当前位置:首页 >> 数学 >> 数列通项公式及其求和公式

数列通项公式及其求和公式


一、数列通项公式的求法 (1)已知数列的前 n 项和 Sn ,求通项 an ; (2)数学归纳法:先猜后证; (3)叠加法(迭加法): an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1 ; 叠乘法(迭乘法):

an a a a a a ? n ? n?1 ? n?2 ?? 3 ? 2 . a1 an?1 an?2 an?3 a2 a1

【叠加法主要应用于数列 {an } 满足 an?1 ? an ? f (n) ,其中 f ( n) 是等差数列或等比数列的条件下,可把这个式子 变成 an?1 ? an ? f (n) ,代入各项,得到一系列式子,把所有的式子加到一起,经过整理,可求出 an ,从而求出 s n 】 (4)构造法(待定系数法):形如 an ? kan?1 ? b 、 an ? kan?1 ? bn ( k , b 为常数)的递推数列; 【用构造法求数列的通项或前 n 项和: 所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析, 找出数列的通项的特征, 构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式,从而求出数列的通项或前 n 项和.】 (5)涉及递推公式的问题,常借助于“迭代法”解决.【根据递推公式求通项公式的常见类型】 ① a1 =a, an+1 ? an ? f (n) 型,其中 f ( n) 是可以和数列,用累加法求通项公式,即 an ? f (n ?1) ? f (n ? 2 ? ……? f (2) ? f (1) ? a1 类型 1: an ?1 ? an ? f (n) 思路 (叠加法)an ? an?1 ? f (n ?1) , 依次类推有:an?1 ? an?2 ? f (n ? 2) 、an?2 ? an?3 ? f (n ? 3) 、 …、a2 ? a1 ? f (1) , 将各式叠加并整理得 an ? a1 ?

? f (n) ,即 an ? a1 ? ? f (n)
i ?1 i ?1

n ?1

n ?1

例题 1:已知 a1 ? 1 , an ? an?1 ? n ,求 an 解:∵ an ? an?1 ? n ∴ an ? an?1 ? n ,依次类推有: an?1 ? an?2 ? n ?1、an?2 ? an?3 ? n ? 2、…a2 ? a1 ? 2

∴将各式叠加并整理得 an ? a1 ? 类型 2: an?1 ? pan ? f (n)

?n , a
i ?2

n

n

? a1 ? ? n ? ? n ?
i ?2 i ?1

n

n

n(n ? 1) 2

思路(转化法) an ? pan?1 ? f (n ?1) ,递推式两边同时除以 p n 得 可以转化为类型一进行求解了. 例题: 已知 a1 ? 2 , an?1 ? 4an ? 2n?1 ,求 an 解:∵ an?1 ? 4an ? 2
n?1

an an?1 f (n ? 1) a ? n?1 ? ,我们令 n ? bn ,那么问题就 n n p p p pn

a a ?1? ∴ an ? 4an?1 ? 2 ,则 n ? n?1 ? ? ? , n n ?1 4 4 ?2?
n

n

∵令

n ?1 n?2 2 an ?1? ? bn ,则 bn ? bn?1 ? ? ? ,依此类推有 bn?1 ? bn?2 ? ? 1 ? 、 bn?2 ? bn?3 ? ? 1 ? 、…、 b2 ? b1 ? ? 1 ? n ? ? ? ? ? ? 4 ?2? ?2? ?2? ?2?

n

n n n n n n n ?1? ∴各式叠加得 bn ? b1 ? ? ? ? ,即 bn ? b1 ? ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 i ?2 ? 2 ? ?2? i ?2 ? 2 ? i ?2 ? 2 ? i ?1 ? 2 ?

n

n

n ? ? ∴ an ? 4n ? bn ? 4n ? ?1 ? ? 1 ? ? ? 4n ? 2n ? ? ? ?2? ? ? ?

