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高一数学-第21课时—等差数列、等比数列的性质及应用 精品

一.课题:等差数列、等比数列的性质及应用 二.教学目标:熟练掌握等差(比)数列的基本公式和一些重要性质,并能灵活运用性质解决有关 的问题,培养对知识的转化和应用能力. 三.教学重点:等差(比)数列的性质的应用. 四.教学过程: (一)主要知识: 有关等差、等比数列的结论 1.等差数列 {an } 的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m ,?? 仍为等差数列. 2.等差数列 {an } 中,若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq 3.等比数列 {an } 中,若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? ap ? aq 4.等比数列{an}的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m ,?? 仍为等比数列. 5.两个等差数列 {an } 与 {bn } 的和差的数列 {an ? bn } 仍为等差数列. 6.两个等比数列 {an } 与 {bn } 的积、商、倒数的数列 {an ? bn } 、 ? ? an ? ? 1 ? ? 、 ? ? 仍为等比数列. ? bn ? ? b n ? (二)主要方法: 1.解决等差数列和等比数列的问题时,通常考虑两类方法:①基本量法:即运用条件转化为关于 a1 和 d (q ) 的方程;②巧妙运用等差数列和等比数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,减少运 算量. 2.深刻领会两类数列的性质,弄清通项和前 n 项和公式的内在联系是解题的关键. (三)例题分析: 例 1. (1)若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后三项的和为 146,且所有项的和为 390 ,则这个数 列有 13 项; (2)已知数列 {an } 是等比数列,且 an >0 , n ? N , a3a5 ? 2a4a6 ? a5a7 ? 81 ,则 a4 ? a6 ? * 9 . (3)等差数列前 m 项和是 30 ,前 2 m 项和是 100 ,则它的前 3m 项和是 210 . 例 2.若数列 {an } 成等差数列,且 Sm ? n, Sn ? m(m ? n) ,求 Sn? m . 解: (法一)基本量法(略) ; 2 ? (1) ? An ? Bn ? m (法二)设 Sn ? An ? Bn ,则 ? 2 (2) ? ? Am ? Bm ? n (1) ? (2) 得: (n2 ? m2 ) A ? (n ? m) B ? m ? n ,?m ? n , ∴ (m ? n) A ? B ? ?1, 2 ∴ Sn?m ? (n ? m)2 A ? (n ? m)B ? ?(n ? m) . 例 3.等差数列 {an } 中共有奇数项,且此数列中的奇数项之和为 77 ,偶数项之和为 66 , a1 ? 1 , 求其项数和中间项. 解:设数列的项数为 2n ? 1 项, (n ? 1)(a1 ? a2 n ?1 ) n(a2 ? a2 n ) ? 77 , S偶 ? ? 66 2 2 S n ? 1 77 ∴ 奇? , ∴ n ? 6 ,∴数列的项数为 13 , 中间项为第 7 项,且 a7 ? 11. ? S偶 n 66 则 S奇 ? 说明:(1)在项数为 2n ? 1 项的等差数列 {an } 中, S奇 =(n+1)a中,S偶 =na中,S2n+1 =(2n+1)a中 ; (2)在项数为 2 n 项的等差数列 {an } 中 S奇 =nan ,S偶 =nan?1 ,S2n +1 =n(an ? an?1 ) . 例 4. 数列 {an } 是首项为 1000 , 公比为 1 1 的等比数列, 数列 {bn } 满足 bk ? (lg a1 ? lg a2 ? ? ? lg ak ) k 10 (1)求数列 {bn } 的前 n 项和的最大值; (2)求数列 {|b n |} 的前 n 项和 S n? . (k ? N * ) , 解: (1)由题意: an ? 104?n ,∴ lg an ? 4 ? n ,∴数列 {lg an } 是首项为 3,公差为 ?1 的等差数列, k (k ? 1) 1 n(n ? 1) 7 ? n ]? ,∴ bn ? [3n ? 2 n 2 2 ?bn ? 0 21 由? ,得 6 ? n ? 7 ,∴数列 {bn } 的前 n 项和的最大值为 S 6 ? S 7 ? 2 ?bn ?1 ? 0 ∴ lg a1 ? lg a2 ? ? ? lg ak ? 3k ? (2)由(1)当 n ? 7 时, bn ? 0 ,当 n ? 7 时, bn ? 0 , ∴当 n ? 7 时, Sn? ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ( 3? 7?n 2 )n ? ? 1 n2 ? 13 n 2 4 4 1 2 13 n ? n ? 21 4 4 当 n ? 7 时, S n? ? b1 ? b2 ? ? ? b7 ? b8 ? b9 ? ? ? bn ? 2 S7 ? (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? ? 1 2 13 ? n ? n (n ? 7) ? ? 4 4 ? ∴ Sn ? ? . ? 1 n 2 ? 13 n ? 21 (n ? 7) ? ?4 4 例 5*.若 Sn 和 Tn 分别表示数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和,对任意自然数 n ,有 an ? ? 2n ? 3 , 2 (1)求数列 {bn } 的通项公式; (2)设集合 A ? {x | x ? 2an , n ? N *} , 4Tn ?12Sn ? 13n , , 1 c是 A? B 中 的 最 大 数 , 且 B ? {y | y ? 4bn , n ? N *} . 若 等 差 数 列 {cn } 任 一 项 cn ? A? B ?265 ? c10 ? ?125 ,求 {cn } 的通项公

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