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浙江省苍南中学2011-2012学年高二数学上学期期中考试试题 理 新人教A版


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2011 年苍南中学高二第一学期期中考数学(理)试卷
本试卷满分 100 分,答题时间 100 分钟 参考公式: 圆柱的表面积公式 S ? 2?r (r ? l ) ,其中 r , l 分别为圆柱的底面半径和母线长 圆锥的表面积公式 S ? ?r (r ? l ) ,其中 r , l 分别为圆锥的底面半径和母线长 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知直线 l 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 ,则该直线 l 的倾斜角为( A.30° B.45° C.60° D.135° ) )

2.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是 4? ,那么圆柱的体积等于( A. ? B. 2? C. 4? D. 8? ) y

3.在同一直角坐标系中,表示直线 y ? kx 与 y ? x ? k 正确的是( y y y

0

x

0

x

0

x

0

x

A.

B.

C.

D.

4. 已知直线 l1 : (k ? 3) x ? (4 ? k ) y ? 1 ? 0, 与l2 : 2(k ? 3) x ? 2 y ? 3 ? 0, 平行,则 k 的值是 ( A. ) 1或3 B.1 或 5 C.3 或 5 D.1 或 2

5.已知一个平面 ? ,那么对于空间内的任意一条直线 a ,在平面 ? 内一定存在一条直线 b , 使得 b 与 a ( A.平行 ) B .相交 C.异面 D.垂直 )

6.已知一个几何体的三视图如下图所示,则此几何体的表面积为(

a
2a

a
R?a 2a

A. 4? a 正视图 B. 3? a
2

2

2 ?a C. 5 ?侧视图

?

?

2

2 D. 3 ? 2 a 俯视图

?

?

-1-

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0

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)个直角
P

7.如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90 ,PA⊥平面 ABC,则四面体 P-ABC 中共有( 三角形 A.4 B.3 C.2 D.1 )
A

8.若点 M (1, 2) 在直线 l 上的射影为 (?1, 4) ,则直线 l 的方程为( A. x ? y ? 5 ? 0 B. x ? y ? 5 ? 0 C. x ? y ? 5 ? 0

C

D. x ? y ? 5 ? 0

B

1 4 9.若直线 2ax ? by ? 6 ? 0 (a, b ? 0) 始终平分圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 的周长,则 ? a b
的最小值是( ) B.9 C.

10 A. 3

8 3

D.3

M 是面对角线 A1B 上的动点,则 10.如图,正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 1,点

AM ? MD1 的最小值为(
(A) 2 ? 2

) (D)2

(B) 2 ? 2 (C) 2 ? 6

二.填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 11.一个正四棱柱(底面为正方形的直棱柱)的侧面展开图是一个边长为 4 的正方形,则它的 体积为___________. 12.经过两条直线 2 x ? y ? 3 ? 0 和 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 的交点,并且与直线 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 平行 的直线方程的一般式 为________________ ... 13.将直线 y ? 3x 绕原点逆时针旋转 45 ,再向右平移 1 个单位长度,所得到的直线的一般 ..
0

式 方程为_____________________ . 14.若方程 x ? y ? 4x ? 2 y ? 5k ? 0 ? k ? R ? 表示圆,则圆的面积最大值为___________
2 2 2

15.将边长为 2 ,有一内角为 60 的菱形 ABCD 沿较短 对角线 BD 折成四面体 ABCD ,点 ..

E、F 分别为 AC、BD 的中点,则下列命题中正确的是
填上) . ① EF // AB ;

(将正确的命题序号全

② EF 与异面直线 AC 、 BD 都垂直;

③当四面体 ABCD 的体积最大时, AC ? 6 ; ④ AC 垂直于截面 BDE 16.已知实系数方程 x ? ax ? 2b ? 0 的两根为 x1 , x2 ,且 0 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2 ,则
2

b?2 的 a ?1

取值范围是___________ 2011 学年苍南中学高二第一学期期中考 数学(理)答题卷 座位号

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一项是符合题目要求的) 题号 答案 1 2 3 4

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一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有

5

6

7

8

9

10

二.填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 11. 13. 12. 14.

15. 16. 三.解答题(本大题共 4 小题,共 46 分) 17. (本题 10 分)如图,已知 ?ABC 的顶点为 A(2, 4) , B(0, ?2) , C (?2,3) ,求: (Ⅰ) AB 边上的中线 CM 所在直线的方程; (Ⅱ) AB 边上的高线 CH 所在直线的方程. C A

0 B

18.(本题 12 分) 如图,在五面体 EF-ABCD 中,点 O 是矩形 ABCD 的对角线的交点,△CDE 是等边三角形,棱

EF //

1 BC 2

(1)证明 FO//平面 CDE;
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(2)设 BC ? 3CD ,证明 EO⊥平面 CDF.

