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4.3.2空间直角坐标系及其空间两点间的距离公式


1 图(可看成是八个棱长为 的小正方体堆积成的正方体),其 2

例2 结晶体的基本单位称为晶胞,如图是食盐晶胞的示意

中色点代表钠原子,黑点代表氯原子.

解:把图中的钠原子分成上、中、下三层来写它们所在 位置的坐标.

z
下层的原子全部在平面上,它们所 在位置的竖坐标全是0,所以这五个钠 原子所在位置的坐标分别是(0,0,0), O (1,0,0),(1,1,0),(0,1,0), y 1 1 ( , ,0). x 2 2 中层的原子所在的平面平行于平面,与轴交点的竖坐标为, 所以,这四个钠原子所在位置的坐标分别是

1 1 1 1 1 1 1 1 ( ,0, ),(1, , ),( ,1, ),(0, , ); 2 2 2 2 2 2 2 2

上层的原子所在的平面平行于平面,与轴交点的竖坐标为 1,所以,这五个钠原子所在位置的坐标分别是:(0,0,1), (1,0,1),(1,1,1),(0,1,1),

1 ,1). (1 ,
2

2

归纳总结
在空间直角坐标系中,x轴上的点、 y轴上的点、z轴 上的点,xOy坐标平面内的点、xOz坐标平面内的点、 yOz坐标平面内的点的坐标各具有什么特点?

x轴上的点的坐标的特点:
y轴上的点的坐标的特点: z轴上的点的坐标的特点: xOy坐标平面内的点的特点: xOz坐标平面内的点的特点: yOz坐标平面内的点的特点:

P(x,0,0)

P(0,y,0) P(0,0,z)
P(x,y,0)

P(x,0,z) P(0,y,z)

4.3.2

问题提出 1.在平面直角坐标系中两点间的距离公式是什么?

P1 P2 ?

? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?
2

2

2.类比平面两点间距离公式的推导,你能猜想 一下空间两点 P1 ( x1 , y1 , z1 )、P2 ( x2 , y2 , z2 )间的距离公式 吗?

在长方体 ABCD ? A1B1C1 D1中,对角线 AC1 的长为多少?
D1

C1

AC1 ?

AB ? AD ? AA1
2 2

2

A1

B1

D

C
B

A

探究1:与坐标原点的距离公式

思考1:在空间直角坐标系中,设点 P(x,y,z) 在xOy平面上的射影为M,则点M的坐标是什么? |PM|,|OM|的值分别是什么?

M(x,y,0)

z O x P

|PM|=|z|
OM ? x ?y
2 2

y M

思考2:基于上述分析,你能得到点 P(x,y,z) 与坐标原点O的距离公式吗?
z
O

P
y

x

M

OP ?

x ? y ?z
2 2

2

思考3:在空间直角坐标系中,方程

x2+y2+z2=r2
什么?

(r>0为常数)表示什么图形是
z

P
O y

x

探究2:空间两点间的距离公式 思考1: 设点 P1 ( x1 , y1 , z1 ), P2 ( x2 , y2 , z2 ) 是空间中任意两 点,而且P1、P2在xOy平面上的射影分别为 M、N.则点M、N的坐标及它们之间的距离是 多少? P2
z

M ( x1 , y1 ,0), N ( x 2 , y 2 ,0 )
2

O
x

P1 N y

M
2

MN ? ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y2 )

思考2:点P1、P2的距离如何计算?
z P1 O x
重点

P2

A
y N

M

P1 P2 ? ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? ( z1 ? z 2 )
2 2

2

例 1 求证以 M 1 ( 4,3,1) 、 M 2 ( 7,1,2) 、 M 3 ( 5,2,3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 2 解 M 1 M 2 ? (7 ? 4)2 ? (1 ? 3)2 ? ( 2 ? 1)2 ? 14,

M 2 M 3 ? (5 ? 7)2 ? ( 2 ? 1)2 ? ( 3 ? 2)2 ? 6, M 3 M1 ?
2

2

(4 ? 5)2 ? ( 3 ? 2)2 ? (1 ? 3)2 ? 6,

? M 2 M 3 ? M 3 M1 ,

原结论成立.

例2

设 P 在 x 轴上,它到 P1 (0, 2 ,3) 的距离

为到点 P2 (0,1,?1)的距离的两倍, 求点 P 的坐标. 解 因为 P 在 x 轴上, 设P点坐标为 ( x ,0,0),
PP1 ? x 2 ? ? 2 ?2 ? 32 ? x 2 ? 11,
PP2 ?
2 2 ? ? x ? ?1 ?1 ? 2

x 2 ? 2,

? PP1 ? 2 PP2 , ? x 2 ? 11 ? 2 x 2 ? 2
? x ? ?1,
所求点为 (1,0,0), ( ?1,0,0).


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