② a1 =a, an+1 ? an ? f (n) 型,其中 f ( n) 是可以求积数列,用累乘法求通项公式,即 an ? f (n ?1) ? f (n ? 2) ?……? f (2) f (1)a1 类型 3:an?1 ? f (n)an 思路(叠乘法) :

an a a a ? f (n ? 1) ,依次类推有: n ?1 ? f (n ? 2) 、 n?2 ? f (n ? 3) 、…、 2 ? f (1) , an?1 an?2 an?3 a1
an ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? … ? f (n ? 2) ? f (n ?1) ,即 an ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? … ? f (n ? 2) ? f (n ?1) ? a1 a1
n ?1 an ?1 ,求 an . n ?1

将各式叠乘并整理得

例题:已知 a1 ? 1 , an ? 解:∵ an ? ∴

n ?1 an ?1 n ?1

an a a n ?1 2 a 1 n ? 2 an ? 2 n ? 3 ,依次类推有: n ?1 ? 、 、…、 3 ? 、 2 ? ? ? an?1 n ? 1 a2 4 a1 3 an ? 2 n an ?3 n ? 1

∵ a1 ? 1 ∴将各式叠乘并整理得

2 1 n ?1 n ? 2 n ? 3 an n ? 1 n ? 2 n ? 3 2 1 2 ? ? ?…? ? ? ? ? ? ? … ? ? ,即 an ? n ?1 n n ?1 4 3 4 3 n(n ? 1) a1 n ? 1 n n ? 1

③ a1 =a, an +1 ? pan ? q 型 ( 其 中 p、 q 是 常 数 ) 可 以 采 用 待 定 系 数 法 、 换 元 法 求 通 项 公 式 , 即 ,

an ?1 ?

q q q ? p(an ? ) ,设 bn ? an ? ,则 bn?1 ? pbn .利用②的方法求出 bn 进而求出 an 1? p 1? p 1? p

类型 4: an?1 ? pan ? q (其中 p、 q 是常数) 当 p ? 1 时,数列 {an } 是等差数列;当 p ? 0, q ? 0 时,数列 {an } 是等比数列; 当 p ? 0 且 p ? 1, q ? 0 时,可以将递推关系转化为 an?1 ? 项, p 为公比的等比数列. 思路(构造法) :设 an?1 ? ? ? p ? an ? ? ? ,即 ? ? p ?1? ? q 得 ? ?

? ? q q q ? q ? 为首 ? p ? an ? ? 是以 a1 ? ? ,则数列 ?an ? p ?1 p ?1 ? p ?1 ? p ? 1? ?

q ,数列 ?an ? ?? 是以 a1 ? ? 为首项、 p 为 p ?1

公比的等比数列,则 an ?

? ? q q ? n?1 q ? n?1 q ? ? a1 ? ? p ,即 an ? ? a1 ? ?p ? p ?1 ? p ?1 ? p ?1 ? 1? p ?

例题:已知数列 ?an ? 满足 an ? 2an?1 ? 3 且 a1 ? 1 ,求数列 ?an ? 的通项公式 解:设 an?1 ? ? ? 2 ? an ? ? ? ,即 ? ? 3 ∵ a1 ? 1 ∴数列 ?an ? 3? 是以 a1 ? 3 ? 4 为首项、 2 为公比的等比数列 ∴ an ? 3 ? 4 ? 2
n?1

? 2n?1 ,即 an ? 2n?1 ? 3

④ a1 =a, an+1 ? pan ? qn 型,其中 p、 q 是常数且 q ? 0, q ? 1 , 类型 5: an +1 ? pan ? rqn

an?1 p an 1 a p 1 ? ? n ? ,设 n ? bn ,则 bn?1 ? ? bn ? 即化为③. n ?1 n q q q q q q q

p ? ?? ? q ?? q ? p ?a ? a ? ? 思路(构造法) an ? pan?1 ? rqn?1 ,设 n ? ? ? ? ? n?1 ? ? ? ,则 ? : ,从而解得 ? n n ?1 n n ?1 q ? ? ? ? ? 1? q ? rq ?q ? ? ?? ? r ? p?q ?
那么 ?

