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河北省衡水中学2014届高三上学期第三次模拟考试数学(文)试题(扫描版)5星


2014 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题
文数(三)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。全卷共 150 分,考试时间为 120 分钟。

第 I 卷(选择题

共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题列出的四个选项中,只有一项符合题目要求) 1.已知集合 A ? {1, 2,3, 4} , A ? B ? {2,3} , A ? B ? {1, 2,3, 4, 6} ,则集合 B 的子集的个数为() A.4 2.复数 B.7 C.8 D.9

i3 ( i 为虚数单位)的虚部是() 3i ? 1
3 10
B. B.

A. ?

1 10
C.

C. ?

3 i 10
D.

D.

1 i 10

3.麻将的摇骰子一般是两颗骰子一起摇,则摇出的两颗骰子大小相同的概率是() A.

1 18

1 12

1 10

1 6

?y ?1 ? 4.已知实数 x , y 满足 ? y ? 3 x ? 1 则目标函数 z ? 5x ? 4 y 的最小值为() ?x ? y ? 7 ?
A. -10 B. -8
2

C. 10

D. 8
2

5.命题 p : “ ?x ?[1, 2), x ? a ? 0 ”为真命题,命题 q : “ x ? R, x ? ax ? 4a ? 0 ”为假命题,则实数 a 的取值范 围是() A. a ? 4 B. 1 ? a ? 16 C. 4 ? a ? 16 6.如图,框图运行相应的程序,输出的结果为() D. 0 ? a ? 1

A. 5

B. 8

C. 13
2

D. 21

7.已知双曲线的一个焦点与抛物线 x ? 16 y 的焦点相同,且离心率为 2,那么双曲线的渐近线方程为() A.

3x ? y ? 0

B. x ? 3 y ? 0

C.

5x ? y ? 0

D. x ? 5 y ? 0

8.在 ?ABC 中,如果 sin B ? 3 sin C , A ? 30? , a ? 4 ,则 ?ABC 的面积为() A.

3

B. 2 3

C. 3 3

D. 4 3

9.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()

A. 36?

B. 24?

C. 20?

D. 18?

10.函数 f ( x) ? ln x ? 2 ? x 的零点所在的区间为() A. (0,1) B. (1, e) C. (2, e) D. (e,3)

11.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0,| ? |?

?
2

) 的部分图像如图所示,则 f (

?
12

) ? ()

A.

1 2

B.

2 2

C.

3 2

D.

3 4

12.已知函数 f ( x ) ? A. a ? 2

a ? 1 ? ln x ,当 x ? [1, e] 时 f ( x) ? 0 恒成立,则实数的范围是() x B. a ? 1 C. a ? 0 D. a ? 1

第 II 卷(非选择题
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

共 90 分)
.

13.设 x ? R ,向量 a ? (2, x) , b ? (3, ?2) ,且 a ? b ,则 2a ? b ? 14.已知 2 ?

2 2 3 3 4 4 a a , 3 ? ? 3? , 4? ,?。若 8 ? ? 8 ? ( a , t 均为正 ? 2? ? 4? 3 3 8 8 15 15 t t
. . .

实数) 。类比以上等式,可推测 a , t 的值,则 a ? t ?

15.已知 ?ABC 得周长为 3 ? 1 ,且 sin A ? 3 sin B ? sin C ,则边长 AC ?

16.已知直线 (2ln a) x ? by ? 1 ? 0 过点 (1, ?1) ,则点 P (a, b) 到直线 2 x ? y ? 4 ? 0 距离的最小值为 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分) 已知 {an } 是各项均为正数的等比数列,且 a3 ? a4 ? 10 , a3a4 ? 64 。 (1)求 {an } 的通项公式; (2)设 bn ? 2nan ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 。

18.(本小题满分 12 分) 某高级园艺师经过多年的刻苦攻关,终于培育成了一批濒临灭绝的植物幼苗,经过一年的成长后,园艺师记录 了这批植物的高度(单位:cm) ,但由于不小心,使记录高度的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,

但可见部分如下,据此解答如下问题:

(1)求高度在 [50,60) 的频率及这批植物幼苗的株数; (2)若要从高度在 [80,100] 之间的这批植物幼苗中任取两株分析其生长情况,在抽取的株数中,求至少有一 株高度 [90,100] 在之间的概率。

