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数列不等式的证明方法


数列不等式证明的几种方法 数列和不等式都是高中数学重要内容,这两个重点知识的联袂、交汇融合,更能 考查学生对知识的综合理解与运用的能力。 这类交汇题充分体现了 “以能力立意” 的高考命题指导思想和“在知识网络交汇处”设计试题的命题原则。下面就介绍 数列不等式证明的几种方法,供复习参考。 一、巧妙构造,利用数列的单调性

例 1. 对任意自然数 n,求证:



证明:构造数列



所以

,即

为单调递增数列。

所以

,即

。 点评: 某些问题所给条件隐含数列因素或证明与自然数有关的不等式问题,均可 构造数列,通过数列的单调性解决。 二、放缩自然,顺理成章 例 2. 已知函数 式取定:曲线 的直线平行。 求证:当 时: ,数列 的首项 ,以后每项按如下方 两点

处的切线与经过(0,0)和

(1)



(2)



证明:(1)因为 为 。

,所以曲线

处的切线斜率

又因为过点(0,0)和

两点的斜率为

,所以结论成立。

(2)因为函数



所以

,即

,因此



又因为





,且



所以

因此,

所以 点评:本题是数列、函数、不等式、解析几何、导数等多知识点的综合题,在证 明过程中多次运用放缩,放缩自然,推理逻辑严密,顺理成章,巧妙灵活。 三、导数引入,更显神威

例 3. 求证:

证明:令

,且当

时,

,所以

。要证明原不等式,只须证







所以







所以







所以

上为增函数

所以

,即

所以

同理可证

所以

。对上式中的 n 分别取 1,2,3,?,

,得



点评: 导数进入中学数学新教材,为解决数列与不等式的交汇问题展示了新的思 路和广阔的空间,其解题方法新颖独特,尤其是对数、指数次幂形式出现的一类 问题,更显导数在解题中的工具性和独特的神威。 四、裂项求和,简捷明了

例 4. 设

是数列

的前 n 项和,且

(1)求数列

的首项

,及通项



(2)设

,证明



解:(1)首项

(过程略)。

(2)证明:将









点评:本题通过对

的变形,利用裂项求和法化为“连续相差”形式,从

而达到证题目的,整个证题过程简捷明了。 五、独辟蹊径,灵活变通 独辟蹊径指处事有独创的新方法,对问题不局限于一种思路和方法,而是善于灵 活变通,独自开辟新思路、新方法。

例 5. 已知函数 足

。 设数列

, 数列



(1)求证:



(2)求证:



证明:(1)证法 1:由



,则只须证

;易知

,只须证



由分析法:



因为





所以

,得证。

证法 2:由于

的两个不动点为

。又

,所



所以

所以



由上可求得



因此只需证



即证:



(2)由(1)知,

所以

故对任意



点评:本题(1)中法 1 通过构造新数列 证数列

,将复杂的问题转化为

为递减数列,进而用分析法展示出证明思路的魅力;法 2 则是独辟

蹊径利用“不动点”,求出通项公式,借助二项式定理放缩给出证明。其解题过 程灵活变通


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