? an a1 r p r ? 为首项, 为公比的等比数列 ? ? 是以 ? n q p?q q p ?q? ?q

例题:已知 a1 ? 1 , an ? ?an?1 ? 2n?1 ,求 an 。

1 ? ??? ? ?2? ? ?1 a ? ? ?a ? 2 解:∵设 n ? ? ? ? ? n ?1 ? ? ? ,则 ? ,解得 ? , n n ?1 n n ?1 1 ? ? ? ? 1? 2 ? 2 2 ?2 ? ? ? ?? ? ? ? 3 ?
1 1 1 1 a 1 1 ?1? ?a 1? ? ? n ? ? 是以 ? ? 为首项, 为公比的等比数列,即 n ? ? ? ? ? n 2 3 6 2 2n 3 6 ? 2 ? ? 2 3?
⑤ an +1 ?
n ?1

? an ?

2n ? 1 3

an 型,其中 p、 q 是常数且 an ? 0 ,可以采用等式两边取倒数. pan ? q
c ? an (c ? 0) pan ? d pa ? d 1 d 1 p 1 1 ,那么 ? n ? ? ? ,令 bn ? ,这样,问题就可 an?1 c an c an?1 c ? an an

类型 6: an ?1 ?

思路(转化法) :对递推式两边取倒数得 以进行求解了. 例题:已知 a1 ? 4 , an ?1 ?

2 ? an ,求 an 2an ? 1 2a ? 1 1 1 1 1 即 ? n ? ? ?1, an ?1 2an an?1 2 an

解:∵对递推式左右两边取倒数得

∴令

1 1 1 ? bn 则 bn ?1 ? bn ? 1 .设 bn ?1 ? ? ? ? bn ? ? ? ,即 ? ? ?2 2 2 an

1 7 1 7 2n ? 2 ? 7 , ? 数列 ?bn ? 2? 是以 ? 2 ? ? 为首项、 为公比的等比数列,则 bn ? 2 ? ? n ?1 ,即 bn ? 4 4 2 2 2n ?1

? an ?

2n ?1 2n ? 2 ? 7

类型 7:an ?1 ?

a ? an ? b (c ? 0、ad ? bc ? 0) c ? an ? d
ax ? b 即 cx2 ? (d ? a) x ? b ? 0 .当特征方程有两个相等实根 cx ? d

思路(特征根法) :递推式对应的特征方程为 x ?

? ? ? ? 1 ? ? 1 1 1 x1 ? x2 ? ? 时,数列 ? ? ? ? ( ? 为待定系数, ? 为等差数列,我们可设 ? 即? a?d a?d an ? ? ? ? a ? a ? d ? ? an?1 ? an ? n 2c ? 2c 2c ?
可利用 a1 、 a2 求得) ;当特征方程有两个不等实根 x1 、 x2 时,数列 ?

? an ? x1 ? a1 ? x1 为首项的等比数列,我 ? 是以 a1 ? x2 ? an ? x2 ?

们可设

an ? x1 ? a1 ? x1 ? n ?1 ;当特征方程的根为虚根时数列 ?? ? ? ? ( ? 为待定系数,可利用已知其值的项间接求得) an ? x2 ? a1 ? x2 ?

?an ? 通项的讨论方法与上同理,此处暂不作讨论.
例题:已知 a1 ?

1 4a ? 3 , an ? n ?1 (n ? 2) ,求 an 2 an ?1 ? 2
4x ? 3 2 即 x ? 2 x ? 3 ? 0 ,解得 x1 ? ?1 、 x2 ? 3 x?2

解:∵当 n ? 2 时,递推式对应的特征方程为 x ?

? a ?1? a ?x 2 ? 数列 ? n ? 是以 1 1 ? ? ?1为首项的等比数列 a1 ? x2 ?2 ? an ? 3 ?
∵设

1 an ? 1 ? ? ?1? ? ? n?1 ,由 a1 ? 得 a2 ? 2 则 ?3 ? ? ? , 2 an ? 3

?1 ,n ?1 ?2 an ? 1 3 ?1 ? n ?1 ? ? ? 3 ,即 ? ? ?1? ? 3 ,从而 an ? n ?1 ,? an ? ? n 3 ?1 an ? 3 ? 3 ?1 , n ? 2 ? 3n ?1 ? 1 ?
n

