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利用导数求函数的极值习题


利用导数求函数的极值
例 求下列函数的极值:

1. f ( x) = x 3 ? 12 x ;2. f ( x) = x 2 e ? x ;3. f ( x ) =

2x ? 2. x +1
2

分析: 分析:按照求极值的基本方法,首先从方程 f ′( x ) = 0 求出在函数 f (x ) 定义域内所有 可能的极值点,然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值. 解:1.函数定义域为 R. f ′( x ) = 3 x 2 ? 12 = 3( x + 2)( x ? 2). 令 f ′( x ) = 0 ,得 x = ±2 . 当 x > 2 或 x < ?2 时, f ′( x ) > 0 , ∴函数在 (? ∞,?2 ) 和 (2,+∞ ) 上是增函数; 当 ? 2 < x < 2 时, f ′( x ) < 0 , ∴函数在(-2,2)上是减函数. ∴当 x = ?2 时,函数有极大值 f (?2) = 16 , 当 x = 2 时,函数有极小值 f ( 2) = ?16. 2.函数定义域为 R. f ′( x ) = 2 xe ? x ? x 2 e ? x = x ( 2 ? x )e ? x 令 f ′( x ) = 0 ,得 x = 0 或 x = 2 . 当 x < 0 或 x > 2 时, f ′( x ) < 0 , ∴函数 f (x ) 在 (? ∞,0 ) 和 (2,+∞ ) 上是减函数; 当 0 < x < 2 时, f ′( x ) > 0 , ∴函数 f (x ) 在(0,2)上是增函数. ∴当 x = 0 时,函数取得极小值 f (0) = 0 , 当 x = 2 时,函数取得极大值 f ( 2) = 4e ? 2 . 3.函数的定义域为 R.

f ′( x) =

2(1 + x 2 ) ? 2 x ? 2 x 2(1 ? x)(1 + x) = . ( x 2 + 1) 2 ( x 2 + 1) 2

令 f ′( x ) = 0 ,得 x = ±1 . 当 x < ?1 或 x > 1 时, f ′( x ) < 0 , ∴函数 f (x ) 在 (? ∞,?1) 和 (1,+∞ ) 上是减函数; 当 ? 1 < x < 1 时, f ′( x ) > 0 , ∴函数 f (x ) 在(-1,1)上是增函数. ∴当 x = ?1 时,函数取得极小值 f (?1) = ?3 , 当 x = 1 时,函数取得极大值 f (1) = ?1. 说明: 说明:思维的周密性是解决问题的基础,在解题过程中,要全面、系统地考虑问题, 注意各种条件 综合运用,方可实现解题的正确性.解答本题时应注意 f ′( x0 ) = 0 只是函数

f (x) 在 x0 处有极值的必要条件, 如果再加之 x0 附近导数的符号相反, 才能断定函数在 x0 处
取得极值.反映在解题上,错误判断极值点或漏掉极值点是学生经常出现的失误.

复杂函数的极值
例 求下列函数的极值: 1. f ( x) = 3 x 2 ( x ? 5) ;2. f ( x ) = x 2 ? x ? 6 . 分析: 分析:利用求导的方法,先确定可能取到极值的点,然后依据极值的定义判定.在函 数 f (x ) 的定义域内寻求可能取到极值的“可疑点” ,除了确定其导数为零的点外,还必须 确定函数定义域内所有不可导的点.这两类点就是函数 f (x ) 在定义内可能取到极值的全部 “可疑点” . 解:1. f ′( x ) =

2 3 x
3

( x ? 5) + 3 x 2 =

2( x ? 5) + 3 x 5( x ? 2) = 3 . 33 x 3 x

令 f ′( x ) = 0 ,解得 x = 2 ,但 x = 0 也可能是极值点. 当 x < 0 或 x > 2 时, f ′( x ) > 0 , ∴函数 f (x ) 在 (? ∞,0 ) 和 (2,+∞ ) 上是增函数; 当 0 < x < 2 时, f ′( x ) < 0 , ∴函数 f (x ) 在(0,2)上是减函数.

