word版解析】上海市杨浦区2013届高三上学期学业质量调研数学文试题

杨浦区 2012 学年第一学期高三年级学业质量调研 数学试卷(文) 2.本试卷共有 23 道题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 2013.1. 考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上. 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 若函数 f ?x ? ? 3 的反函数为 f x ?1 ?x ? ,则 f ?1 ?1? ? (1) ? 0 。 . . 【答案】0 【解析】由 3 ? 1 得, x ? 0 ,即 f x ?1 2.若复数 z ? 【答案】 2 1? i ( i 为虚数单位) ,则 z ? i 【解析】因为 z ? 2 1? i 1 ? ? 1 ? ?1 ? i ,则 z ? 2 。 i i . 3.抛物线 y ? 4 x 的焦点到准线的距离为 【答案】2 【解析】由抛物线的方程可知 2 p ? 4 ,所以 p ? 2 ,即抛物线的焦点到准线的距离为 2. 4. 若线性方程组的增广矩阵为 ? ?1 1 2 ? ? ,则该线性方程组的解是 ? ? 【答案】 ? ?1 2 3 ? . ?x ? 1 ?y ?1 ?x ? 1 ?x ? 2 y ? 3 ,解得 ? 。所以该线性方程组的 ?y ?1 ?x ? y ? 2 【解析】由题意可知对应的线性方程组为 ? 解是 ? ?x ? 1 。 ?y ?1 . 5.若直线 l : y ? 2 x ? 1 ? 0 ,则该直线 l 的倾斜角是 【答案】 arc tan 2 【 解 析 】 由 y ? 2 x ? 1? 0得 y ? 2 x ? 1 , 所 以 直 线 的 斜 率 为 k ? tan ? ? 2 , 所 以 ,即直线的倾斜角为 arc tan 2 。 ? ?arc tan 2 6. 若 ( x ? a ) 的二项展开式中, x 的系数为 7 ,则实数 a ? 7 5 . 【答案】 ? 3 3 k 7?k k 【 解 析 】 二 项 展 开 式 的 通 项 公 式 为 Tk ?1 ? C7 x a ,由 7?k ?5 得 k ? 2 ,所以 3 1 2 5 2 2 2 。 T3 ? C7 x a ,即 x 5 的系数为 C7 a ? 21a 2 ? 7 ,所以 a 2 ? ,所以 a ? ? 3 3 7. 若圆椎的母线 l ? 10 cm ,母线与旋转轴的夹角 ? ? 30 ,则该圆椎的侧面积为 0 cm 2 . 【答案】 50? 0 【解析】因为线与旋转轴的夹角 ? ? 30 ,设底面圆的半径为 r ,则 r ? 10sin30 0 ?5 。所 以底面圆的周长 c ? 2? r ? 10? ,所以该圆锥的侧面积 1 1 lc ? ?10 ?10? ? 50? 。 2 2 2 8. 设数列 {a n } ( n ? N* ) 是等差数列 . 若 a 2 和 a 2012 是方程 4 x ? 8x ? 3 ? 0 的两根,则数列 {a n } 的前 2013 项的和 S 2013 ? ______________. 【答案】 2013 【 解 析 】 由 题 意 知 a2 ? a2012 ? 2 , 又 a2 ? a2 0 1 2 ? a 1? a 20, 13 所以 a1 ? a 2 0 1 3? 2 , 所 以 S2013 ? 2013(a1 ? a 2 0 1 ) 3 ? 2013 。 2 2 2 9. 若直线 l 过点 ?1 , ? 1?,且与圆 x ? y ? 1相切,则直线 l 的方程为 【答案】 x ? 1 或 y ? ?1 . 【解析】圆心为 O(0,0) ,半径 r ? 1 ,当直线 l 的斜率不存在时,即 l : x ? 1 ,此时 l 与圆相切, 满足条件。若直线 l 的斜率存在时, 设直线斜率为 k ,则直线 l 的方程为 y ? (?1) ? k ( x ? 1) , 即 ky ? y ? 1 ? k ? 0 。若 l 与圆相切,则圆心到直线的距离 直线方程为 y ? ?1 ,所以直线 l 的方程为 x ? 1 或 y ? ?1 。 10.将一颗质地均匀的骰子连续投掷两次,朝上的点数依次为 b 和 c , 则 b ? 2 且 c ? 3 的概 率是____ ___ . 1? k 1? k 2 ? 1 ,解得 k ? 0 ,此时 2 【答案】 9 【解析】一颗质地均匀的骰子连续投掷两次有 36 种结果。若 b ? 2 且 c ? 3 ,则有, (1,3),(1, 4),(1,5),(1,6),(2,3),(2, 4),(2,5),(2,6) 共 8 种 , 所 以 b ? 2 且 c ? 3 的 概 率 是 8 2 ? 。 36 9 11.若函数 f ( x) ? log a (3 ? 2) ? 1 ( a ? 0 , a ? 1 )的图像过定点 P ,点 Q 在曲线 x x 2 ? y ? 2 ? 0 上运动,则线段 PQ 中点 M 轨迹方程是 【答案】 y ? 2 x ? 2 x 2 . 【解析】由 3x ? 2 ? 1 ,得 3x ? 3 ,解得 x ? 1 ,此时 y ? 1 ,所以函数 f ( x) 过定点 P(1,1) . 2 设 M ( x, y ) , 则 Q(2 x ? 1, 2 y ? 1) , 因 为 Q 在 曲 线 x ? y ? 2 ? 0 上 运 动 , , 所 以 (2 x ? 1)2 ? (2 y ? 1) ? 2 ? 0 ,整理得 y ? 2 x 2 ? 2 x ,即 M 的轨迹方程是 y ? 2 x 2 ? 2 x 。 12.如图,已知边长为 8 米的正方形钢板有一个角锈蚀, 其中 AE ? 4 米, CD ? 6 米. 为 了合理

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