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2013届高考数学压轴题练习7


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高考数学压轴题练习 7
15. (本小题满分12分) 已知线段 CD ? 2 3 , CD 的中点为 O ,动点 A 满足 AC ? AD ? 2a ( a 为正常数) . (1)建立适当的直角坐标系,求动点 A 所在的曲线方程; (2)若 a ? 2 ,动点 B 满足 BC ? BD ? 4 ,且 OA ? OB ,试求 ?AOB 面积的最大值和最小值. 解(1)以 O 为圆心, CD 所在直线为轴建立平面直角坐标系.若 AC ? AD ? 2a ? 2 3 ,即 0 ? a ? 3 ,动 点 A 所在的曲线不存在;若 AC ? AD ? 2a ? 2 3 ,即 a ? 3 ,动点 A 所在的曲线方程为

y ? 0(? 3 ? x ? 3) ; A ? D ?a2 ? 2 3 , a ? 3 , 若 C A 即 动点 A 所在的曲线方程为


x2 y2 ? 2 ? 1 .……4 a2 a ? 3

x2 x2 ? y 2 ? 1 .由条件知 A, B 两点均在椭圆 ? y 2 ? 1 上,且 OA ? OB 4 4 1 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , OA 的斜率为 k (k ? 0) ,则 OA 的方程为 y ? kx ,OB 的方程为 y ? ? x 解方程 k ? y ? kx ? 组 ? x2 2 ? ? y ?1 ?4 4 4k 2 得 x12 ? , y12 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 4 4k 2 2 2 同理可求得 x2 ? 2 , y2 ? 2 k ?4 k ?4
(2)当 a ? 2 时,其曲线方程为椭圆

?AOB 面积 S ?

1 1 (1 ? k 2 ) 2 1 ? k 2 x1 1 ? 2 x2 = 2 ………………8 分 (1 ? 4k 2 )(k 2 ? 4) 2 k

令 1 ? k 2 ? t (t ? 1) 则

t2 1 ?2 2 9 9 4t ? 9t ? 9 ? 2 ? ?4 t t 9 9 1 1 2 25 25 4 令 g (t ) ? ? 2 ? ? 4 ? ?9( ? ) ? (t ? 1) 所以 4 ? g (t ) ? ,即 ? S ? 1 t t t 2 4 4 5 4 4 当 k ? 0 时,可求得 S ? 1 ,故 ? S ? 1 ,故 S 的最小值为 ,最大值为 1. ……12 分 5 5 S ?2


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