19.(本小题满分 12 分) 如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O ,且 AB ? 6 , BM ? MC ,将 ABCD 沿对角线 AC 折起, 得到三棱锥 B ? ACD ,且 DM ? 3 2 。 (1)求证: OM / / 平面 ABD ; (2)求三棱锥 D ? ABM 的体积。

20.(本小题满分 12 分)
3 2 已知函数 f ( x) ? x ln x , g ( x) ? x ? ax ? x ? 2 。

(1)如果函数 g ( x) 的单调递减区间为 ( ? ,1) ,求函数 y ? g ( x) 的图像在点 P(?1,1) 处的切线方程; (2)若不等式 2 f ( x) ? g '( x) ? 2 在 x ? [1, 2] 上有解,求实数 a 的取值范围。

1 3

21.(本小题满分 12 分) 设椭圆 M :

x2 y 2 y2 ? x 2 ? 1 的离心率互为倒数, ? ? 1( a ? b ? 0) 的离心率与双曲线 且内切于圆 x2 ? y 2 ? 4 。 2 2 3 a b

(1)求椭圆的方程; (2)过点 (0, 3) 作直线 l1 与椭圆交于 A , B ,以线段 AB 为直径的圆能否过坐标原点,若能,求直线 AB 的 斜率,若不能说明理由。

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一个题目记分。 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,在 ?ABC 中, AB ? 2 AC , ?ACD 的外接圆交 BC 于 E ,且 D 平分 AE 。 (1)求证: BE ? 2 DE ; (2)当 AC ? 3 , BC ? 5 时,求 AD 的长。

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线 l 经过 P ( ,1) ,倾斜角 ? ?

6 (1)写出直线 l 的参数方程,并把圆 C 的方程化为直角坐标方程; (2)设 l 与圆 C 相交于 A , B 两点,求点 P 到 A , B 两点的距离之积。

1 2

?

,在极坐标系下,圆 C 的极坐标方程为 ? ?

2 cos(? ? ) 。 4

?

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 (1)若 a ? b ? 1 ,求证: a ?

1 1 ? b? ? 2 ; 2 2
2 2

(2)已知实数 x , y , z 不全为零,求证: x ? xy ? y ?

y 2 ? yz ? z 2 ? z 2 ? zx ? x 2 ?

3 (x ? y ? z) 。 2

模拟试题(三)
一、选择题 1.C【解析】由题意知 B ? {2,3,6} ,所以集合 B 的子集的个数为 8,故选 C。

2.B【解析】

1 i3 ?i(3i ? 1) 3 1 ? ? ? ? i ,∴虚部为 ,故选 B。 10 3i ? 1 (3i ? 1)(3i ? 1) 10 10

3.D【解析】麻将摇出的两颗骰子的情况有: (1,1) , (1, 2) , (1,3) , (1, 4) , (1,5) , (1, 6) ,?, (6,1) , (6, 2) ,

(6,3) ,(6, 4) ,(6,5) ,(6, 6) 等 36 种; 而摇出的两颗骰子大小相同的情况有:(1,1) ,(2, 2) ,(3,3) ,(4, 4) ,(5,5) , (6, 6) 等 6 种;故摇出的两颗骰子大小相同的概率是 P ?

6 1 ? 。 36 6

4.A 【解析】 画出不等式组表示的可行域, 如图所示, 作出直线 l0 : 5x ? 4 y ? 0 , 通过平行移动直线 5x ? 4 y ? 0 ,

) , 目 标 函 数 z ? 5x ? 4 y 取 得 最 小 值 发 现 当 直 线 经 过 y ? 3x ? 1 与 x ? y ? 7 的 交 点 ( 2 , 5 时

zm i ? ? 1 0 A。 n 5 ? 2 ? 4 ? 5 ? ,故选

5.C【解析】∵命题“ ?x ?[1, 2), x ? a ? 0 ”为真命题,? a ? 4 ;∵命题“ ?x ? R, x ? ax ? 4a ? 0 ”为假命
2 2

题。∴“ ?x ? R, x2 ? ax ? 4a ? 0 ”为真命题,故 ? ? a ? 4 ? 4a ? 0 ,即 0 ? a ? 16 。∴实数 a 的取值范围是
2

