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直线的一般式方程(教案)


3.2.3 直线的一般式方程(教案)
教学目标: 1、知识与能力: ⑴掌握直线方程的一般式 Ax+By+C=0 的特征 (A、 B 不同时为 0) ⑵能将直线方程的五种形式进行转化,并明确各种形式中的一 些几何量(斜率、截距等) ; 2、过程与方法: ⑴主动参与探究直线和二元一次方程关系的数学活动, 通过观 察、推理、探究获得直线方程的一般式。 ⑵学会分类讨论及掌握讨论的分界点; 3、情感、态度与价值观: 体验数学发现和探索的历程,发展创新意识 教学重点: 直线方程一般式 Ax+By+C=0(A、B 不同时为 0)的理解 教学难点: ⑴直线方程一般式 Ax+By+C=0(A、B 不同时为 0)与二元一次 方程关系的深入理解 ⑵直线方程一般式 Ax+By+C=0(A、B 不同时为 0)的应用。 教学方法: 引导探究法、讨论法 教学过程: 创设情境,引入新课:

1、 复习:写出前面学过的直线方程的各种不同形式,并指出 其局限性: 名 称 点 斜率存在的直线 斜 式 斜 截 式 斜率 k,y 轴上的截距 b y=kx+b 斜率存在的直线 点 P(x0,y0)和斜率 k y-y0=k(x-x0) 几 何 条 件 方程 局限性

两 不垂直于 x、y 轴 点 式 P1(x1,y1),P2(x2,y2)
y ? y1 x ? x1 ? y 2 ? y1 x2 ? x1

的直线

截 在 x 轴上的截距 a,在 y 距 轴上的截距 b 式
x y ? ?1 a b

不垂直于 x、y 轴 的直线, 不过原点 的直线

过点(x0,y0)与 x 轴垂直的直线可表示成 x=x0, 过点(x0,y0)与 y 轴垂直的直线可表示成 y=y0 。

2、 问题:上述四种直线方程的表示形式都有其局限性,是否 存在一种更为完美的代数形式可以表示平面中的所有直线? 提 示: 上述四种形式的直线方程有何共同特征?能否整理成统 一形式?(这些方程都是关于 x、y 的二元一次方程) 猜 测:直线和二元一次方程有着一定的关系。

新课探究: 问题: (1) .过点(2,1),斜率为 2 的直线的方程是 y-1=2(x-2), (2) .过点(2,1),斜率为 0 的直线方程是 y=1, (3) .过点(2,1),斜率不存在的直线的方程是 x=2, 思考 1 :以上方程是否都可以用 Ax+By+C=0 表示?任意一条直 线是否都可以用二元一次方程 Ax+By+C=0(A、B 不同时为 0)来 表示? 答: 2x-y-3=0 y-1=0 x-2=0

在平面直角坐标系中,每一条直线有斜率 k 存在和 k 不存在两 种情况下,直线方程可分别写为 y ? kx ? b 和 x ? x1 两种形式,它们 又都可以变形为 Ax+By+C=0(A、B 不同时为 0)的形式,即:直 线 Ax+By+C=0(A、B 不同时为 0) 【结论: 】在平面直角坐标系中,任意一条直线都可以用二元一 次方程 Ax+By+C=0(A、B 不同时为 0)来表示。 思考 2:对于任意一个二元一次方程 Ax+By+C=0(A,B 不同时为 零)能否表示一条直线?

证明: (1)当 B≠0 时,方程可变形为 y ? ? (0,- )斜率为- 的直线
C B A B

A C x ? 它表示过点 B B

(2) 当 B=0 时 因为 A,B 不同时为 0 所以 A≠0 则有 Ax=-C 即 x=- 这表示的是与 x 轴垂直的直线 【结论: 】 每个一个二元一次方程 Ax+By+C=0(A,B 不同
C A

时为零)都表示一条直线。 由上面讨论可知, (1)平面上任一条直线都可以用一个关于 x,y 的二元一次方程表 示, (2)关于 x,y 的二元一次方程都表示一条直线. 1.直线的一般式方程 我们把关于 x,y 的二元一次方程 Ax+By+C=0 (A,B 不同时为零) 叫做直线的一般式方程,简称一般式 注:对于直线方程的一般式,一般作如下约定: (1) 、一般按含 x 项、含 y 项、常数项顺序排列 (2) 、x 项的系数为正; (3) 、x,y 的系数和常数项一般不出现分数; (4) 、无特别说明时,最好将所求直线方程的结果写成一般式。 深入探究: 二元一次方程 Ax+By+C=0 的系数 A,B 和常数项 C 对直线的位 置的影响: ①平行与 x 轴 A=0 , B≠0 ,C≠0;

②平行与 y 轴 ③与 x 轴重合 ④与 y 轴重合 ⑤过原点 例题分析:

B=0 , A≠0 , C≠0; A=0 , B≠0 ,C=0; B=0 , A≠0, C=0; C=0,A、B 不同时为 0;

例 1、已知直线经过点 A(6,-4)斜率为- ,求直线的点斜式 方程,一般式方程和截距式方程。 解:经过点 A ( 6 , -4 )斜率为 - 的直线的点斜式方程为 y+4=- (x-6)化为一般式为 4x+3y-12=0 截距式方程为
4 3 4 3

4 3

x y ? ?1 3 4

说明:在讨论直线问题时,常常将直线方程的形式相互转化。 例 2 根据下列条件,写出直线的方程,并把它化成一般式: 1.经过点 P(3,-2),Q(5,-4); 解:直线的两点式方程为 x+y-1=0 2.在 x 轴,y 轴上的截距分别是 2,3 解:直线的截距式方程为 3x+2y-6=0 说明:在遇到问题时,根据条件写出适当形式的方程,然后再化 为一般式。 课堂小结: 1、关于 x,y 的二元一次方程 Ax+By+C=0 (A,B 不同时为零) 叫做 直线的一般式方程,简称一般式。
x y ? ?1 2 3

y ? (?2) x?3 ? ? 4 ? (?2) 5 ? 3

化为一般式方程为

化为一般式 方程为

2、 二元一次方程 Ax+By+C=0 的系数 A,B 和常数项 C 对直线的位 置的影响: ①平行与 x 轴 ②平行与 y 轴 ③与 x 轴重合 ④与 y 轴重合 ⑤过原点 A=0 , B≠0 ,C≠0; B=0 , A≠0 , C≠0; A=0 , B≠0 ,C=0; B=0 , A≠0, C=0; C=0,A、B 不同时为 0;

课后作业: 1、必做题;课本 P100 习题 3.2 A 组 2、选做题:课本 P101 习题 3.2 B 组 板书设计: 8.2.3 直线的一般式方程
1、直线的一般式方程 2、系数 A,B 和常数项 C 对直线的位置的影响: 例1 例2 作业

第 4、10 题 第 2、3、4 题

《直线的一般式方程》 教案

曲沃县中等职业技术学校 吴 瑞 瑞


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