二、数列求和的几种常见方法 数列问题中蕴涵着丰富的数学思想方法, 是高考用来考查考生对数学思想方法理解程度的良好素材, 是历年高 考的一大热点,在高考命题中,多以与不等式的证明或求解相结合的形式出现,一般数列的求和,主要是将其转化 为等差数列或等比数列的求和问题,因此,我们有必要对数列求和的各种方法进行系统探讨. 1、公式求和法 通过分析判断并证明一个数列是等差数列或等比数列后,可直接利用等差、等比数列的求和公式求和,或者利 用前 n 个正整数和的计算公式等直接求和.运用公式求解的注意事项:首先要注意公式的应用范围,确定公式适用 于这个数列之后,再计算.特别地,注意数列是等比数列时需要讨论 q ? 1 和 q ? 1 的情况. ⑴等差数列求和公式: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

(q ? 1) ? na1 ? n ⑵等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? (q ? 1) ? 1? q 1? q ?

另外,还有必要熟练掌握一些常见的数列的前 n 项和公式.正整数和公式有:

?k ?
k ?1

n

n(n ? 1) ; 2

?k
k ?1

n

2

?

n(n ? 1)(2n ? 1) 6



?k
k ?1

n

3

?[

n(n ? 1) 2 ] 2

例 1、 已知数列 ? f ?n ??的前 n 项和为 S n , S n ? n 2 ? 2n. 若 a1 ? f ?1?, an?1 ? f ?an ? n ? N ? ,求数列 ?an ? 的前 n 且 项和 Tn . 分析: 根据数列的项和前 n 项和的关系入手求出 f ?n ?, 再根据 an?1 ? f ?an ? n ? N )求出数列 ?an ? 的通项公式后, (
?

?

?

确定数列的特点,根据公式解决.

? f ?n? ? 2n ? 1 n ? N ? , a1 ? f ?1? ? 3, an?1 ? 2an ? 1 n ? N ? ,即 an?1 ? 1 ? 2(an ? 1)
∴数列 ?an ?1? 是首项为 4、公比为 2 的等比数列. ∴ an ? 1 ? ?a1 ? 1? ? 2 n?1 ? 2 n?1 ,? an ? 2 n?1 ? 1 n ? N ? ; Tn ? 2 2 ? 23 ? ?2 n?1 ? n ? 2 n?2 ? n ? 4. 【能力提升】公式法主要适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列的求和,一些综合性的数列求和 的解答题最后往往就归结为一个等差数列或等比数列的求和问题. 变式训练 1: 已知 log3 x ?

解:∵当 n ? 2 时, f ?n? ? S n ? S n?1 ? 2n ? 1. 当 n ? 1 时, f ?1? ? S1 ? 3, 适合上式

?

?

?

?

?

?

?

?

?1 2 3 n ,求 x ? x ? x ? ? ? ? ? x ? ? ? ? 的前 n 项和. log2 3 Sn 的最大值. (n ? 32) S n ?1

变式训练 2: 设 sn ? 1 ? 2 ? …? n(n ? N * ) ,求 f (n) ? 2、倒序相加法

如果一个数列 {an } ,与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,可采用把正着写与倒着写的 两个和式相加,就得到一个常数列的和,这一求和方法称为倒序相加法.我们在学知识时,不但要知其果,更要索 其因,知识的得出过程是知识的源头,也是研究同一类知识的工具,例如:等差数列前 n 项和公式的推导,用的就 是“倒序相加法”.

Sn ? a1 ? a2 ? …… ? an ?1 ? an ? ? 则 2Sn ? ? a1 ? an ? ? ? a2 ? an?1 ? ? …? ? a1 ? an ?… Sn ? an ? an ?1 ? …… ? a2 ? a1 ?
3x ? 2 ? 1? ? 1 ? ? 2 ? ? 2008? ? x ? ?. 求 F ? ? ? F? ? ? ?F? ?. 2x ? 1 ? 2? ? 2009? ? 2009? ? 2009?

例 2、已知函数 F ?x ? ?