4 ? a ? 16 。故选 C。
6.C【解析】第一次循环, z ? 1 ? 1 ? 2 , x ? 1 , y ? 2 ;第二次循环, z ? 1 ? 2 ? 3 , x ? 2 , y ? 3 ;第三次 循环, z ? 2 ? 3 ? 5 , x ? 3 , y ? 5 ;第四次循环, z ? 3 ? 5 ? 8 , x ? 5 , y ? 8 ;第五次循环, z ? 5 ? 8 ? 13 ,

x ? 8 , y ? 13 ;第六次循环, z ? 8 ? 13 ? 21 ,不满足条件输出 y ? 13 ,故选 C。

x2 y 2 ?c ? 4 , (0, ?4) 。 7.B 【解析】 抛物线 x ? 16 y 的焦点坐标为 (0, 4) , ∴双曲线 2 ? 2 ? 1 的焦点坐标为 (0, 4) , a b
2

又e ?

c ? 2 ,? a ? 2 , b ? 2 3 ,渐近线方程为 x ? 3 y ? 0 ,故选 B。 a
2 2 2 2

2 c c o s A ?4 c 8.D 【解析】 由 sin B ? 3 sin C 得 b ? 3c , 又 a ?b ?c ? b
1 1 ? S?ABC ? ? 4 3 ? 4 ? ? 4 3 ,故选 D。 2 2

?3 c

2

? c

2

? c ? 4 ,b ? 4 3 。 。

9.B 【 解 析 】 由 三 视 图 可 知 , 几 何 体 是 一 个 圆 柱 中 挖 去 了 一 个 顶 点 是 底 面 圆 圆 心 的 圆 锥 , 故

1 2 V ? ? R 2 h ? ? R 2 h ? ? ? 32 ? 4 ? 24? ,故选 B。 3 3
10.B【解析】 f (1) ? ?1 , f (e) ? e ? 1 ,故选 B。 11.C 【 解 析 】 由 图 像 知 A ? 1 , T ? (

11? ? 4 2? ? )? ? ? ? , ?? ? 2 , 12 6 3 ?

2?

?
6

?? ?

?
2

, ?? ?

?
6



? ? 3 ? f ( x) ? sin(2 x ? ) ,故 f ( ) ? ,故选 C。 6 12 2
12.C【解析】由于当 x ? [1, e] 时,不等式 f ( x) ?

a ? 1 ? ln x ? 0 恒成立,即 a ? x ? x ln x 在 [1, e] 上恒成立, x

令 h( x) ? x ? x ln x ,可得 h '( x) ? 1 ? (ln x ? 1) ? ? ln x ,令 h '( x) ? 0 ,可得 x ? 1 ,当 1 ? x ? e 时, h '( x) ? 0 ,可 得当 x ? e 时, 函数 h( x) ? x ? x ln x 取得最小值 0。 要使不等式 a ? x ? x ln x 在 [1, e] 上恒成立, 只要 a 小于 h( x) 的 最小值即可,即 a ? 0 。故选 C。 二、填空题 13. (1,8) 【解析】

a ? b ,? 6 ? 2 x ? 0 ,? x ? 3 , 2a ? b ? 2(2,3) ? (3, ?2) ? (1,8) 。

14.71 【 解 析 】

2?

2 2 ? 2? , 3 3

3?

3 3 ? 3? , 8 8

4?

4 4 ? 4? , ? , 由 此 得 到 15 15

n?

n n 8 8 ? n? 2 ? 8? ,由此推理得: 8 ? ,? a ? 8 , t ? 63 ,? a ? t ? 71 。 n ?1 n ?1 63 63
2

15.1 【解析】由正弦定理可得 a ? 3b ? c ? a ? c ? 3b , l ? a ? b ? c ? ( 3 ? 1)b ? 3 ? 1 ,则 b ? 1 ,故

AC ? 1 。

16.

) 直 线 2x ? y ? 4 ? 5 【 解 析 】 由 条 件 得 b ? 2 ln a ? 1 , 点 P( a, b到

距 离 0

d?

| a 2? b ? 5

4 | a ? | 2a ? ? 5

1 2 l n 3 | ,设 f ( x) ? x ? ln x( x ? 0) , f '( x) ? 1 ? ,易知 f ( x) 在 x ? 1 时取得最小值 x

1,所以 2a ? 2 ln a ? 2 ,从而 d 的最小值为 5 。 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 17.解: (1)设数列 {an } 的公比为 q ,
2 a3a5 ? a4 ? 64 ,? a4 ? 8 ,

(2 分) (4 分) (6 分)

a3 ? a4 ? 10 ,? a4 ? 2 ,? q ? 2 , a1 ? 1 ,

? an ? 2n?1 。

(2)由(1)知, bn ? 2nan ? n ? 2n ,∴数列 {bn } 的前 n 项和

Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3? 24 ?
将等比两边同乘以 2,可得

(7 分) ? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1 ①。

2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3? 24 ?
①-②可得: ?Tn ? 22 ? 23 ? 24 ?

