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2013届高考数学压轴题练习16


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高考数学压轴题练习 16
19. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln( x ? a) ? x ? x在x ? 0 处取得极值.
2

(I)求实数 a 的值; (II)若关于 x 的方程 f ( x) ? ?

5 x ? b 在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数 b 的取值范围; 2 n ?1 n ?1 ? 2 都成立. n n

(III)证明:对任意正整数 n,不等式 ln

19.解: (I) f ?( x) ?

1 ? 2 x ? 1, ……………………………………………2 分 x?a

? x ? 0 时, f (x) 取得极值,
? f ?(0) ? 0, …………………………………………………………………3 分


1 ? 2 ? 0 ?1 ? 0 0?a







a=1









a=1







意.……………………………………………………………4 分 (II)由 a=1 知 f ( x) ? ln( x ? 1) ? x ? x,由f ( x) ? ?
2

5 x ? b, 2

得 ln( x ? 1) ? x ?
2

3 3 x ? b ? 0, 令 ? ( x) ? ln( x ? 1) ? x 2 ? x ? b, 2 2

则 f ( x) ? ?

5 x ? b在[0,2] 上恰有两个不同的实数根等价于 ? ( x) ? 0 在[0,2]上恰有两个不同的实数 2
1 3 ? (4 x ? 5)( x ? 1) ? 2x ? ? , ……………6 分 x ?1 2 2( x ? 1)

根.…………………5 分 ? ?( x) ?

当 x ? (0,1)时, ? ?( x) ? 0, 于是? ( x)在(0,1) 上单调递增

?? (0) ? ?b ? 0, ? 3 ? ?( x) ? 0, 于是? ( x)在(1,2) 上单调递减依题意有 ?? (1) ? ln(1 ? 1) ? 1 ? ? b ? 0, 当 x ? (1,2)时, ? 2 ? ?? (2) ? ln(1 ? 2) ? 4 ? 3 ? b ? 0, ?

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1 ? ln 3 ? 1 ? b ? ln 2 ? . …………………9 分 2
(III) f ( x) ? ln( x ? 1) ? x ? x 的定义域为 {x | x ? ?1}, ……………10 分
2

由(1)知 f ?( x) ?

? x(2 x ? 3) , ………………………………………11 分 x ?1 3 (舍去) ?当 ? 1 ? x ? 0时, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增; , 2

令 f ?( x) ? 0得, x ? 0或x ? ?

当 x>0 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减.? f (0)为f ( x)在(?1,??) 上的最大值. (12 分)

? f ( x) ? f (0), 故 ln( x ? 1) ? x 2 ? x ? 0 (当且仅当 x=0 时,等号成立)………13 分
对任意正整数 n,取 x ?

1 1 1 1 n ?1 n ?1 ? 0 得, ln( ? 1) ? ? 2 , 故 ln ? 2 . 14 分 n n n n n n


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