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19.(本题 12 分)已知四棱锥 P ? ABCD 的三视图如下图所示, E 是侧棱 PC 上的动点. (Ⅰ) 求四棱锥 P ? ABCD 的体积; (Ⅱ) 是否不论点 E 在何位置,都有 BD ? AE ?证明你的结论; (Ⅲ) 若点 E 为 PC 的中点,求二面角 D ? AE ? B 的大小. P

-4-

E D

C

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2

2

1 正视图
2 2 1

1 侧视图

1 俯视图

1 正视图

1 侧视图

1 俯视图

20.(本题 12 分)已知⊙O: x ? y ? 1 和定点 A(2,1),⊙O
2 2

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外一点 P (a, b) 向⊙O 引切线 PQ ,切点为 Q ,且满足 PQ ? PA . (1) 求实数 a , b 间满足的等量关系; (2) 求线段 PQ 长的最小值; (3) 若 C (3, ?1) ,求点 P 的坐标,使得 PQ ? PC 最小。

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苍南中学高二第一学期期中考数学(理)答案 一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的)

二.填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分) 11.4 14. 5? 12. 2 x ? 3 y ? 7 ? 0 13. 2 x ? y ? 2 ? 0

15. ②③④

16 ?

?1 ? ,1? ?4 ?

三.解答题(本大题共 4 小题,共 46 分) 17.解: (Ⅰ)AB 中点 M 的坐标是 (1,1) ,

? kCM ?

3 ?1 2 ?? ?2 ? 1 3

2 ? 中线 CM 所在直线的方程是 y ? 1 ? ? ( x ? 1) , 3
即中线 CM 所在直线的方程是 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 ………………………5 分

18. (1)证明:取 CD 中点 M,连结 OM,在矩形 ABCD 中

,又

,则

。连结 EM, ∴ FO//EM

于是四边形 EFOM 为平行四边形 又 ∵ FO 平面 CDE,且 EM

平面 CDE,∴ FO//平面 CDE …………6 分

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综上有,EO⊥FM,EO⊥CD 而 FM

CD=M,所以

平面 CDF………………12 分

19. 解:(Ⅰ) 由三视图可知,四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 1 的正方形, 侧棱 PC ? 底面 ABCD ,且 PC ? 2 . ∴ VP ? ABCD ? 即四棱锥 P ? ABCD 的体积为

1 1 2 S正方形ABCD ? PC ? ?12 ? 2 ? , 3 3 3

2 . ………………………………4 分 3 (Ⅱ) 不论点 E 在何位置,都有 BD ? AE . 证明如下:连结 AC ,∵ ABCD 是正方形,∴ BD ? AC . ∵ PC ? 底面 ABCD ,且 BD ? 平面 ABCD ,∴ BD ? PC . 又∵ AC PC ? C ,∴ BD ? 平面 PAC . ∵不论点 E 在何位置,都有 AE ? 平面 PAC . ∴不论点 E 在何位置,都有 BD ? AE . ………………………………8 分 (Ⅲ) 在平面 DAE 内过点 D 作 DF ? AE 于 F ,连结 BF .
∵ AD ? AB ? 1 , DE ? BE ? 12 ? 12 ? 2 , AE ? AE ? 3 , ∴Rt△ ADE ≌Rt△ ABE , 从而△ ADF ≌△ ABF ,∴ BF ? AE . ∴ ? DFB 为二面角 D ? AE ? B 的平面角. 在 Rt△ ADE 中, DF ?

P

E D F A B

C

AD ? DE 1? 2 ? ? BF , AE 3

又 BD ? 2 ,在△ DFB 中,由余弦定理得

2 2? ? 2 DF ? BF ? BD 1 3 cos ?DFB ? ? ?? , 2 2 DF ? BF 2 2? 3 ? DGB ? 120 ? D ? AE ? B ∴ ,即二面角 的大小为 120? . …………………12 分
2 2 2

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18.解:(1)连

为切点,

,由勾股定理有

又由已知

,故

.即:

.

化简得实数 a、b 间满足的等量关系为:

.

……………4 分

(2)



,得



=

故当

时,

即线段 PQ 长的最小值为

………………8 分

解法 2:由(1)知,点 P 在直线 l:2x + y-3 = 0 上.

PQ ? PC ? PA ? PC ? PD ? PC ? CD ,当点 P 为直线 CD 与直线 2x + y-3 = 0 的交
点时取得最小值,求得点 P(

17 2 , ? ) ………………12 分 10 5

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