(8 分) ? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1 ②,

? 2n ? n ? 2n?1 (10 分)
(12 分)

?Tn ? (n ?1) ? 2n?2 ? 2

18.解: (1)高度在 [50,60) 的频率为 0.008 ?10 ? 0.08 。 (2 分) 由茎叶图知:高度在 [50,60) 之间的频数为 2, ∴这批植物幼苗的株数为

3 ? 25 。 (6 分) 0.08

(2)将 [80,90) 之间的 4 株分别编号为 1,2,3,4,[90,100] 之间的 2 株分别编号为 5,6,[80,100] 在之间的株数 中任取两株的基本事件为: (1, 2) , (1,3) , (1, 4) , (1,5) , (1, 6) , (2,3) , (2, 4) , (2,5) , (2, 6) , (3, 4) , (3,5) ,

(3, 6) , (4,5) , (4, 6) , (5, 6) 共 15 个。 (9 分)
其中,至少有一株在 [90,100] 之间的基本事件有 9 个, (10 分) 故至少有一株高度在 [90,100] 之间的概率是

9 ? 0.6 。 (12 分) 15

19.解: (1)∵点 O 是菱形 ABCD 的对角线的焦点, ? O 是 AC 的中点。 又点 M 是棱 BC 的中点, ? OM 是 ?ABC 的中位线, OM / / AB 。

(4 分)

OM ? 平面 ABD , AB ? 平面 ABD 。 ? OM / / 平面 ABD 。 (2)由题意, OM ? OD ? 3 ,

(6 分)

DM ? 3 2 ,??DOM ? 90? , OD ? OM 。
又∵四边形 ABCD 为菱形,? OD ? AC , OM AC ? O ,? OD ? 平面 ABC 。

(8 分)

? OD 为三棱锥 D ? ABM 的高,且 OD ? 3 .(10 分)

1 1 3 9 3 ?ABM 的面积为 BA ? BM ? sin120? ? ? 6 ? 3 ? 。 ? 2 2 2 2
所求体积 V ?

1 1 9 3 。 (12 分) ? S?ABM ? OD ? ? S?ABM ? 3 ? 3 3 2

20.解: (1) g '( x) ? 3x2 ? 2ax ?1

(1 分)

2 2 由题意 3x ? 2ax ? 1 ? 0 的解集是 ( ? ,1) ,即 3x ? 2ax ? 1 ? 0 的两根分别是 ?

1 3

1 ,1. 3

将 x ?1或?

1 2 代入方程 3x ? 2ax ? 1 ? 0 3

得 a ? ?1 。 (3 分) (4 分) ? g '( x) ? 3x2 ? 2 x ?1,即点 P(?1,1) 处的切线斜率 k ? g (?1) ? 1 。 ∴函数 y ? g ( x) 的图象在点 P(?1,1) 处的切线方程为 y ? 1 ? 4( x ? 1) 。 即 4x ? y ? 5 ? 0 。 (6 分) (2)由题意 2 x ln x ? 3x ? 2ax ? 1在 x ? [1, 2] 上有解,
2

3 1 x? 在 x ? [1, 2] 上有解, (7 分) 2 2x 3x 1 1 3 1 ( x ? 1)(3 x ? 1) ? 设 h( x) ? ln x ? ,则 h '( x) ? ? ? 2 ? 。 2 2x x 2 2x 2x2 1 令 h '( x) ? 0 ,得 x ? 1 , x ? ? (舍) (9 分) 3
可得 a ? ln x ? 当 0 ? x ? 1 时, h '( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, h '( x) ? 0 。 故 h( x) 在 [1, 2] 上为减函数, ∴当 x ? 2 时, h( x) 取得最小值, h( x) max ? ln 2 ?

13 13 ,? a ? ln 2 ? 。 4 4

? a 的取值范围是 [ln 2 ?