∴当 x = 0 时,函数取得极大值 f (0) = 0 , 当 x = 2 时,函数取得极小值 f ( 2) = ?33 4 .

? x 2 ? x ? 6, ( x ≤ ?2或x ≥ 3), ? 2. f ( x ) ? ?? x 2 + x + 6, (?2 < x < 3), ?

?2 x ? 1, ( x < ?2或x > 3), ? ∴ f ′( x) ?? 2 x + 1, ( ?2 < x < 3), ?不存在, ( x = ?2或x = 3). ?
令 f ′( x ) = 0 ,得 x = 当 x < ?2 或

1 . 2

1 < x < 3 时, f ′( x) < 0 , 2

∴函数 f (x ) 在 (? ∞,?2 ) 和 ? ,3 ? 上是减函数; 当 x > 3或? 2 < x <

?1 ? ?2 ?

1 时, f ′( x ) > 0 , 2 ? ? 1? 2?

∴函数 f ( x ) 在 (3,+∞ ) 和 ? ? 2, ? 上是增函数. ∴当 x = ?2 和 x = 3 时,函数 f ( x ) 有极小值 0, 当x=

1 25 时,函数有极大值 . 2 4

说明:在确定极值时,只讨论满足 f ′( x0 ) = 0 的点附近的导数的符号变化情况,确定极 说明: 值是不全面的.在函数定义域内不可导的点处也可能存在极值.本题 1 中 x = 0 处,2 中

x = ?2 及 x = 3 处函数都不可导, f ′(x) 在这些点处左右两侧异号, 但 根据极值的判定方法,
函数 f (x) 在这些点处仍取得极值.从定义分析,极值与可导无关.

根据函数的极值确定参数的值
已知 f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx( a ≠ 0) 在 x = ±1 时取得极值,且 f (1) = ?1 .



1.试求常数 a、b、c 的值; 2.试判断 x = ±1 是函数的极小值还是极大值,并说明理由. 分析: 分析:考察函数 f (x) 是实数域上的可导函数,可先求导确定可能的极值点,再通过极 值点与导数的关系,即极值点必为 f ′( x) = 0 的根建立起由极值点 x = ±1 所确定的相关等

式,运用待定系数法求出参数 a、b、c 的值. 解:1.解法一: f ′( x) = 3ax + 2bx + c .
2

Q x = ±1 是函数 f (x) 的极值点,
∴ x = ±1 是方程 f ′( x ) = 0 ,即 3ax + 2bx + c = 0 的两根,
2

由根与系数的关系,得

? 2b = 0, ( ) 1 ?? ? 3a ? ? c = ?1, (2) ? 3a ?
又 f (1) = ?1 ,∴ a + b + c = ?1 , 由(1)(2)(3)解得 a = 、 、 (3)

1 3 , b = 0, c = ? . 2 2

解法二:由 f ′( ?1) = f ′(1) = 0 得

3a + 2b + c = 0 , 3a ? 2b + c = 0

(1) (2) (3)

又 f (1) = ?1 ,∴ a + b + c = ?1 , 解(1)(2)(3)得 a = 、 、

1 3 , b = 0, c = ? . 2 2 1 3 3 3 2 3 3 2. f ( x ) = x ? x ,∴ f ′( x ) = x ? = ( x ? 1)( x + 1). 2 2 2 2 2

当 x < ?1 或 x > 1 时, f ′( x ) > 0 ,当 ? 1 < x < 1 时, f ′( x ) < 0. ∴函数 f (x ) 在 (? ∞,?1) 和 (1,+∞ ) 上是增函数,在(-1,1)上是减函数. ∴当 x = ?1 时,函数取得极大值 f ( ?1) = 1 , 当 x = 1 时,函数取得极小值 f (1) = ?1 . 说明: 说明:解题的成功要靠正确思路的选择.本题从逆向思维的角度出发,根据题设结构 进行逆向联想,合理地实现了问题的转化,使抽象的问题具体化,在转化的过程中充分运用 了已知条件确定了解题的大方向.可见出路在于“思想认识” .在求导之后,不会应用

f ′(±1) = 0 的隐含条件,因而造成了解决问题的最大思维障碍.