分析:由所求的和式的特点,易想到探究:和为 1 的两个自变量函数值的和是否为常数.从而确定可否用倒序相加 法求和. 【解析】∵ F ?x ? ? F ?1 ? x ? ?

3x ? 2 3?1 ? x ? ? 2 ? ? 3. 2 x ? 1 2?1 ? x ? ? 1

∴设 S ? F ?

? 1 ? ? 2 ? ? 2008? ? 2008 ? ? 2007 ? ? 1 ? ? ? F? ? ? ?F? ?.① S ? F ? ??F? ? ??F ? ?② ? 2009? ? 2009? ? 2009? ? 2009 ? ? 2009 ? ? 2009 ?
② 得

∴ ① +

? ? 1 ? ? ? 2008? ? 2008?? ? ? 2 ? ? 2007?? ? 1 ?? 2S ? ? F ? ? ? F? ?? ? ? F ? ? ? F? ?? ? ? ? ? F ? ? ? F? ?? ? 2009?? ? ? 2009? ? 2009?? ? 2009?? ? ? 2009? ? ? 2009?

? 3 ? 2008 ? 6024 ,所以 S ? 3012 .
【能力提升】倒序相加法来源于课本,是等差数列前项和公司推导时所运用的方法,它是一种重要的求和方法.当 求一个数列的有限项和时,若是“与首末两端等距离”的两项和都相等,即可用此法.

例 3:已知 f ( x) ?

x2 ,则 f (1) ? f (2) ? 1 ? x2
2

?1? f ? ? ? f (3) ? ?2?

?1? f ? ? ? f (4) ? ? 3?

?1? f ? ?? ?4?

?1? ? ? 2 x x2 1 x ?1? 解:∵由 f ( x) ? f ? ? ? ? ? ? 2? ? ?1 2 2 2 ? x ? 1? x ? 1 ? 1? x 1? x 1? ? ? ? x?
∴原式 ? f (1) ? ? f (2) ? f ? ?? ? ? f (3) ? f ? ?? ? ? f (4) ? f ? ?? ?

? ?

? 1 ?? ? ? 2 ?? ?
2 ?

? 1 ?? ? ? 3 ?? ?
2

? 1 ?? ? 4 ??
?

1 1 ?1?1?1 ? 3 2 2

变式训练 1: 求 sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? ? ? sin 88 ? sin 89 的值
2 ? 2 ? ? 2

变式训练 2:如已知函数 f(x)对任意 x∈R 都有 f ( x) ? f (1 ? x) ?

2 3 n?2 n ?1 f ( ) ? f ( ) +… ? f ( )? f( ) ? f (1) , n ? N * ) S n ( ,求 n n n n

1 1 , S n ? f (0) ? f ( ) ? 2 n

变式训练 3:已知 f ( x) ?

x2 1 1 1 ) ? _____ ,那么 f (1) ? f (2) ? ? f (2008 ) ? f ( ) ? f ( ) ? ? f ( 2 2 3 2008 1? x

3、裂项相消法 裂项相消法是将数列的各项拆成两项或多项,使得前后项相抵消,留下有限项,从而求出数列的前 n 项和. 一 般地,我们把数列的通项分成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和 .适用于类似

? c ? ? ? (其中 ?an ? 是各项不为 0 的等差数列, c 为常数)的数列,以及部分无理数列和含阶乘的数列等.用裂 ? a n a n ?1 ?
项法求和,需要掌握一些常见的裂项方法:

1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ; (2n ? 1)(2n ? 1) 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

1 1 1 1 1 ? ( ? ); ? n ?1 ? n ; n( n ? k ) k n n?k n ? n ?1
例 4: ?an ? 是公差为 d 的等差数列,求

?a a
k ?1 k

n

1
k ?1

解:∵

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? d ? 0? ak· ak ?1 ak ? ak ? d ? d ? ak ak ?1 ?
n n ? 1 1 ? 1 1? 1 1 ? 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 ? 1 ?? ? ? ? ? ? …… ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ??? ak ak ?1 k ?1 d ? ak ak ?1 ? d ?? a1 a2 ? ? a2 a3 ? ? an an ?1 ? ? d ? a1 an?1 ?