13 , ?? ) 。 (12 分) 4

21.解: (1)∵圆 x2 ? y 2 ? 4 的直径为 4,则 2a ? 4 ,? a ? 2 。 (2 分)

∵双曲线

y2 2 。 ? x 2 ? 1 的离心率 e ? 3 3

∴椭圆的离心率为

3 。 2

(4 分)

c 3 2 2 2 ,? c ? 3 , b ? a ? c ? 1 , ? ? a 2
y2 ∴椭圆的标准方程为 x ? ? 1。 4
2

(6 分)

? 2 y2 ?1 ?x ? (2)设直线 l1 : y ? kx ? 3 ,分别交椭圆于 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,其坐标满足 ? 4 ? y ? kx ? 3 ?
消去 y 并整理得 (k 2 ? 4) x2 ? 2 3kx ?1 ? 0 。 (8 分) 故 x1 ? x2 ? ?

1 2 3k , x1 x2 ? ? 2 , (9 分) 2 k ?4 k ?4

以线段 AB 为直径的圆若能过坐标原点。 则 OA ? OB ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 。 (10 分) 而 y1 y2 ? k 2 x1x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 3 , 于是 x1 x2 ? y1 y2 ? ?
2

1 k2 6k 2 ? ? ?3? 0。 k2 ? 4 k2 ? 4 k2 ? 4

化简得 ?4k ? 11 ? 0 。

?k ? ?

11 。 (12 分) 2

22.解: (1)连接 DE ,

ADEC 为圆的内接四边形,??BDE ? ?BCA 。 (2 分) 又 ?DBE ? ?CBA ,? BDE∽BCA 。 BE DE ? 即 ,而 AB ? 2 AC ,? BE ? 2 DE 。 (5 分) BA CA (2)由条件得 AB ? 2 AC ? 6 .
D 平分 AE ,? AD ? DE ,? BE ? 2 AD 。 (7 分)

设 AD ? t ,根据割线定理得 BD ? BA ? BE ? BC 。 即 ? AB ? AD? ? AB ? 2 AD ? BC 。

? (6 ? t ) ? 6 ? 2t ? 5 ,解得 t ?

9 9 ,即 AD ? 。 (10 分) 4 4

? 1 3 x? ? t ? ? 2 2 ( t 为参数) 23.解: (1)直线 l 的参数方程是 ? , 1 ? y ? 1? t ? ? 2
圆的普通方程是 ( x ? ) ? ( y ? ) ?
2 2

1 2

1 2

1 。 (5 分) 2

? 1 3 x? ? t ? 1 2 1 2 1 1 1 ? 2 2 2 (2)将 ? 代入 ( x ? ) ? ( y ? ) ? 得 t ? t ? ? 0 。 2 2 2 2 4 ? y ? 1? 1 t ? ? 2
?| PA | ? | PB |?| t1 ? t2 |? 1 。 (10 分) 4

24.证明: (1)要证 a ?

1 1 ? b ? ? 2 成立。 2 2

即证 ( a ?

1 1 ? b ? )2 ? 4 。 2 2 1 1 (2 分) ? b ? ) ? 4。 2 2

即证 a ? b ? 1 ? 2( a ?

a ? b ? 1,
故就是证 a ? 只需证 ab ? (

1 1 1 1 1 ? b ? ? 1 ,即证 ab ? (a ? b) ? ? 1 ,即证 ab ? 。 2 4 4 2 2

a?b 2 ) ,也就是证 2ab ? a 2 ? b2 ,这是显然成立的,故原不等式成立。 (5 分) 2

(2)

y 3 y y y x2 ? xy ? y 2 ? ( x ? )2 ? y 2 ? ( x ? )2 ? x ? ? x ? 。 2 4 2 2 2

z x y 2 ? yz ? z 2 ? y ? , z 2 ? zx ? x 2 ? z ? 。 (8 分) 2 2 由于 x , y , z 不全为零,故上述三式中至少有一式取不到等号,所以三式相加得: y z x x 2 ? xy ? y 2 ? y 2 ? yz ? z 2 ? z 2 ? zx ? x 2 ? ( x ? ) ? ( y ? ) ? ( z ? ) 。 x 2 2 3 2 2 2 2 2 2 即 x ? xy ? y ? y ? yz ? z ? z ? zx ? x ? ( x ? y ? z ) 。 (10 分) 2
同理可得:


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