高三第三章导数--函数的极值练 高三第三章导数 函数的极值练习题 函数的极值
一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分)

1.下列说法正确的是 A.当 f′(x0)=0 时,则 f(x0)为 f(x)的极大值 B.当 f′(x0)=0 时,则 f(x0)为 f(x)的极小值 C.当 f′(x0)=0 时,则 f(x0)为 f(x)的极值 D.当 f(x0)为函数 f(x)的极值且 f′(x0)存在时,则有 f′(x0)=0 2.下列四个函数,在 x=0 处取得极值的函数是 ①y=x3 ②y=x2+1 ③y=|x| ④y=2x A.①② B.②③ C.③④ D.①③ 3.函数 y=

6x 的极大值为 1+ x2

A.3 B.4 C.2 D.5 3 4.函数 y=x -3x 的极大值为 m,极小值为 n,则 m+n 为 A.0 B.1 C.2 D.4 2 5.y=ln x+2lnx+2 的极小值为 - A.e 1 B.0 C.-1 D.1 3 2 6.y=2x -3x +a 的极大值为 6,那么 a 等于 A.6 B.0 C.5 D.1 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分) 7.函数 f(x)=x3-3x2+7 的极大值为___________. 8.曲线 y=3x5-5x3 共有___________个极值. 9.函数 y=-x3+48x-3 的极大值为___________;极小值为___________. 10.函数 f(x)=x-

3 3 x 的极大值是___________,极小值是___________. 2

2

11. 若 函 数 y=x3+ax2+bx+27 在 x= - 1 时 有 极 大 值 , 在 x=3 时 有 极 小 值 , 则 a=___________,b=___________. 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 9 分,共 27 分) 12.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,当 x=-1 时,取得极大值 7;当 x=3 时,取得极小值.求这 个极小值及 a、b、c 的值.

13.函数 f(x)=x+

a +b 有极小值 2,求 a、b 应满足的条件. x

14.设 y=f(x)为三次函数,且图象关于原点对称,当 x= 数的解析式.

1 时,f(x)的极小值为-1,求函 2

函数的极值 1.D 2.B 7. 7 3.A 4.A 5.D 6.A

8.两 9.125 -131 10. 0 -

1 2

11.-3 -9

12.解:f′(x)=3x2+2ax+b. 据题意,-1,3 是方程 3x2+2ax+b=0 的两个根,由韦达定理得

2a ? ?? 1 + 3 = ? 3 ? ∴a=-3,b=-9,∴f(x)=x3-3x2-9x+c ? ?? 1 × 3 = b ? 3 ?
∵f(-1)=7,∴c=2,极小值 f(3)=33-3×32-9×3+2=-25 ∴极小值为-25,a=-3,b=-9,c=2. 13.解:f′(x)=

x2 ? a x2

由题意可知 f′(x)=0 有实根,即 x2-a=0 有实根 ∴a>0,∴x= a 或 x=- a ,∴f′(x)=

( x + a )( x ? a ) x2

令 f′(x)>0,得 x<- a 或 x> a ; 令 f′(x)<0,得- a <x< a 且 x≠0. ∴f(x)在 x=- a 时取得极大值;f(x)在 x= a 时取得极小值 2. ∴ a+

a +b=2,即 2 a +b=2 a

∴a、b 应满足的条件为 a>0,b=2(1- a ). 14.解:设函数解析式为 f(x)=ax3+bx,f′(x)=3ax2+b ∵f′(

1 1 )=0,f( )=-1 2 2

?3 ?4 a + b = 0 ?a = 4 ? 得? 解得? ?b = ?3 ? a + b = ?1 ?8 2 ?

∴f(x)=4x3-3x


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