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经典导数例题

例题:已知对任意的 x ? 0 恒有 a1nx ? b( x ? 1) 成立。 (1)求正数 a 与 b 的关系 (2)若 a ? 1, 设f ( x) ? m x ? n, (m, n ? R), 若1nx ? f ( x) ? b( x ? 1) 对 ?x ? 0 恒成立,求函数 f (x) 的解析式 (3)证明: 1n(n!) ? 2n ? 4 n (n ? N , n ? 2) 【解析】 :本题目难度比较高,而且容易出现思维误区导致得不到分。就此类难题的解决来 阐述“四步分解法”的实际应用效用,与各位老师共同交流。四步分解法:改写条件、 找寻隐含、信息提示、弱化计算!毋庸置疑,无论难题还是简单题目,所给的已知条件 和学过的基础知识都是我们在解决问题时的工具,改写条件无外乎就是把工具准备好, 并非是先从思路上去想明白该怎么去解决,然后再找解决问题的工具,这个想法与现在 通用的教学法有着出发点及切入点本质的区别。条件改的好不好,直接决定了解决问题 的实际结果。过程完美,结果是必然的!本题出现的问题是入手很困难,下面就本题来 展开。 (1)由条件出发,只有一个不等关系式的出现,所以改成我们比较熟悉的函数类型(即 为我们经常使用的构造函数)故设 f ( x) ? a ln x ? b( x ? 1) ,如果此处按通用的教学法 去思考,容易出现误区,增加难度及走进死胡同。改写条件并非只是把显性的条件进行 改写,还要对隐含的信息进行挖掘。由不等式容易看到取等条件是 x ? 1 这个隐含的关系也是学生容易忽略的地方。 如果按正常的思路会对函数求导, 找到极值 点,并且得到极值点处导数值为 0,得到的虽然也是 a 与 b 的关系,但不是答案。 易知 f (1) ? 0 ,由已知 f ( x) ? 0 恒成立, (意味着函数最大值为 0) 所以函数 f (x) 在 x ? 1处取得最大值。 (因为在定义域内只有一个极值点)

f ?( x) ?

a a ? bx ?b ? x x

? f ?(1) ? 0,? a ? b
又? a ? 0,? f ( x) 在 x ? 1处取得极大值,符合题意, 即关系式为 a ? b. (3 分) 请大家尝试按照通用解法去寻找。。然后做出比较 。 (2)? a ? 1,? b ? 1

? ln x ? m x ? n ? x ? 1 恒成立,不等关系式中还必须得到关于 m、n 的等量关系,基
于此, 必须找到等量关系, 可是不等关系中如何去寻找等量关系呢?容易想到让含有 m、 n 的不等式两边取同一个值,容易发现依旧隐含了 x ? 1 令 x ? 1,有 0 ? m ? n ? 0 ,? m ? n ? 0 (5 分)

? m x ? m ? x ?1

即 ( x ? 1)( x ? 1 ? m) ? 0 对 ?x ? 0 恒成立, (完全平方即满足,或进行分离参数讨 论即分离出参数 m,讨论出 m 的值,大家可以自己参详下)?须 1 ? m ? ?1,即m ? 2

?函数 f ( x) ? 2( x ? 1)

(7 分)

(3)由(2)知: (题目中既有对数又有根号的不等关系式只有一个,善于利用)

ln

1 2 4 4 ? ?2? ?2? ? 2 ? 4( k ? k ? 1) ? 2 (9 分) k k 2 k k ? k ?1
1 ? 4[( n ? n ? 1) ? ( n ? 1 ? n ? 2 ) ? ? ? ( 1 ? 0 )] ? 2n n!

? ln

? 4 n ? 2n
此处用到了放缩的技巧,这个是我们在讲解过程中需要教授学生的基本技能。 即 ln n!? 2n ? 4 n (n ? N , n ? 2) (12 分) 小结:本题目考察范围比较广,有不等关系、函数、导数、放缩思想等,如何在感觉很难 入手的时候从所给的条件进行入手, 把貌似很困难完成的题目进行一步步改写, 最后分解成 若干个我们可以完成的题目,是学生在最后冲刺阶段要锻炼的能力。


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