∴?
k ?1

例 5、数列

?an ?满足 a1 ? 1, a 2 ? 5 , a n? 2 ? 5 a n?1 ? 2 a n
3 3 3
n

?n ? N ?
?

?2? ?2? ?2? 2 ? ? ? ? ? ? ? 3 ? ? ? 3 ? ??? ? 3 ? . ,求 T ? 3 ? n a1a2 a2 a3 a3 a4 an an?1

2

3

n

?2? ? ? ? 3 ? 的特点拆项解决. 分析:根据给出的递推式求出数列 ?an ? ,再根据 a n a n ?1
解:∵由已知条件,得 a n ? 2 ? a n ?1 ? 故 a n ?1 ? a n ? ? ? ,

2 ?a n?1 ? a n ? ,??an?1 ? an ?是以 a 2 ? a1 ? 2 为首项, 2 为公比的等比数列, 3 3 3

?2? ?3?

n

2 ?2? ?2? ∴ an ? a1 ? ? a2 ? a1 ? ? ? a3 ? a2 ? ? ? ? ? an ? an ?1 ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ?3? ?3?
?2? ∴ ?3? ? ? ? an an ?1
n

2

n ?1

? ? 2 ?n ? ? 3 ?1 ? ? ? ? . ? ? 3? ? ? ?

n ? ? ?2? ? ? ? ? 1? 1 1 3? ? ? ? ? n n ?1 ? ? 2 ? n ? ? ? 2 ? n ?1 ? 3 ? ?2? ?2? ? 1? ? ? ? 3 ?1 ? ? ? ? ? 3 ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ?3? ?3? ? ? ? ?3? ? ? ?3? ? ? ? ? ?

2 3 n ? ? ? ? ?2? ?2? ?2? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∴ 1 1 1 1 1 1 3 3 3 ? ? 1 ?3 ? ?. Tn ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? 2 n n ?1 n ?1 a1a2 a2 a3 a3a4 an an ?1 3 ?1 ? 2 ?2? ?2? ?2? ? 3? ?2? ? 1? ? ? 1? ? ? ? ? 3 1? ? ? ? 1? ? ? ? ?3? ?3? ?3? ? ?3? ? ? ?

【能力提升】 用裂项相消法求和的关键是先将形式复杂的式子转化为两个式子的差的形式因此需要掌握一些常见的 裂项技巧. 变式训练 1:在数列 {an } 中, an ? 变式训练:2:求和: s ? 1 ?

1 2 n 2 ? ? ??? ? ,又 bn ? ,求数列 ?bn ? 的前 n 项的和. n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1

1 1 1 ? ?? ? 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ?? ? n 1 1 1 1 ? ? ??? 变式训练 3:求和: . 2 ?1 3? 2 4? 3 n ?1 ? n
4、错位相减法 错位相减法是一种常用的数列求和方法, 应用于等比数列与等差数列相乘的形式.即若在 (差比数列) an ? bn } { 中, {an } 成等差数列, {bn } 成等比数列,在和式的两边同乘以公比,再与原式错位相减整理后即可以求出前 n 项 和. 例题: Sn ? 1 ? 2x ? 3x ? 4x ? ……? nx
2 3 n?1


n?1 n

x Sn ? x ? 2x ? 3x ? 4x ? ……? ? n ?1? x ? nx · 2 n?1 n ①—② ?1 ? x ? Sn ? 1 ? x ? x ? ……? x ? nx
2 3 4



当 x ? 1 时, S n

?1 ? x ? ? nx ?
n

n

?1 ? x ?

2

1? x

,当 x ? 1 时, Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? …… ? n ?

n ? n ? 1? 2

【能力提升】错位相减法适用于数列 ?an bn ?,其中 ?an ? 是等差数列,?bn ? 是等比数列.若等比数列 ?bn ? 中公比 q 未 知,则需要对公比 q 分 q ? 1和q ? 1两种情况进行分类讨论.

例 6、已知数列 ?an ? 是首项为 a1 ?

1 1 , 公比为 q ? 的等比数列,设 bn ? 2 ? 3 log 1 an n ? N ? ,数列 ?cn ? 满足 4 4 4

?

?

cn ? an ? bn . 求数列 ?cn ? 的前 n 项和 S n .
分析:根据等比数列的性质可以知道数列 ?bn ? 为等差数列,这样数列 ?cn ? 就是一个等差数列与一个等比数列对应 项的乘积构成的数列,因而可考虑用错位相减法来解决. 解:∵由题意知, a n ? ? ? n ? N ,又 bn ? 3 log 1 an ? 2 ,故 bn ? 3n ? 2 n ? N .
4

?1? ?4?

n

?

?

?

?

?

?

∴ cn ? ? 3n ? 2? ? ? ? n ? N
2

?1? ?4?

n

?

?

?
3 n ?1

1 ?1? ?1? ?1? ∴ Sn ? 1? ? 4 ? ? ? ? 7 ? ? ? ? ? ? ? 3n ? 5? ? ? ? 4 ?4? ?4? ? 4?
2 3 4

?1? ? ?3n ? 2 ? ? ? ? ? 4?
n

n

1 ?1? ?1? ?1? ?1? ?1? ∴ Sn ? 1? ? ? ? 4 ? ? ? ? 7 ? ? ? ? ? ? ? 3n ? 5? ? ? ? ? ? 3n ? 2 ? ? ? ? 4 ?4? ? 4? ?4? ? 4? ? 4?

n ?1

2 3 n n ?1 n ?1 3 1 ?? 1 ? ? 1 ? 1 ?1? ? ?1? ?1? ∵两式相减,得 S n ? ? 3?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3n ? 2? ? ? ? ? ? ?3n ? 2? ? ? ? . 4 4 ?? 4 ? ? 4 ? 2 ?4? ? ?4? ?4? ? ?

? Sn ?

2 3n ? 2 ? 1 ? ? ? ? ? ?n ? N ? ? . 3 3 ? 4?
n

变式训练 1、求 Sn ? 1 ? 2x ? 3x2 ? 4x3 ? ……? nxn?1 变式训练 2、若数列 {an } 的通项 an ? (2n ? 1) ? 3n ,求此数列的前 n 项和 Sn . 变式训练 3、 求数列

2 4 6 2n , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 2

5、 (分组)拆项求和法(裂项重组法) 所谓裂项重组法就是针对一些特殊的数列,既不是等差数列,也不是等比数列的数列,我们可以通过拆分、合 并、分组,将所求和转化为等差、等比数列求和 例 7、已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 3n ? 1, 求数列 ?an ? 的前 n 项和. 分析:该数列的通项是由一个等比数列 2 个等差数列进行分组求和. 【解析】 S n ? a1 ? a2 ? ?an ? 2 ? 2 ? 2 ? 5 ? ? 2 ? 3n ? 1
1 2 n
n

? ?与一个等差数列 ?3n ? 1? 组成的,所以可将其转化为一个等比数列与一

?

? ?

?

?

?

= 2 ? 2 ? ?? 2
1 2

?

n

1? 2 3 ? ? ?2 ? 5 ? ??3n ? 1??. = 2?1 ? 2 ? ? n?2 ? ?2 n ? 1??
n

=2

n ?1

?

3 2 1 n ? n ? 2. 2 2

【能力提升】在求和时,一定要认真观察数列的通项公式,如果它能拆分成几项的和,而这些项分别构成等差数列 或等比数列,那么我们就可以用此方法求和.

例 8、数列 ?an ? 的前 n 项和是 S n n ? N ? ,若数列 ?an ? 的各项按如下规则排列: , , , , , , , , , , ,?,

?

?

1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6

若存在自然数 k k ? N ? ,使 S k ? 10, S k ?1 ? 10 ,则 ak ?

?

?

.

分析: 数列的构成规律是分母为 2 的一项, 分母为 3 的两项, 分母为 4 的三项,〃, 〃〃 故这个数列的和可以并项求解. 解: S1 ?

1 1 1? 2 3 3 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? 4 , S3 ? ? ? , S6 ? ? ? 3, S10 ? 3 ? ?5 2 2 3 2 2 4 5 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 15 1? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 21 S15 ? 5 ? ? ,而 ? 3, 这样 S 21 ? ? 10 ,而 6 2 7 2 15 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 15 15 15 5 5 5 S 20 ? ? ? ? ? ? ? 10, 故 a k ? ,故填 . 2 7 2 7 2 2 7 7

【能力提升】当一个数列连续的几项之间具有明显的规律性,特别是一些正负相间或者是周期性的数列等,可以考 虑用并项求和的方法. 变式训练 1:求和: 2 ? 5 ? 3 ? 6+4 ? 7+……+n(n+3)

变式训练 2:求数列 1,1+2,1+2+2 ,…, 1+2+2 +…+2
2 2

n?1

… 的前 n 项和

变式训练 3:求数列 {n(n ? 1)(2n ? 1)} 的前 n 项和.

一般的数列求和,应从通项入手,若无通项,先求通项,然后通过对通项变形,转化为与特殊数列有关或具备 某种方法适用特点的形式,从而选择合适的方法求和.高考数学试题中所涉及的数列求和问题往往具有一定的技巧 性,需要考生具有很强的分析问题、解决问题的能力才能解决,但是基本的求和方法就是上面介绍的这些.希望广 大考生熟练掌握,灵活适用. 三、数列的综合应用 ⑴求解等差、等比数列的综合问题的基本途径是:应用等差数列和等比数列的基本量(首项、公差、或公比、通项、 前 n 项和)表示数列中的项,适时地应用它们的基本性质求解.此外,应该熟悉等差数列与等比数列的递推公式. ⑵数列与函数、数列与不等式的综合问题主要是:由函数的解析式得到的数列递推公式,转化为等差数列或等比数 列进行求解. ⑶数列的应用问题:一般地,涉及递增率通常用到等比数列;涉及依次增加或减少要用到等差数列;复利和分期付 款问题,用等比数列解决.


赞助商链接
更多相关文档:

求数列通项公式与数列求和精选练习题(有答案)

数列通项公式求和练习 1 1 数列{an }的前n项为Sn , 且a1 ? 1,an ?1 ? Sn (n ? 1, 2,3,?) 3 (1)求a2 , a3 , a4的值及数列{an }的...

数列的通项公式及求和公式

数列通项公式及求和公式 - 数列通项公式及求和公式 数列的通项公式求法 一、公式法 当已知数列为等差或等比数列时,可直接利用等差或等比数 列的通项公式,...

数列的通项公式与求和的常用方法

数列通项公式求和的常用方法 - 数列重点综合题型总结 1 数列通项公式求和的常用方法 考试要求 新疆 源头学子 小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级...

数列通项公式的求法及数列求和方法

数列通项公式的求法及数列求和方法_电力/水利_工程科技_专业资料。数列通项和数列求和一直是数列题型的一个难点问题之一,此资料对此进行一些归纳总结 ...

数列通项公式和求和公式总结1

数列通项公式和求和公式总结1_数学_高中教育_教育专区。【一】 求数列通项公式的常用方法 各个求通项的方法之间并不是相互孤立的,有时同一题目中也可能同 时...

数列的通项公式与求和的常见方法

数列的通项公式与求和的常见方法 - 常见数列通项公式的求法 类型一:公式法 1(或定义法) 类型二: (累加法) an ?1 ? an ? f (n) 解法:把原递推公式...

高中数学_数列求和及数列通项公式的基本方法和技巧

求和时一般在 已知式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比 q ;然后再将得到的新式 相减,转化为同倍数的等比数列求和,这种方法就是错位相减法...

数列通项公式和求和公式总结

数列通项公式和求和公式总结_数学_高中教育_教育专区。[键入文字] 【一】 求数列通项公式的常用方法 各个求通项的方法之间并不是相互孤立的,有时同一题目中也...

数列通项公式与求和习题(经典)

数列通项公式求和习题(经典) - 数列通项与求和 一.求数列通项公式 1.定义法(①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。 )例.等差数列 ?an ? 是递增数列,...

数列通项公式与求和习题(经典)

若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列通项与组合数相关 联,则常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前 n 和公式的 推导方法...

更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com